Ecuaciones Gobernantes en Flow 3D Flow 3d es un software de uso

general para el análisis de fluidos mediante Dinámica de Fluidos Computacional (CFD). Éste usa técnicas numéricas especialmente desarrolladas para resolver ecuaciones de movimiento de fluidos para obtener soluciones transitorias, tridimensionales y problemas de flujo con una fenomenología compleja (flujo newtoniano o no newtoniano, compresible o no compresible, transferencia de calor, transferencia de masa, entre otros). En el software una matriz de modelos físicos y numéricos permite que el código pueda ser aplicado a un sin número de problemas de flujo y transferencia de calor.

Típicamente una simulación numérica comienza con una malla computacional, la cual está compuesta por un número de elementos interconectados llamados Nodos, que a su vez forman celdas interconectadas. Las celdas dividen el espacio de análisis en pequeños volúmenes con nodos asociados a cada volumen. Los nodos son usados para almacenar valores desconocidos como presión, temperatura y velocidad del fluido. La malla es efectivamente el espacio numérico que remplaza el espacio físico original del fenómeno a simular. Ésta provee la forma para definir los parámetros del flujo en las localizaciones discretas, definir las condiciones de frontera y desarrollar las aproximaciones de las ecuaciones de movimiento del fluido.

En el caso de Flow 3D el dominio de análisis o espacio numérico es dividido en una malla de celdas rectangulares o en una malla de celdas cilíndricas (Figura 10). La selección de uno de los dos sistemas depende de la configuración del fenómeno a analizar y sobretodo de cómo el flujo se moverá a través de la malla.

Figura 10. Mallas en Flow 3D. a. malla en coordenadas rectangulares y b. malla en coordenadas cilíndricas

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Las mallas rectangulares son relativamente fáciles de generar y almacenar debido a que son desarrolladas en coordenadas rectangulares. Un tamaño de malla no uniforme entrega mayor flexibilidad cuando se requieren análisis de flujos complejos. Las celdas son numeradas de manera consecutiva usando tres índices: i en la dirección X, j en la dirección Y y k en la dirección Z. De esta manera cada celda en un arreglo tridimensional puede ser identificada con una única dirección (i,j,k), similar a las coordenadas de un punto en el espacio. Asimismo, el arreglo rectangular permite que la malla discretise efectivamente el espacio físico a analizar, igual que los valores para los parámetros de fluido que son representados en la malla por un arreglo matricial de valores discretizados.

La configuración rectangular de las mallas tiene ventajas adicionales en la facilidad que se genera al desarrollar métodos numéricos, puesto que de la transparencia del método numérico con respecto a su relación con el problema físico depende la correcta solución de la simulación. Igualmente, la precisión y estabilidad de los métodos numéricos seda con mayor facilidad en coordenadas rectangulares.

Los viejos algoritmos numéricos fueron desarrollados originalmente en este tipo de mallas. El método de diferencias finitas es basado en las propiedades de la expansión de Taylor y en la aplicación directa de la definición de derivadas. Éste es el más viejo de los métodos usado para dar solución numérica a ecuaciones diferenciales, el mismo fue aplicado por primera vez por Euler en 1768. El método de volúmenes finitos se deriva directamente de la forma integral de las leyes de conservación para el movimiento de fluidos, por lo tanto incluye las características de conservación. Los anteriores forman la estructura del método numérico que incluye Flow 3D

Flow 3d puede funcionar en un sin número de modos correspondientes a la condiciones del fluido a analizar. Un modo es para situaciones de fluido compresible, mientras que otro es para fluido netamente incompresible. En el último caso, la densidad y energía del fluido puede ser asumida constante y no tiene que ser calculada. Además, existe la posibilidad de analizar problemas de uno o dos fluidos. Igualmente pude ser incluida una superficie libre en los problemas de un fluido incompresible. Los anteriores modos corresponden a diferentes opciones para las ecuaciones gobernantes que describen el movimiento del fluido.

