Sabes, es bueno que vayas comprendiendo que uno de los problemas que preocupa en matem´aticas, es encontrar entes que permanezcan invariantes al producir ciertos cambios. Son los llamados invariantes. Por el momento, hemos visto que todas las bases de K2, como K-
espacio vectorial, tienen 2 elementos.
Es decir el n´umero de elementos de cada base es ”invariante” en K2.
¿Ser´a cierto que en K3, todas las bases tienen 3 elementos?.
¿. . .Y en un K-espacio vectorial V , ocurrir´a que todas las bases tiene la misma cantidad de elementos?.
Es decir, uno se pregunta si el n´umero de elementos de las diferentes bases de un espacio vectorial es un invariante.
Interesante pregunta ¿cierto?.
Comencemos por unos lemas y luego el teorema que dar´a la respuesta a esta pregunta.
Lema
Sea B ={u1, u2, . . . , un} una base de un espacio vectorial V sobre K.
Sea u ∈ V tal que u = α1u1+ α2u2+· · · + αiui+· · · + αnun, con alg´un
αi 6= 0.
Entonces el conjunto C ={u1, u2, . . . , ui−1, u, ui+1, . . . , un} tambi´en es
una base de V.
Demostraci´on
Sin p´erdida de generalidad, supongamos α1 6= 0. En este caso
C = {u, u2, . . . , un}, luego u1 = α−11 u +−α1−1α2u2+· · · + −α−11 αnun
1. Demostremos que C genera V. Sea v ∈ V . Entonces:
v = β1u1+ β2u2+· · · + βnun, ciertos β1, β2, . . . , βn ∈ K.
Luego
v = β1(α−11 u− α−11 α2u2− · · · − α−11 αnun) + β2u2+· · · + βnun
= β1α−11 u + (−α2β1α−11 + β2)u2+· · · + (−α−11 αnβ1+ βn)un
Es decir, v ∈< u, u2, . . . , un >, es decir{u, u2, . . . , un} genera V.
2. Demostremos que C es l.i. Sea
αu + β2u2+· · · + βnun = 0
Luego
De donde
(αα1)u1+ (αα2+ β2)u2+· · · + (ααn+ βn)un = 0
Pero B es l.i., entonces:
(1) αα1 = 0 (2) αα2+ β2 = 0 · · · · (n) ααn+ βn = 0
De 1) tenemos α = 0, pues hemos supuesto α1 6= 0. Reemplazando
en las ecuaciones (2),. . . , (n), se tiene βi = 0, i = 2,· · · , n. Luego
{u, u2, . . . , un} es l.i.
Ejemplo
B ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es una base de K3.
Tenemos que:
(5, 5, 2) = 2(1, 1, 1) + 3(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0)
Entonces C = {(5, 5, 2), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es otra base de K3, o bien,
D ={(1, 1, 1), (5, 5, 2), (1, 0, 0)}.
Sin embargo, el conjunto A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (5, 5, 2)} no es una base de K3
Lema
Supongamos que existe una base de V con n vectores. Si B = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V es l.i. y posee n vectores, entonces B es una
Demostraci´on
Sea C ={v1, v2, . . . , vn} una tal base de V . Entonces:
u1 = α1v1+ α2v2+· · · + αnvn
ciertos α1, α2, . . . , αn ∈ K. Sabemos que u1 es no nulo, pues B es
l.i., luego existe alg´un αi ∈ K, i ∈ {1, . . . , n} no nulo. Sin p´erdida de
generalidad, supongamos α1 6= 0. El lema anterior nos asegura que
{u1, v2, . . . , vn} es una base de V . Luego u2 es combinaci´on lineal de
u1, v2, . . . , vn, luego existen β1, β2, . . . , βn no todos nulos tales que:
u2 = β1u1+ β2v2+· · · + βnvn
Si β2 = β3 = · · · = βn = 0, se tendr´ıa β1 6= 0 , luego {u1, u2} es l.d.,
luego {u1, u2, . . . , un} l.d., lo cual es una contradicci´on. Luego existe
al menos un βj no nulo, j ∈ {2, . . . , n} Supongamos que β2 6= 0, luego
{u1, u2, v3, . . . , vn} es una base de V . Repitiendo sucesivamente este
proceso, tenemos que {u1, . . . , un} es una base de V .
