4. Procesos Estocásticos
4.4. Procesos de Poisson
4.4.1. Distribución de Poisson como una aproximación de la
En la presentación de las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas, se observó que hay muchos fenómenos naturales que pueden modelarse con la distribución Binomial.
En este caso, para diferentes valores de los parámetros n, x y p, es nece- sario calcular
p(x) =n x
px(1 − p)n−x.
Este cálculo, en muchos casos, es difícil de conseguir, debido a que involucra la operación factorial, la cual es muy costosa en operaciones computacionales. En 1837, el matemático francés Simeon Denis Poisson publicó un libro sobre probabilidad, en el que incluyó un procedimiento para obtener la fór- mula que aproxima la distribución Binomial cuando n es grande (n → ∞), la probabilidad de éxito p es pequeña (p → 0), y el promedio de los sucesos np es una cantidad fija no muy grande (np = λ para una constante λ).
Usando estos valores, siendo X una variable aleatoria con distribución Binomial(n, p), para x = 0, 1, 2, . . . , n, P(X = x) = n x px(1 − p)n−x = n! x!(n − x)! λ n x 1 −λ n n−x = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − x + 1) nx λx x! 1 −λnn 1 − λnx (4.6)
Para n grande y λ una constante apreciable, 1 −λ n x → 1 1 − λ n n → e−λ
Además, tanto el numerador como el denominador de la primera fracción en (4.6) son polinomios de grado x, entonces, para n → ∞,
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − x + 1) nx → 1 Por tanto, si n → ∞, P(X = x) → e −λλx x! .
La significancia de esta aproximación aparece por primera vez en 1889, en la obra del matemático ruso-alemán L. V. Bortkiewicz, donde demuestra que dado que ∞ X x=0 e−λλx x! = e −λ ∞ X x=0 λx x! = e −λ eλ = 1,
este valor aproximado constituye en sí mismo una distribución de probabili- dad. Esta propiedad y la introducción de los Procesos de Poisson en el siglo XX hicieron que la función de probabilidad de Poisson se convirtiera en una de las tres distribuciones de probabilidad más importantes, junto a la Normal y la Binomial.
4.4.2.
Procesos de Poisson
Suponga que, en un punto que se marcará como t = 0, se comienza a contar la ocurrencia de cierto evento. Por ejemplo, los accidentes que ocurren en cierto cruce, o la conexión de un usuario a un servidor.
Para cada valor de t se obtiene el número de eventos que han ocurrido hasta el tiempo t, que se denota por N (t). Observe que N (t) constituye una variable aleatoria discreta que puede algún valor del conjunto {0, 1, 2 . . .}. Para deducir cual es la distribución de esta variable aleatoria, es necesario considerar las tres siguientes suposiciones, acerca de la forma en que pueden ocurrir estos eventos.
1. Estacionaridad: Para todo n ≥ 0, y para cualesquier dos intervalos de tiempo iguales ∆1 y ∆2, la probabilidad de que ocurran n eventos
en ∆1 es igual a la probabilidad de que ocurran n eventos en ∆2.
2. Incrementos independientes: Para todo n ≥ 0 y para todo inter- valo de tiempo (t, t + s), la probabilidad de que ocurran n eventos en (t, t + s) es independiente de cuántos eventos han ocurrido antes. En particular, si se consideran los tiempos 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tk, para
1 ≤ i ≤ k − 1 se define Ai, como el evento de que ocurran ni eventos
en el intervalo [ti, ti+1). Los incrementos independientes indican que los
eventos {A1, A2, . . . , Ak−1} son independientes.
3. Orden: La ocurrencia de que dos o más eventos en un intervalo de tiempo muy pequeño es un evento imposible. En término de conver- gencia,
l´ımh→0
P (N (h) > 1)
h = 0,
es decir, cuando h → 0, la probabilidad de que ocurran dos o más eventos, P (N (h) > 1), va para 0 más rápido que h.
Observe que por la propiedad de estacionaridad, la distribución del número de eventos en (t1+ s, t2+ s], s ≥ 0, es la misma que la del número de eventos
en (t1, t2]. Es decir, las variables aleatorias N (t2) − N (t1) y N (t2 + s) −
N (t1+ s) tienen la misma distribución de probabilidad. En otros términos: la
probabilidad de que ocurran n eventos en un intervalo dado (t1, t2) depende
de la longitud del intervalo y no de su ubicación.
Teorema 4.4. Si la ocurrencia de cierto evento cumple las propiedades de estacionaridad, incrementos independientes y orden, y además, N (0) = 0 y para todo t > 0, 0 < P(N (t) = n) < 1 (para evitar casos triviales), entonces, existe un número positivo λ tal que
P(N (t) = n) =
(λt)ne−λt
n! .
Es decir, para todo t > 0, N (t) es una variable aleatoria de Poisson con parámetro λt. De aquí, E[N (t)] = λt.
Idea de la prueba: La razón por la cual N (t), el número de eventos ocurridos hasta el tiempo t, es Poisson, se debe al hecho de que la variable
aleatoria de Poisson es una aproximación de la distribución Binomial cuando n es grande, p pequeño y np es moderado.
Dividamos el intervalo [0, t] en n subintervalos de igual longitud. Cuando n → ∞, la probabilidad de tener dos o más eventos en cada uno de estos subintervalos es 0.
Por tanto, N (t) es el número de subintervalos en los que ha ocurrido un evento. Entonces, si tenemos en cuenta que, debido a la estacionaridad, la probabilidad de tener un evento en cualquiera de estos intervalos es constante, y debido a la propiedad de incrementos independientes, cada intervalo se puede ver como un ensayo independiente, se concluye que N (t) es el número de éxitos en n ensayos de Bernoulli.