La superficie libre existe en sin número de casos de análisis, es una ventaja poder usar esta 0consideración en el software Flow 3D ya que el espacio de gas adyacente al fluido, en la realidad, es despreciado y para el análisis numérico es remplazado por un espacio vacío (Libre de masa) pero que conserva una presión y temperatura uniformes. Dicho acercamiento tiene como ventaja reducir el esfuerzo de cómputo en la solución, ya que en la mayoría de los casos analizados el movimiento y comportamiento del gas influye de manera insignificante sobre el movimiento del líquido que es más pesado.

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Entonces, la superficie libre se convierte en uno de los límites externos del fluido, por tanto la definición de las condiciones de frontera se hace muy importante para la misma.

El método de Volumen del Fluido (VOF) es empleado por Flow 3D para este propósito. El mismo consiste en tres componentes básicos: la definición de la función de fluido, un método para resolver la ecuación de transporte VOF y la parametrización de la condición de frontera en la superficie libre.

Para introducir la metodología de computo y modelos utilizados en la simulación son expuestas a continuación las ecuaciones que gobiernan el modelo Flow 3D.

Ecuación de Continuidad de masa

La ecuación general de continuidad de masa es

Ec. 9 3.1

Donde VF es la fracción de volumen abierta al flujo, ρ es la densidad del fluido. RDIF es el término de difusión turbulenta y RSOR es la fuente de masa. La componentes de velocidad están en coordenadas (x, y, z) o (r, θ, z). A es la fracción de área abierta al flujo en las distintas coordenadas. El coeficiente R depende de la selección del sistema de coordenadas de la siguiente manera. Cuando las coordenadas cilíndricas son usadas, la derivada de y es convertida en una derivada asimutal

Ec. 10 3.2

El primer término de la derecha en la ecuación 9 es el término de difusión turbulenta

Ec. 11 3.4

Donde el coeficiente υp es igual a cpµ/ρ , en el cual µ es el coeficiente de difusión del momentum ( por ejemplo la viscosidad) y cp es una constante cuyo reciproco es usualmente asignado como el numero de turbulencia de Schmidt. Este tipo de difusión de masa solo se da en procesos donde el fluido no tiene densidad uniforme.

El ultimo termino, RSOR en le lado derecho de la ecuación 9 es el termino de densidad que puede ser usado, por ejemplo, para modelar inyección de un fluido a través de una superficie porosa.

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Los problemas de flujo compresible requieren una solución completa del la ecuación de transporte. Para fluidos incompresibles, ρ es constante y la ecuación general de transporte de masa es reducida a

Ec. 12(3.6) Ecuaciones de energía

Para fluidos compresibles o problemas de fluido donde se piense analizar la fenomenología térmica la ecuación manejada es

Ec. 13(3.20)

Donde I es la mezcla macroscópica de la energía interna. Para problemas de dos fluidos

Ec. 14(3.21)

Donde F es la fracción de volumen del fluido #1 y los índices indican las cantidades relacionadas para el fluido #1 o el fluido #2

Estructura de la ecuación de temperatura.

Si la opción de transferencia de calor es seleccionada el software, las temperaturas dinámicas y la transferencia de calor serán evaluadas por Flow 3D. la ecuación más general para dar solución a estructura térmica del problema es

Ec. 15(3.37)

Donde Tw es la temperatura del sólido, ρw, Cw, y kw son los valores de densidad, calor especifico y conductividad térmica para el sólido y TSOR es el término de energía específica aportada por fuentes externas y la contribución de la transferencia de calor del líquido.

Algunos obstáculos o fronteras pueden ser tratados por modelo Lumped Temperature Model. En este caso se asume que el objeto tiene una temperatura constante y es eliminado el término de conducción térmica.

Ec. 16(3.38)

Donde Mw es la masa del objeto y ITSOR es el término integrado de la fuente de energía.

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Conducción y transferencia de calor

Los términos de transferencia y conducción de calor aparecen en la ecuación de energía, Ecuación 13 y la ecuación de temperatura de sólido, ecuación 15. Estos términos son tratados de manera análoga por Flow 3D incluyendo dos formulaciones implícitas opcionales para eliminar los limites asociados a la estabilidad del tiempo de paso. Esta aproximación es incluida porque hay ocasiones donde existe gran diferencia entre en las escalas de tiempo asociadas a los procesos termales y del movimiento de fluido. Particularmente en fluidos cuasi estáticos.