Lema
Supongamos que en V existe una base con n vectores. Entonces todo subconjunto de V que sea l.i. tiene a lo m´as n vectores. Es decir, si A ={v1, . . . , vm}, entonces m ≤ n
Demostraci´on
Supongamos que existe S = {u1, . . . , un, un+1, . . . , ut} ⊂ V que tenga
t vectores, con t > n y que sea l.i. Entonces B = {u1, . . . , un} tiene n
vectores y es un conjunto l.i., luego B es una base, por el lema anterior. Luego existen α1, α2, . . . , αn ∈ K tal que:
un+1 = α1u1+ α2u2+· · · + αnun
luego{u1, u2, . . . , un, un+1} es l.d., lo que es una contradicci´on al hecho
Teorema 2.7.1 (de invariancia) Sea V un K-espacio vectorial. Si V tiene una base con un n´umero finito de elementos, entonces toda otra base tiene el mismo n´umero de elementos.
Demostraci´on
Sean B = {u1, u2, . . . , un} y C = {v1, v2, . . . , vm} dos bases cua-
lesquieras de V.
Como B es una base de V y C es l.i. entonces m ≤ n. An´alogamente, como C es una base de V y B es l.i., entonces n≤ m. Luego n=m. Nota
Este teorema se llama de invariancia, pues nos dice que el n´umero de elementos de una base no var´ıa en las diferentes bases de un espacio vectorial.
Definici´on 2.7.1 Un espacio vectorial se dice de dimensi´on finita si posee una base con un n´umero finito de elementos. En caso contrario se dice que es un espacio de dimensi´on infinita.
Ejemplo
K2 es un K-espacio vectorial de dimensi´on finita, pues:
B ={(1, 2), (3, 5)} es una base de IR2 sobre IR.
Ejemplo
K3 es un K-espacio vectorial de dimensi´on finita, pues:
B ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es una base de IR3 sobre K.
Ejemplo
IR[X] es un espacio vectorial de dimensi´on infinita sobre IR, pues no es posible construir una base que tenga un n´umero finito de elementos. En efecto, supongamos que existe un conjunto finito B, tal que:
B ={P1(X), . . . , Pn(X)}
es un conjunto de generadores de IR[X] con m = m´ax {gr(P1(X)), . . . , gr(Pn(X))},
entonces, por ejemplo, el polinomio P (X) = 1 + X + Xm+1 no es una
combinaci´on lineal de P1(X), . . . , Pn(X). Luego no es posible construir
un conjunto finito de generadores.
Definici´on 2.7.2 Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita. Se llama dimensi´on de V al n´umero de elementos de una (luego de cualquier) base de V .
Notaci´on: dimKV
Ejemplos
dimIRIR2 = 2, dimIRIR3 = 3
Ejercicios de espacios vectoriales comple-
jos
Ejercicio
Sea V = C y K = IR. Encuentre una base de C sobre IR.
Soluci´on
Un elemento cualquiera de C tiene la forma a + bi y tenemos que a + bi = a· 1 + b · i luego B genera C sobre K.
Adem´as, sea α· 1 + β · i = 01 + 0i luego α = 0 y β = 0 luego B es l.i. es decir, B es una base de C sobre IR.
Ejercicio
Sea V = C2 = C× C y K = C. Busquemos una base de C2 sobre C. Soluci´on
Afirmaci´on: A ={(1, 0), (0, 1)} es una base de C2 sobre C.