Entonces N (t) tiene una distribución Binomial de parámetros n y p donde es la probabilidad de que un evento ocurra en un subintervalo.
Sea λ el número esperado de eventos en una unidad de tiempo. Debido a la estacionaridad, los eventos ocurren a una tasa uniforme sobre todo el periodo, es decir, el número esperado de eventos en un intervalo de longitud t es λt. Por la fórmula para la esperanza de una variable aleatoria Binomial, el número esperado de eventos en el intervalo de longitud t es np. Entonces, np = λt o equivalentemente,
p = λt n .
Para n → ∞ tenemos que p es muy pequeño y λt es de tamaño moderado. Por tanto, N (t) es una variable aleatoria de Poisson con parámetro λt.
Definición 4.14. Un proceso {N (t)}t≥0 es un Proceso de Poisson de
tasa λ, λ > 0, si cumple las siguientes propiedades: 1. N (0) = 0.
2. El proceso tiene incrementos independientes.
3. El número de eventos en cualquier intervalo de longitud t tiene una distribución de Poisson con media λt. Es decir, para todo s, t ≥ 0,
P(N (t + s) − N (s) = n) = e
−λt(λt)n
Observe que la parte (3) implica que el proceso {N (t)} es estacionario. Ejemplo 4.21. Suponga que en cierto cruce, el número de infracciones de tránsito que allí ocurren tiene una distribución de Poisson de tasa 5 por día. Determine la probabilidad de que hayan al menos dos infracciones de tránsito en las siguientes 6 horas.
Sea N (t) el número de infracciones hasta el tiempo t. Se puede asumir que {N (t)}t≥0es un Proceso de Poisson, porque es estacionario, tiene incrementos
independientes, N (0) = 0, y no se consideran dos infracciones de tránsito simultáneas.
Si se escoge un día como la unidad de tiempo, entonces, λ = E[N (1)] = 5. Por tanto,
P(N (t) = n) = e
−5t(5t)n
n! .
Entonces, la probabilidad de que hayan al menos dos infracciones de trán- sito en las siguientes 6 horas (un cuarto de día) es:
P(N (1/4) ≥ 2) = 1 − P(N (1/4) = 0) − P(N (1/4) = 1) = 1 − e −5/4(5/4)0 0! − e−5/4(5/4)1 1! ≈ 0,36.
Distribución de los tiempos entre llegadas en procesos de Poisson Sea {N (t)}t≥0 un proceso de Poisson. Consideremos las siguientes vari-
ables:
X1 = Tiempo en que ocurre el primer evento
X2 = Tiempo entre el primer y el segundo evento
X3 = Tiempo entre el segundo y el tercer evento
.. .
Xn = Tiempo entre el (n − 1)-ésimo y el n-ésimo evento
la sucesión de eventos {X1, X2, X3. . .} se conoce como Sucesión de tiempos
Para λ = E[N (1)], tenemos que
P(N (t) = n) = (λt)
ne−λt
n! .
A partir de esta probabilidad podemos determinar la distribución de las variables Xi, i = 1, 2, . . .
Observe que para t ≥ 0, el evento {X1 > t} indica que el primer evento
del proceso ocurrió después del tiempo t. Esto es equivalente a que antes del tiempo t no han ocurrido eventos, es decir {N (t) = 0}. Por tanto,
P(X1 > t) = P(N(t) = 0) = e−λt.
Esto significa que X1 tiene una distribución Exponencial con media 1/λ.
Como el proceso de Poisson es estacionario y tiene incrementos indepen- dientes, en cualquier tiempo t el proceso comienza de nuevo probabilísti- camente. Entonces, el tiempo entre llegadas entre dos eventos consecutivos tiene la misma distribución que X1. Es decir, la variables de la sucesión
{X1, X2, X3. . .} son independientes y todas tienen distribución Exponencial
de media 1/λ. Entonces, su función de densidad de probabilidad está dada por:
f (x) = λe
−λx si x ≥ 0
0 si x < 0
Ejemplo 4.22. El número de carros que llegan a cierta área de un par- queadero de un centro comercial, es un proceso de Poisson de con tasa de 6 carros por hora. Determine la probabilidad de que pasen 15 minutos sin llegadas de carros a esa área del parqueadero.
Si X representa el tiempo entre llegadas de los carros, entonces, con λ = 6 carros por hora, tenemos que la probabilidad de que X sea mayor a 15 minutos (1/4 de hora) se puede calcular usando la distribución exponencial de media 1/6. Así:
Ejemplo 4.23. Suponga que 10000 usuarios telefónicos originan una llamada por hora. Determine la probabilidad de que el tiempo entre la entrada de dos llamadas sea menor de 0.01 segundos.
La tasa de llegada de las llamadas es: λ = 10000 1
3600 = 2,78 llamadas por segundo.
La probabilidad de que el tiempo entre llegadas, X, sea menor de 0.01 se- gundos es:
P(X < 0,01) = 1 − e−2,78(0,01) = 0,027
Observación: Usando herramientas de un área de la probabilidad que se conoce como la Teoría de Renovación (ing: Renewal theory), se puede probar que los procesos de Poisson se pueden caracterizar por los tiempos de llegada: Si, para algún proceso, N (t) es el número de eventos que ocurre en [0,t], y si los tiempos entre eventos consecutivos forman una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas exponencial con media 1/λ, entonces, {N (t)}t≥0 es un Proceso de Poisson de tasa λ.