Al inicio de este cap´ıtulo encontramos la soluci´on de Schwarzschild
comenzando con dos condiciones: simetr´ıa esf´erica y estaticidad. Una vez teniendo la soluci´on en las co- ordenadas originales de Schwarzschild encontramos, despu´es de una serie de cambios de coordenadas, la llamada “extensi´on m´axima de la geometr´ıa de Schwarzschild” que se puede ver mas claramente en las co- ordenadas de Kruskal-Szekeres. En estas coordenadas puede verse claramente un hecho sorprendente: la soluci´on de Schwarzschild no es est´atica en todos sitios como hab´ıamos supuesto. La propiedad de estati- cidad solo es v´alida en las regiones I y III del diagrama de Kruskal, es decir, las regiones exteriores. Solo ah´ı es posible que un observador f´ısico vea una geometr´ıa independiente del tiempo. En las regiones II y IV la geometr´ıa no es est´atica, el espacio se expande de una singularidad inicial en IV y se colapsa a una singularidad final en II.
¿Como podemos entender el conflicto entre nuestra condici´on original, independencia en el tiempo, y el resultado final de una geometr´ıa no est´atica en las regiones II y IV? La respuesta a esto tiene que ver con el problema de nuestras coordenadas originales. Lo que encontramos fue una soluci ´on a las ecuaciones de Einstein independiente de la coordenada t de Schwarzschild. Pero hemos visto que esa coordenada en de tipo temporaloide en el exterior, pero de tipo espacialoide en el interior. Esto significa que en el interior lo que tenemos no es una soluci´on est´atica, sino una soluci´on homog´enea, es decir independiente de la posici´on. La evoluci´on din´amica de la geometr´ıa de Schwarzschild puede entenderse mejor considerando una secuen- cia de superficies con v constante (superficies de tipo espacial) en el diagrama de Kruskal. Comencemos con la superficie con v=0. Como hemos visto, la geometr´ıa de esta superficie corresponde a un agujero de gusano con un “cuello” en r = 2M que une a las dos regiones exteriores I y III. Al avanzar en el tiempo (movernos hacia valores de v mayores a zero), la geometr´ıa aun tiene la estructura de un agujero de gusano, pero ahora penetra en la regi´on II, y el area del cuello es menor (se alcanzan valores menores de r). Al llegar a la singularidad, el cuello se cierra por completo (se llega a r=0), y los dos lados del agujero de gusano se separan. En la regi´on con v negativa la situaci´on se invierte. Podemos entonces pensar en la soluci´on completa imagin´andonos un agujero de gusano que aparece entre dos universos separados, se expande hasta alcanzar un area m´axima, y luego se vuelve a cerrar. El proceso ocurre tan r´apido, que ni siquiera un rayo de luz puede atravesar el agujero de gusano antes de que ´este se cierre de nuevo. Cualquier objeto que intente atravesar el agujero de gusano ser´a destruido inevitablemente en la singularidad que se forma al cerrarse el agujero.
Como hemos visto, la soluci´on de Schwarzschild puede obtenerse a partir de las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo partiendo de dos condiciones: simetr´ıa esf´erica y estaticidad. Hacia 1923, Birkhoff [3] demostr´o un teorema sorprendente: La geometr´ıa de Schwarzschild es la ´unica soluci´on a las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo con simetr´ıa esf´erica, es decir, la condici´on de estaticidad no es necesaria y es una consecuencia de la simetr´ıa esf´erica. Esto significa, en particular, que el campo gravitacional exterior de cualquier dis- tribuci´on esf´erica de materia o energ´ıa esta dado por la soluci´on de Schwarzschild y es por lo tanto est´atico, independientemente de si la materia esta oscilando, expendi´endose o contray´endose.
Otra manera de describir el teorema de Birkhoff es la siguiente: de la misma forma que en la electrodin´amica no hay ondas electromagn´eticas monopolares (esf´ericas), el teorema de Birkhoff implica que en la relatividad general tampoco hay radiaci´on gravitacional monopolar.
El teorema de Birkhoff es muy f´acil de demostrar. Como vimos en la secci´on 7.1, la m´etrica mas general en simetr´ıa esf´erica toma la forma:
ds2 = −e2Φdt2+ e2Λdr2+ r2dΩ2, (8.1) donde hemos reescrito la ecuaci´on (7.5) tomando f = e−2Φ y h = e2Λ, y donde ahora permitiremos que en
principio Φ y Λ sean funciones de r y t.
Las componentes no triviales del tensor de Einstein correspondiente a esta m´etrica resultan ser G00 = 1 r2 e 2Φ∂ rr 1 − e−2Λ , (8.2) G0r = 2 r∂tΛ , (8.3) Grr = − 1 r2 e 2Λ 1 − e−2Λ +2 r∂rΦ , (8.4) Gθθ = r2 e−2Λ ∂r2Φ + (∂rΦ)2+ 1 r ∂rΦ − ∂rΛ ∂rΦ − 1 r∂rΛ −e−2Φ h∂t2Λ + (∂tΛ)2− ∂tΛ ∂tΦ i , (8.5) Gφφ = sin2θ Gθθ. (8.6)
Como estamos en le vac´ıo, cada componente debe ser igual a cero. Al tomar G0r= 0vemos inmediatamente
que Λ es solo funci´on de r. La ecuaci´on G00= 0ahora implica que Λ tiene la misma forma que en la m´etrica
de Schwarzschild:
Las ecuaciones para Grr, Gθθy Gφφahora resulta ser equivalentes, y su soluci´on es (a partir de Grr= 0):
Φ = 1
2 ln |1 − 2M/r| + f(t) , (8.8)
con f(t) una funci´on arbitraria. La m´etrica toma entonces la forma:
ds2 = −e2f (t) (1 − 2M/r) dt2+ (1 − 2M/r)−1dr2+ r2dΩ2. (8.9) Ahora, introducimos una nueva coordenada t0 definida por:
t0:= Z
ef (t)dt ⇒ dt0 = ef (t)dt , (8.10) lo que transforma a la m´etrica en su forma final:
ds2= − (1 − 2M/r) dt02+ (1 − 2M/r)−1dr2+ r2dΩ2, (8.11) que no es otra cosa sino la m´etrica de Schwarzschild con t0en lugar de t.
El teorema de Birkhoff garantiza que si una estrella esf´erica se colapsa mas all´a de su radio de Schwarzschild r = 2M, entonces, sin importar de que material este hecha la estrella, ´esta debe colapsarse hasta que su superficie llegue a la singularidad en r = 0. Esto es debido a que la materia no puede viajar mas r´apido que la luz, y en la m´etrica de Schwarzschild cualquier trayectoria a velocidad menor que la de la luz que parte de alg´un sitio con r < 2M debe necesariamente alcanzar la singularidad. Tambi´en, ninguna se˜nal emitida por la estrella una vez que se colapsa dentro del radio de Schwarzschild puede salir al exterior. Esto significa que un observador en el exterior no puede ver a la estrella una vez que esta alcanza el radio de Schwarzschild, y nunca podr´a ver la singularidad resultante.