parte 1
El que sigue es un problema más… sobre sombreros… raro, ¿no? ¿Qué sé yo cuántos van ya? No importa: siempre son muy sugerentes y muy útiles para pensar estrategias. Acá va.
Tres personas entran en una habitación y, sin que puedan ver el color del sombrero que les pondrán en la cabeza, les tocará ‘al azar’ uno de los dos posibles colores: B o N (blanco o negro).
Una vez que los tres ya se situaron en la habitación, cada uno puede mirar los sombreros de los otros dos. No pueden conver- sar entre ellos, no pueden hacerse señas ni pasarse mensajes de ningún tipo.
En esa misma habitación hay una cuarta persona que les va a hacer una pregunta: ¿qué color de sombrero tiene cada uno? Los tres tienen que contestar simultáneamente o, si usted prefi ere, los tres tienen que escribir en un papel el color de sombrero que —creen— que tienen.
Cualquier estrategia que hubieran decidido usar para ayudar- se deberían haberla pactado antes. A partir del momento en el que recibieron el sombrero, ya no podrán hablar más. Pueden
contestar obviamente o bien B o bien N. Si sienten que prefi eren ‘pasar’ porque no están seguros, pueden hacerlo. El ‘equipo’ (que conforman los tres) gana si por lo menos uno de ellos responde correctamente y ninguno lo hace en forma incorrecta. ¿Qué es- trategia usar?
De entrada, parece que una buena estrategia podría ser ésta: dos de los tres ‘pasan’ y el tercero elige al azar. Como la probabi- lidad de tener blanco o negro es ½, o un 50%, entonces, haber optado por este camino les ‘garantiza’ esa probabilidad: ½.
Dicho esto, ¿habrá alguna forma de mejorar este esquema? Por supuesto, si los tres decidieran ‘adivinar’, cada uno de ellos tendría ½ de posibilidades de acertar. Cuando uno repite este proceso para las tres personas involucradas, las probabilidades se multiplican. En este caso será:
½ ½ ½ = 1/8
lo cual muestra que es efectivamente una estrategia peor que la que se tiene si dos pasan y uno solo intenta acertar.
¿Se podrá mejorar la estrategia que ofrecía un 50%? Lo que puedo hacer es afi rmar que aunque no lo parezca, sí… existe una forma de mejorar ese 50%, pero me gustaría dejarla/lo en soledad para que lo piense usted. Vale la pena dedicarle un rato porque en principio da la sensación que no es posible… y sin embargo, ¡se puede!
Estrategia
Escribamos juntos las ocho distribuciones de sombreros, en donde —por ejemplo— BNB signifi ca que la primera persona
tiene sombrero blanco, la segunda negro y la tercera, blanco otra vez. Éstas son todas las posibilidades:
BBB BBN BNB BNN NBB NBN NNB NNN
Fíjese en lo siguiente. De estas ocho alternativas hay solamen- te dos en donde los tres participantes tienen el mismo color de sombrero: BBB o NNN. En los seis restantes, hay dos de un color y uno del otro. ¿Qué se podría hacer entonces?
Una idea: entran los tres en la habitación. Si cualquiera de ellos ve dos sombreros del mismo color (no importa si blanco o
negro) dice el color contrario al que ve. En el caso en que alguno
observara dos sombreros de diferente color, pasa. ¿Qué posibilida- des tienen de ganar con esta estrategia? (Le sugiero que piense usted por su cuenta antes de leer lo que sigue.)
Las únicas dos formas en las que perderían, serían si los tres tienen el mismo color de sombrero. En ese caso, todos ellos verían dos sombreros del mismo color y, por lo tanto, elegirían el color contrario… ¡y perderían! En realidad, los tres se equivocarían.
Pero en cualquier otra situación de las seis que quedan, si si-
guen con esta estrategia, ¡ganarían siempre!
¿Por qué? Por ejemplo, si la distribución es BBN, entonces, el primero que tiene B no dice nada porque ve dos sombreros de diferente color. Lo mismo le sucede al segundo, que ve que el
primero tiene B y el tercero N. Luego, el segundo tampoco dice nada y pasa. El único que va a hablar es el tercero. ¿Y qué dice? El último dice (o escribe): “Yo tengo Negro”.
