Distribución Ji-Cuadrado - Distribuciones continuas

VII. Distribuciones continuas

7.5 Distribución Ji-Cuadrado

La distribución Ji-cuadrado fue encontrada por primera vez por F.R Helmert en 1876. Esta distribución toma el nombre de la letra griega



elevada al cuadrado. Esta letra en castellano se llama Ji y en inglés Chi.

Una v.a X tiene distribución Ji-cuadrado con m grados de libertad si su función de probabilidad está dada por:

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Características de una distribución Ji-cuadrado típica

Como se aprecia en el gráfico anterior:

1. Presenta un sesgo o asimetría positiva.

2. Es asintótica con respecto al eje horizontal en el lado positivo. 3. El rango de la variable considera sólo los valores positivos.

4. La distribución tiene menor sesgo conforme los grados de libertad son mayores (m > 30) 5. Si

X



2( )m , entonces



m

y 2

2 m





. Teorema Si Z ~ N(0,1) entonces

Z



(1)2 Ejemplo

7.6 Distribución t de Student.

La distribución t fue empleada por primera vez en un problema de Estadística importante por W.S Gosset en 1908 (él escribía bajo el seudónimo de Student).

Una v.a X tiene distribución t con m grados de libertad si su función de probabilidad es:

Características de la distribución t

1. Cada curva t(m) tiene forma acampanada con centro en 0. 2. Cada curva t(m) es más dispersa que la curva normal estándar.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BIOLÓGICAS 96 3. Si X ~ t(m), entonces



₀

0

y 2 2 X m m    .

4. Conforme aumenta m, la dispersión de la curva t(m) disminuye.

5. A medida que

m

, la curva t(m) se aproxima a la curva normal estándar. Teorema

Si las v.as Z N(0,1) y

V



( )2m son independientes, entonces la v.a ( )m

Z X t V m  .

7.7 Distribución F

Ronald A. Fisher (nació en Inglaterra el 17 de Febrero de 1890 y falleció el 29 de Julio de 1962) fue un gran científico, matemático, estadístico, biólogo evolutivo y genetista. Fisher aportó mucho a la estadística, siendo una de sus más importantes contribuciones, la Inferencia Estadística creada por él en 1920 (que se estudiará de manera introductoria en el capítulo XI de este libro). A la

distribución F también se le llama distribución F de Snedecor o distribución F de Fisher-Snedecor. Una v.a. X tiene una distribución F con n y m grados de libertad si su función de probabilidad es:

Características de la distribución F

a. Está definida solamente para valores positivos de la variable. b. Tiene asimetría positiva.

c. Es asintótica respecto al eje horizontal en su parte positiva.

d. Las distribuciones F(n,m) tienden a ser simétricas cuando n y m suficientemente grandes (mayores que 30)

Teorema Si

U



( )2n y

2 ( )m

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( , )

U

m

n

X

F n m

V

n

m







Notación Si X F(n, m) y

P X(

   k)



k

F

( , , )n m Propiedad recíproca ( ,n,m) (1 , , )

1 F

m n

F

  



REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

- Guía del curso de estadística general. 2016. Departamento estadística e informática. UNALM.

- Daniel W. Bioestadística. Cuarta edición. Limusa Wiley. 2006

- Spiegel, M. Estadística. 2da ed. Mc GRAW HILL. España 1991. 556 pag

- Balzarini Mónica; Di Rienzo Julio; Tablada Margot; González, Laura; Bruno Cecilia; Córdoba Mariano; Robledo Walter; Casanoves Fernando. 2011. Estadística y Biometría. Editorial Brujas. Argentina.

- Guía del curso de estadística general. 2016. Departamento estadística e informática. UNALM

- Blair R. Clifford y Richard A. Taylor. 2008. Bioestadística. Pearson Educación, México, 2008

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VII. Muestreo

7.1 Muestreo

Proceso de selección de muestras, se utiliza cuando no es posible contar o medir todos los elementos de la población objeto de estudio.

7.2 Muestra

Una muestra es una parte de la población. (En algunos casos, una muestra puede incluir la población entera). Por lo general, se trata de usar la información de muestra para hacer inferencia acerca de una población. Por esta razón es particularmente importante definir la población que se estudia y obtener una muestra representativa de la población definida.

7.3 Selección de la muestra.

Ha sido ampliamente demostrado que no se puede tomar una muestra aleatoria sin emplear un proceso mecánico. En el proceso usado para obtener una muestra aleatoria o para introducir la aleatoriedad en un experimento o encuesta, por lo general interviene una tabla de números aleatorios.

Cómo seleccionar una muestra: • Tamaño reducido.

• Ausencia de sesgos.

o Conclusiones obtenidas de la muestra son válidas para la población. • Facilidad en la definición de la muestra.

• Mejor alternativa: Muestras aleatorias simples

o Cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de pertenecer a la muestra. o La selección se realiza de manera independiente.

 La selección de un individuo concreto no afecta a la probabilidad de seleccionar cualquiera de los otros.

7.4 Características de la muestra

Una muestra debe ser representativa de la población si tiene como fin obtener inferencias válidas. Para obtener una muestra representativa, el principio de aleatoriedad se incorpora a las reglas para obtener la muestra. La aleatoriedad es el resultado de un proceso mecánico para asegurar que los sesgos individuales, conocidos o desconocidos en su naturaleza, no influyan en la selección de las observaciones de la muestra. En consecuencia, se aplican las leyes de la probabilidad y se usan para extraer inferencias.

En resumen, para que una muestra sea representativa debe cumplir con las siguientes condiciones: a) Debe haber sido obtenida al azar.

b) Su tamaño y sus elementos deben haber sido seleccionados aplicando un método de

muestreo.

7.5 Tipos de muestreo.

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones:

a) Muestreo no aleatorio o de juicio: Se emplea el conocimiento y la opinión personal para identificar aquellos elementos de la población que deben incluirse en la muestra.

b) Muestreo aleatorio o de probabilidad: En el cual todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos para la muestra. Dentro de este tipo de muestreo se encuentran:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BIOLÓGICAS 103 b.1) Muestreo aleatorio simple: el cual es un método de selección de muestras que permite que cada muestra posible pueda ser elegida con la misma probabilidad. Por su parte cada elemento de la población tiene la misma oportunidad igual de ser incluido en la muestra.

b.2) Muestreo sistemático: método en el cual los elementos que se muestrearán se seleccionan de la población en un intervalo uniforme que se mide con respecto al tiempo, al orden o al espacio.

b.3) Muestreo estratificado: método en el que la población se divide en grupos

homogéneos, o estratos, y después se toma una muestra aleatoria simple de cada estrato. Aquí la variabilidad dentro de cada grupo es pequeña y entre los grupos es grande. b.4) Muestreo de racimo: método en el que la población se divide en grupos o racimos de elementos, y luego se selecciona una muestra aleatoria de estos racimos. La variabilidad dentro de cada grupo es grande y entre los grupos es pequeña; es como si cada racimo fuese un pequeña representación de la población en si mima.