La forma t´ıpica de un elemento de C2 es (a + bi, c + di) el cual se escribe:
(a + bi, c + di) = (a + bi)(1, 0) + (c + di)(0, 1)
Luego A genera C2 sobre C.
Demostremos que A es l.i. sobre C. Sea (α + βi)(1, 0) + (γ + δi)(0, 1) = (0, 0), con α, β, γ, δ ∈ IR. N´otese que esta igualdad est´a en C2. Luego α + βi = 0 + 0i y γ + δi = 0 + 0i, (ambas igualdades en C), luego α = β = γ = δ = 0. Luego A es una base de C2sobre C y dimCC2 = 2.
N´otese que los escalares est´an en C, luego dimCC = 1
Ejercicio
Sea V = C2 = C× C y K = IR. Busquemos la dimensi´on de C2 sobre
IR
Soluci´on
Afirmaci´on: A = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} es una base de C2 sobre IR.
La forma t´ıpica de un elemento de C2 es (a+bi, c+di), con a, b, c, d∈ IR el cual se escribe:
(a + bi, c + di) = a(1, 0) + b(i, 0) + c(0, 1) + d(0, i) Luego A genera C2 sobre IR.
Demostremos que A es l.i. sobre IR.
Sea α(1, 0) + β(i, 0) + γ(0, 1) + δ(0, i) = (0 + 0i, 0 + 0i), (esta igualdad est´a en C2), luego (α + βi, γ + δi) = (0 + 0i, 0 + 0i), luego α = β = γ = δ = 0. Se tiene que A es una base de C2 sobre IR y dimIRC2 = 4.
Ejercicio
Sea V = C3 y K = C. Busquemos la dimensi´on de C3 sobre C. Soluci´on
Afirmaci´on: A ={(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 1)} es una base de C3 sobre
C.
La forma t´ıpica de un elemento de C3 es (a + bi, c + di, e + f i), el cual se escribe:
(a+bi, c+di, e+f i) = (a+bi)(1, 0, 0)+(c+di)(0, 1, 0)+(e+f i)(0, 0, 1) Prueba que A es un conjunto l.i.
Ejercicio
Sea V = C3 y K = IR. Busquemos la dimensi´on de C3 sobre IR Soluci´on
Afirmaci´on: A = {(1, 0, 0), (i, 0, 0), (0, 1, 0), (0, i, 0), (0, 0, 1), (0, 0, i)} es una base de C3 sobre IR y dimIRC3 = 6.
Ejercicio
Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre C. Demostremos que V tiene dimensi´on 2n sobre IR.
Soluci´on
Sea A = {v1, v2, . . . , vn} una base de V sobre C. Luego v ∈ V se
escribe en la forma:
v = (α1+ β1i)v1+ (α2+ β2i)v2+· · · + (αn+ βni)vn
= α1v1+ α2v2+· · · + αnvn+ (β1i)v1+ (β2i)v2+· · · + (βni)vn
= α1v1+ α2v2+· · · + αnvn+ β1(iv1) + β2(iv2) +· · · + βn(ivn)
Luego B ={v1, v2, . . . , vn, iv1, iv2, . . . , ivn} genera C sobre IR.
Sea α1v1+ α2v2+· · · + αnvn+ β1iv1+ β2iv2+· · · + βnivn= 0 + 0i
Luego
(α1+ iβ1)v1+ (α2+ iβ2)v2+· · · + (αn+ iβn)vn = 0 + 0i
Pero {v1, v2, . . . , vn} es l.i. sobre C, luego
α1+ iβ1 = 0 + 0i, α2+ iβ2 = 0 + 0i, . . . , αn+ iβn = 0 + 0i
por definici´on de igualdad de n´umeros complejos, tenemos
α1 = β1 = 0 = α2 = β2 =· · · = αn = βn
Luego B ={v1, v2, . . . , vn, iv1, iv2, . . . , ivn} es l.i. sobre IR.
Luego B forma una base sobre IR. Entonces V tiene dimensi´on 2n sobre IR.