Divisores adjuntos de curvas planas

En las mismas condiciones que en el apartado anterior, fijado un punto ce- rrado P de χ, se tiene que P es tambi´en un punto cerrado de la superficie S, y el cuerpo residual k(P ) no depende en realidad ni de χ ni de S, seg´un la teor´ıa general de puntos cerrados sobre esquemas. Se consideran los domi- nios R = Oχ,P y O = OS,P , ´este ´ultimo regular de dimensi´on 2, y sean las

sucesiones exactas de morfismos naturales

O → R → 0

0 → R → R

El n´ucleo del primer morfismo tiene altura 1, puesto que la imagen es de dimensi´on 1 y, por otra parte, el dominio O es factorial, al ser O de hecho regular; por lo tanto, dicho n´ucleo es un ideal primo principal de O, apli- cando el teorema de Krull , con lo cual se puede generar por un elemento de

OS(U), donde U es un abierto af´ın de S que contiene al punto P . N´otese

que O = OS,P es en realidad la localizaci´on de OS(U) en el ideal maximal

que corresponde al punto P .

En el caso particular en que S sea una superficie racional, es decir, S bi- rracionalmente equivalente al plano proyectivo IP2(o bien IF(S) ∼= IF(IP2)), el elemento generador de dicho n´ucleo es de hecho un polinomio; esta propiedad es importante para el punto de vista computacional, con lo que en adelante supondremos que la curva χ est´a inmersa en una superficie racional S no singular.

N´otese que al explotar un punto cerrado de una superficie racional el re- sultado es nuevamente una superficie racional y, en particular, la explosi´on de un n´umero finito de puntos cerrados del plano proyectivo IP2 es una super- ficie racional. Rec´ıprocamente, toda superficie racional (salvo isomorfismo) se obtiene a partir del plano proyectivo IP2 _{explotando sucesivamente un} n´umero finito de puntos cerrados. En consecuencia, toda superficie racional

S puede recubrirse por un n´umero finito de abiertos afines que son isomor-

fos al plano af´ın sobre IF (equivalentemente, tales que OS(U) = IF[X, Y]), y

rec´ıprocamente.

En la situaci´on anterior, consideramos nuevamente el ideal conductor

CP = CR/R

.

= {z ∈ R | z R ⊆ R}

Por definici´on, CP es simult´aneamente un ideal de R y de R, y es de hecho

el m´aximo ideal con esta propiedad. Podemos por tanto hacer una doble interpretaci´on de CP de la manera siguiente:

(a) Como ideal de R no se considera para nada la inmersi´on en S; teniendo en cuenta que R es un dominio de Dedekind con un n´umero finito de ideales maximales m_Q (correspondiendo exactamente a las ramas racionales Q de χ en P ), se tiene que el ideal conductor es un producto de ideales de la forma CP = Y Q m∆_QQ donde div (CP) = X Q

∆QQ y Q recorre el conjunto de ramas racionales

de χ en P . Se tiene que ∆Q ∈ IN y adem´as la longitud `R(R/CP) =

X

Q

∆Q deg Q, en virtud del teorema chino de los restos.

Por otro lado, al ser R plano se tiene que R es Gorenstein, con lo que se verifica la llamada f´ormula de Gorenstein

`<sub>R</sub>(R/CP) = 2 `R(R/CP)

En otras palabras, se tiene que dQ = 2 ∆Q para todo Q.

(b) En cuanto ideal de R, existe otro ideal AP que contiene al n´ucleo del

morfismo O → R tal queA_P se aplica sobre el conductor CP por el mor-

alg´un no divisor de cero, se deduce f´acilmente que que el anillo R CP ∼ = O A_P

es artiniano, con lo que el ideal AP es primario para el ideal maximal

m(O) del anillo local O. Por definici´on, se dice que el ideal A_P es el ideal de las ecuaciones de los g´ermenes de adjuntas en P sobre IF. Se define globalmente el ideal de adjuntas A como un haz de ideales de

OS sobre la superficie S cuya fibra en P es el ideal AP si P es un punto de

la curva χ, o bien es OS,P si P es un punto de S que no est´a en la curva. De

hecho, si P ∈ χ se tiene queA_P = OS,P si y s´olo si P es un punto no singular

de χ, con lo que el haz de idealesAest´a concentrado en el conjunto de puntos singulares de la curva χ, y por tanto tiene soporte finito. As´ı, darAes, en la

pr´actica, equivalente a dar el n´umero finito de datos A_P para P ∈ Sing (χ). A continuaci´on daremos la definici´on de divisor adjunto sobre S; dicha definici´on ser´a de naturaleza local-global, pues en ella tanto χ como S podr´an ser simult´aneamente g´ermenes de variedades o bien variedades (afines o pro- yectivas).

Definici´on 2.5 Un divisor efectivo D sobre S se dice adjunto para la curva

χ si para todo P ∈ Sing (χ) se tiene que la ecuaci´on local de D en P est´a en el ideal AP.

N´otese que en el plano proyectivo IP2dar un divisor es equivalente a dar un ciclo de curvas D =PniDi, donde ni es un n´umero entero y Di es una curva

plana irreducible (es decir, un divisor de Weil ), y D es efectivo si ni ≥ 0 para

todo i. En este caso, el hecho de que D sea adjunto significa que el polinomio homog´eneo en tres variables F =QFni

i tiene un g´ermen de adjunta en todo

punto singular P de χ, donde Fi es el polinomio (un´ıvocamente determinado

salvo constante no nula en IF) que define la curva Di.

Para una superficie arbitraria S podemos considerar divisores de Cartier , es decir, dar D equivale a dar un recubrimiento de S por abiertos de Zariski

U no vac´ıos y dar para cada U un elemento 0 6= fU ∈ OS(U) de forma que si

U 6= U0 _{se tiene que f}

U = fU0u_U,U0 donde u_U,U0 ∈ O_S(U ∩ U0)∗ es una unidad

en el anillo de coordenadas del abierto intersecci´on (que necesariamente es no vac´ıo). Dos divisores de Cartier {(U, fU)} y {(V, gV)} se identifican si

En particular, si S es una superficie racional los abiertos U se pueden tomar siempre afines, es decir, OS(U) es un anillo de polinomios, con lo

que dar D equivale a dar localmente un divisor de Weil. En realidad, si la superficie S es lisa, dar un divisor de Cartier equivale a dar un divisor de Weil, es decir, un ciclo de curvas D =PniDi, donde ni es un n´umero entero

y Di es una curva irreducible inmersa en S.

Por otro lado, cada divisor efectivo se encuentra en una clase de equiva- lencia lineal de divisores efectivos, cada una de las cuales se denomina sistema

lineal completo. Por ejemplo, para el plano proyectivo IP2 existe un sistema lineal completo |OIP2(n)| para cada n´umero natural n ≥ 0 cuyos elementos se

corresponden con los del proyectivizado del espacio vectorial de polinomios homog´eneos de grado n sobre IF en tres variables.

Sobre una superficie S arbitraria, todo sistema lineal completo |G| con- tiene un subsistema lineal formado por los adjuntos AG para la curva χ en

la clase de G, es decir, la condici´on de adjunci´on es una condici´on lineal (por ser A un ideal). En el caso de S = IP2 se tiene el subespacio lineal An ⊆ |OIP2(n)| de los divisores adjuntos de grado n (donde A_n puede ser

vac´ıo si n no es suficientemente grande); se puede considerar An como el

proyectivizado IP(Fn) del conjunto Fn de polinomios homog´eneos de grado

n sobre IF en tres variables que cumplen la condici´on de adjunci´on para la

curva plana χ.