1.10. METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (MSR).
1.10.5. DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA.
1.10.5.2. Diseños para Ajustar el Modelo de Segundo Orden.
Al igual que en el modelo de primer orden, los ajustes cuadráticos del modelo de segundo orden requieren de diseños específicos para realizar experimentos de esta naturaleza. Este tipo de diseños son los más ampliamente utilizados dentro de la práctica experimental común; su fácil aplicación y sus diversas ventajas son algunas de las causas de su preferencia, además de que poseen buen ajuste a la mayoría de modelos cuadráticos.
1.10.5.2.1. Diseños Factoriales 3k.
Un diseños de segundo orden factible es el diseño factorial 3k, el cual requiere que la respuesta sea observada en todas las posibles combinaciones de los niveles de las variables de entrada k que poseen tres niveles cada una. En el caso del diseño factorial 3k, el número, N, de ensayos experimentales es N=3k y puede por ende ser excesivamente grande, especialmente cuando un gran número de variables de entrada son estudiadas. Para reducir el número de puntos de diseño total, puede considerarse el uso de réplicas fraccionadas de estos diseños. Tales fracciones son llamados diseños factoriales fraccionados 3k-m.
1.10.5.2.2. Diseños Box-Behnken.
Diseños factoriales para la estimación de los parámetros en un modelo de segundo orden fue desarrollado por Box-Behnken [8]. Estos autores propusieron algunos diseños de 3 niveles para ajustar superficies de respuesta. Por definición, un diseño factorial incompleto a tres niveles es un subconjunto de las combinaciones factoriales de un diseño factorial 3k. Los diseños Box- Behnken están formados por la combinación de diseños factoriales a dos niveles con diseños de bloque incompleto balanceado (DBIB) en una manera particular. Los diseños resultantes suelen ser muy eficientes en términos del número de corridas, y son rotables o casi rotables. El siguiente ejemplo muestra cómo un diseño Box-Benhken puede ser construido.
Ejemplo. Considere un DBIB involucrando 4 tratamientos y 6 bloques con cada bloque conteniendo dos tratamientos. Cada tratamiento aparece tres veces en el diseño, una vez con cada uno de los otros tratamientos. Si los tratamientos son denotados por asterisco, se obtendría el diseño siguiente:
29 x1 x2 x3 x4 1 * * 2 * * 3 * * 4 * * 5 * * Bloques 6 * * Ahora se combina el diseño anterior con el diseño factorial 22:
xi xj
-1 -1 1 -1
-1 1 1 1
De la siguiente manera: Los dos asteriscos en cada bloque son reemplazados en las dos columnas del diseño 22. Una columna de ceros es incluida cuando no aparecen asteriscos. El diseño es aumentado por la adición de puntos centrales, siendo utilizados tres en este ejemplo. El resultado es un Diseño Box-Behnken a 3 niveles con 4 variables y 27 puntos:
x1 x2 x3 x4 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 -1 0 0 -1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 0 1 0 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 1 0 1 -1 0 -1 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
30 El diseño obtenido es rotable y los bloques ortogonalmente en 3 bloques indicados por las líneas discontinuas. Se dice que un diseño de superficie de respuesta se forma de bloques ortogonales si se divide en bloques tales que sus efectos no afecten las estimaciones de los parámetros del modelo de superficie de respuesta. En general, sin embargo, los diseños Box-Behnken no son siempre rotables ni están en bloques ortogonales. Los autores Box y Behnken enlistaron un número de diseños de segundo orden para k = 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, y 16 variables de entrada.
Estos diseños serán de importancia al realizar el estudio comparativo a desarrollarse en este trabajo, por lo que es importante considerarlos como uno de los diseños de segundo orden para ajustar superficies de respuesta de mayor aplicación en prácticas experimentales.
Fig. 7. Diseño Box-Behnken para 3 factores.
1.10.5.2.3. Diseños Central Compuesto (DCC).
Otro de los diseños de segundo orden utilizados por la MSR, y que son de amplia utilización en la práctica son los Diseños Central Compuesto (DCC). Box y Wilson [7] introdujeron una clase alternativa de diseño a los diseños 3k, llamados la clase de los Diseños Central Compuesto. Un diseño Central Compuesto consiste en:
1. Un diseño factorial completo (o una fracción del) 2k, donde el nivel de los factores está codificado a los valores usuales -1, +1 estándares. Esto es llamado la porción factorial del diseño.
2. Un número nC de puntos centrales (nC>=1).
3. Dos puntos axiales en el eje de cada variable de diseño a una distancia de α desde el centro de diseño. Esta porción es llamada la porción axial el diseño.
El número total de puntos de diseños es N = 2k + 2k + nC. Los valores de α y nC son escogidos
apropiadamente siguiendo algunos criterios. Por ejemplo, un DCC en 2 variables con nC = 1 y α= 2 es de la forma:
31 x1 x2 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 D = 2 0 - 2 0 0 2 0 - 2 0 0
La siguiente Figura muestra un Diseño Central Compuesto para k = 2 y k = 3 factores.
Fig. 8. Diseños Centrales Compuestos para k = 2 y k = 3.
Rotabilidad.
Es importante que el modelo de segundo orden proporcione buenas predicciones en toda la región de interés. Una manera de definir “buenas” es requerir que el modelo tenga una varianza razonablemente consistente y estable de la respuesta predicha en los puntos de interés x. Dicha varianza de la respuesta predicha en algún punto x es:
[
y x]
x X X xV ( ) 2 '( ' ) 1
ˆ =σ −
Box y Hunter [7] propusieron que un diseño de superficie de respuesta de segundo orden debe ser rotable. Esto significa que la V
[
yˆ(x)]
es la misma en todos los puntos x que están a la misma distancia del centro del diseño. Es decir, la varianza de la respuesta predicha es constante en esferas.La rotabilidad es una base razonable para la selección de un diseño de superficie de respuesta. Puesto que la finalidad de la MSR es la optimización, y la localización del óptimo se desconoce antes de correr el experimento, tiene sentido el uso de un diseño que proporcione una precisión
32 de estimación igual en todas las direcciones (puede mostrarse que cualquier diseño de primer orden ortogonal es rotable).
Un Diseño Central Compuesto (DCC) se hace rotable mediante la elección de α. El valor de α
para la rotabilidad depende del número de puntos en la porción factorial del diseño; de hecho,
α=(nF)1/4 produce un diseño central compuesto rotable, donde nF es el número de puntos usados
en la porción factorial del diseño.
1.10.5.2.4. Otros diseños de segundo orden.
Existen otros muchos diseños de superficie de respuesta que en ocasiones son útiles en la práctica. Para dos variables, podrían usarse diseños compuestos de puntos cuya separación en un círculo es igual y forman polígonos regulares. Puesto que los puntos del diseño son equirradiales del origen, a estos arreglos con frecuencia se les llama diseños equirradiales.
Otros diseños útiles incluyen el diseño central compuesto pequeño, el cual consiste en un factorial fraccionado en el cubo de resolución III (los efectos principales son alias de las interacciones de dos factores y ninguna de las interacciones de dos factores es alias entre sí) y las corridas axiales y centrales usuales; la clase de los diseños híbridos, estos diseños pueden ser de valor considerable cuando es importante reducir el número de corridas tanto como sea posible. Además de éstos, están los diseños saturados o casi-saturados, los cuales incluyen cerca (pero no menos que) p puntos de diseño para estimar los parámetros del modelo.
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