Discretizaci´on del Campo Aleatorio

Un campo aleatorio continuo puede ser aproximado mediante un conjunto de variables aleatorias correlacionadas. Para tal efecto, se divide el espacio que define el dominio del campo aleatorio. En tal contexto y considerando el uso del m´etodo de elementos finitos, se realiza la discretizaci´on espacial de la geometr´ıa del sistema tal que coincida con la malla de elementos finitos. En la literatura, los principales m´etodos de discretizaci´on de campos aleatorios incluyen el m´etodo del punto medio, el m´etodo de la funci´on de forma y el m´etodo de los promedios locales [29]. En esta investigaci´on se utiliza el m´etodo de punto medio [6], que se presenta a continuaci´on.

4.2.2.1. M´etodo del Punto Medio

Der Kiureghian y Ke son quienes introducen el m´etodo del punto medio [6]. Este m´etodo consiste en una aproximaci´on del campo aleatorio H(x) en cada elemento a trav´es de una ´unica variable aleatoria. Se define el valor del campo aleatorio en el centroide del elementoxc [30], es decir:

ˆ

H(x) =H(xc), x∈Ωe (4.2.13)

En la figura 4.3 se presenta un esquema del m´etodo de punto medio, en donde se ilustra el dominio Ωe y la forma en que se realiza la discretizaci´on, donde cada valor del campo aleatorio queda

representado en el centroide del elemento xc. El campo aleatorio discreto ˆH(·) es definido por el

vector aleatorio χ=

H(x1

c), . . . , H(xNce) , en queNe corresponde al n´umero total de elementos

definidos en la discretizaci´on del sistema. El valor medio ˆµy la matriz de covarianza ˆCson obtenidos desde el promedio, la varianza y el coeficiente de auto-correlaci´on de ˆH(·) evaluada en el centroide de cada elemento. En general, el m´etodo de discretizaci´on del punto medio tiende a sobre representar la variabilidad en el elemento [6]. Por ello, es de importancia la selecci´on del tama˜no de malla en la definici´on del modelo de elementos finitos. Los elementos no deben ser muy grandes para que la

xc

Ωe

x y

Figura 4.3: Discretizaci´on de un campo aleatorio a trav´es del punto medio del elemento

4.2.2.2. Representaci´on Discreta de un Campo Aleatorio Log-Normal

El uso del campo aleatorio GaussianoG(x) es com´un en el contexto de an´alisis estoc´astico [30]. Sin embargo, no en todos los casos es factible modelar alguna propiedad con un campo Gaussiano. Por ejemplo, el m´odulo de Young, el coeficiente de Poisson o propiedades geom´etricas que adquieren solo valores positivos. Por tal raz´on, el campo aleatorio log-normal aparece como una alternativa y se define como una transformaci´on del campo Gaussiano de la forma siguiente:

Γ(x) =eG(x) (4.2.14) Por lo tanto, se tiene que el campo aleatorio Γ(x) es log-normal y busca representar una caracter´ısti- ca del sistema estructural. De la misma forma que en el caso de un campo aleatorio Gaussiano, Γ(x) queda totalmente descrito mediante su valor esperado ¯Γµ y por la covarianzaC.

A su vez, un campo aleatorio log-normal discreto ˆΓ puede ser representado por medio de la expansi´on Karhunen-Lo`eve. Para ello, se requiere calcular la matriz de covarianza discreta ˆCG de un campo aleatorio Gaussiano discreto ˆG relacionado con la matriz de covarianza ˆC del campo aleatorio log-normal de inter´es. Note que se requiere aplicar alguna metodolog´ıa para la discretizaci´on del campo aleatorio, tal como el m´etodo del punto medio, el cual fue explicado en la secci´on anterior. La componente (p, q)-´esima de la matriz de covarianza ˆCGdel campo aleatoria Gaussiano asociado se obtiene mediante la siguiente expresi´on:

ˆ CpqG = ln ˆ Cpq ˆ Γ2 µ + 1 ! ; p, q= 1, . . . , Ne (4.2.15)

La ecuaci´on 4.2.15 representa la covarianza entre dos puntos p y q, donde p, q = 1, . . . , Ne, en

queNees el n´umero de elementosdel campo aleatorio y ln(·) representa la operaci´on del logaritmo

De manera similar, el valor de la p-´esima componente del valor esperado del campo aleatorio Gaussiano asociado al campo aleatorio log-normal se calcula como:

ˆ µG p = ln ˆ ¯ Γµ −1 2Cˆ G pp; p= 1, . . . , Ne (4.2.16)

Luego, es posible utilizar la expresi´on Karhunen-Lo`eve para representar un campo aleatorio discreto Gaussiano, ˆG(x), asociado al campo log-normal discreto ˆΓ. Donde la representaci´on de la propiedad deseada correspondiente al p-´esimo elemento finito del sistema y se realiza mediante la siguiente expresi´on: ˆ Γp=eµˆ G p+ PM d=1ζ G pdξd_{, p= 1, . . . , N} e (4.2.17)

donde ξ, d = 1, . . . , M son variables aleatorias Gaussianas independientes, M es el n´umero de t´erminos considerados cuando se representa el campo aleatorio Gaussiano, ˆG(x), usando la expre- si´on de Karhunen-Lo`eve (notar queM ≤Ne), ˆµGp es lap-´esima componente del valor esperado ˆµG

asociado a ˆG(x) yζG

pdconp= 1, . . . , Ne, ed= 1, . . . , Mson constantes que dependen de los valores

y vectores propios de la matriz de covarianza discreta ˆCG. Las constantesζG

pd se calculan como: ζG pd = q λG dφGpd, p, d= 1, . . . , Ne (4.2.18) donde λG

d es el d-´esimo valor propio de la matriz de covarianza discreta ˆC G

y φG

pd es el p-´esimo

elemento del vector propio φG_d de la matriz de covarianza discreta ˆCG. Note que λGd y φ G d se

calculan a partir del problema: ˆ

CGφG_d =λGdφ G

d, d= 1, . . . , M (4.2.19)

Se asume que los valores propios se ordenan de tal forma queλG

1 ≥λG2 ≥. . .≥λGM.

Una de las principales ventajas de ocupar una expansi´on Karhunen-Lo`eve para representar un campo aleatorio, es que en casos donde la correlaci´on del campo es alta, entonces se requieren pocos t´erminos para poder capturar la variabilidad del campo aleatorio. Es decir, es suficiente con considerar los t´erminos asociados a los mayores valores propios de la matriz de covarianza.