Es que como esta persona ve que las otras dos tienen som- breros del mismo color (en este caso B), diría lo contrario… ¡y ganarían!
Corrobórelo usted pero verá que en seis de los ocho casos posi- bles, la estrategia es ganadora. En consecuencia, como seis sobre ocho es lo mismo que tres sobre cuatro, la probabilidad de acer- tar es de ¾, o sea un 75% de posibilidades de que el equipo que la implemente ‘acierte’ o ‘gane’.
Lo notable es que originalmente parecía que no era posible mejorar el 50%. El algoritmo propuesto anteriormente (que cier- tamente no me pertenece) demuestra que sí, que era posible me- jorar. No sólo eso: derivó en un 75% de posibilidades de éxito. Interesante, ¿no?
parte 2
El problema que sigue es una adaptación del anterior que me propuso Juan Sabia. Lo iba a agregar como una nota al
pie, pero me pareció tan interesante que creo merece un lugar
aquí.
Fíjese qué interesante: haciendo un pequeño cambio en las hipótesis, la respuesta resulta ser muy diferente. Lo que Juan me sugirió es pensar la siguiente variante: si en lugar de que contes- ten todos simultáneamente o que cada uno tenga que escribir en un papel el color de sombrero que cree que tiene, ¿qué pasaría si la cuarta persona hace las preguntas de a uno por vez, y los otros dos pueden escuchar las respuestas que dan sus compañe-
ros? Como siempre, le propongo que piense usted qué estrategia se le ocurre.
Sigo yo.
Si el primero ve que los otros dos tienen sombreros negros, eli- ge un color cualquiera al azar y lo dice. Los dos restantes, pasan. En cambio, si el primero ve que sus compañeros no tienen
los dos sombreros negros, pasa él.
En este caso, el segundo sabe que si el primero pasó, es por- que no vio dos sombreros negros. Por lo tanto, él mira el del ter- cero. Si éste es de color negro, él debe tener blanco y eso es lo
que dice. Por su parte, el tercero pasa. O sea, en esta situación,
ganan porque el primero y el tercero pasan, pero el segundo dice correctamente su color de sombrero.
En cambio, si el segundo ve que el tercero tiene color blanco, no puede saber si él tiene negro o blanco y, por lo tanto, pasa.
Ahora llega el turno del tercero. Sabe que sus dos compañeros
pasaron pero, claro, esto le aporta mucha información. En prin-
cipio, sabe que si el primero pasó, es porque el segundo y él (el tercero) no tienen los dos sombreros negros. Por otro lado, como el segundo también pasó, esto signifi ca que él no puede tener un
sombrero negro. Si no, el segundo habría dicho blanco.
Luego, el tercero dice blanco y acierta.
Ahora bien: con esta estrategia, ¿en qué situación van a per- der? Por el análisis que acabo de hacer, las únicas formas que tienen de perder ocurren si el primero de los que habla no pasa. Si el primero pasó, o bien el segundo o bien el tercero pueden determinar el color de su sombrero. Luego, para perder, tendrían que suceder una de estas dos cosas:
a) La distribución de sombreros es BNN. En este caso, el pri- mero ve que el segundo y el tercero tienen sombreros ne- gros, y él, intentando acertar, se equivoca y dice Negro.
b) La distribución de sombreros es NNN. En este caso, una vez más, el primero ve que el segundo y el tercero tienen sombreros negros. El primero quiere acertar y arriesga un color, pero se equivoca porque dice Blanco.
¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda?
La probabilidad de que la distribución sea BNN es 1/8 y, por supuesto, de que el primero elija N es ½. Por lo tanto, la proba- bilidad de que ocurran ambos eventos es 1/8 ½.
Por otro lado, la probabilidad de que la distribución sea NNN es también 1/8 y, una vez más, de que elija B es ½.
Luego, la probabilidad total es ((1/8) (1/2)) + ((1/8) (1/2)) = 1/8. O sea, la probabilidad de perder es 1/8.
Esto quiere decir que la probabilidad de ganar es 7/8 = 0,875, exactamente un 87,5%, que es ciertamente mayor que el 75% que resultaba antes.
Pero también es cierto que la respuesta es distinta, porque ¡el problema ahora es distinto!