La aproximación usada es la siguiente, que es estrada de la ecuación 13

Ec. 17 3.239)

Donde TDIF representa la conducción térmica con el fluido, HADT es la transferencia de calor entre el fluido y un sólido adyacente y X representa los términos restantes de la ecuación 13

A continuación se muestran las relaciones en diferencia utilizadas por FLOW- 3D para aproximar la ecuación (3.239). Es usado un espacio de tiempo adelantado y aproximaciones de primer orden para el flujo de energía

Ec. 18(3.240)

Donde T representa la temperatura del fluido, TW la temperatura del sólido, h el

coeficiente de transferencia de calor, WA el área interfacial, A el área de la cara en cada celda, k el coeficiente de conductividad térmica y ∆ el incremento en el espacio.

Todos los términos del lado derecho en la ecuación 18 son evaluados en el paso de tiempo anterior tn, lo anterior significa que una aproximación explicita es usada para el flujo de calor.

Calor de transformación

La energía es asumida como una función linear de la temperatura

Ec. 19 (3.22)

Donde CV1 es el calor específico en el volumen constante del fluido #1, fs es la

fracción de sólidos, y CLHT1 es el calor latente. El calor latente es asociado con la fusión o enfriamiento del fluido #1, el mismo es definido de 2 formas.

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El método simple consiste en especificar la temperatura de sólidos, TS1, la temperatura de líquido, TL1 y la energía especifica de la transformación de fase que ocurre entre estado temperaturas. Es este caso el calor latente es se comporta de manera linear con la temperatura desde TL1 hasta TS1

Sin embargo, en la mayoría de los materiales este no es el caso. Además, es posible que algunos materiales tengan cambios de fase en estado sólido; es decir, al enfriarse, estos logran estados cristalinos más estables que varían el calor de transformación con cada cambio de fase.

El segundo método consiste en encontrar la relación entre la energía específica contra la temperatura para cada material. La tabla consiste en un par de números CLTP(L) y CLHT(L), donde CLTP(L) es la temperatura del punto L y CLHT(L) es la energía total entre la temperatura CLTP(L-1) y CLTP(L) como es mostrado en la figura 11. CLHT(1) es la energía especifica en CLTP(1). Las temperaturas pueden ir ascendiendo monotónicamente con el incremento de L.

Figura 11. Ejemplo Energía vs. Temperatura que muestra el cambio de fase

Fuente: FLOW-3D®. Training Class, lecture 1. User Manual. USA: Flow 3D, 2007.p. xx

Las temperaturas CLTP(L) pueden incrementar monotonicamente con el incremento de L, aunque sea permitido tener discontinuidades en el cambio de fase asignado el mismo valor a dos valores consecutivos en la tabla de temperaturas. La última temperatura debe ser equivalente a la TL1 o bien TL1 puede ser entrada explícitamente y debe ser mayor que la ultima CLTP(L).

Ecuaciones de Momento

Evaluación de viscosidad

La viscosidad dinámica, µ, puede ser asignada como una constante molecular para cada fluido en problemas de uno o dos fluidos. En celdas donde exista una mezcla de ambos fluidos, la viscosidad es evaluada como una fracción promedio de los valores constantes.

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En problemas de un fluido, el fluido puede consistir de dos componentes con densidad y viscosidad constantes cada uno. En este caso la viscosidad de mezcla de fluido es evaluada como un promedio de las dos constantes en la fracción de fluido.

Igualmente, la viscosidad del fluido puede ser función de la fracción de sólidos en el fluido fluidos parcialmente solidificados. Cuando la opción de análisis de la turbulencia esta activada, la viscosidad es la suma de los valores moleculares y turbulentos de la viscosidad.

Para fluidos no newtonianos la viscosidad es una función del esfuerzo y/o la temperatura. Caso en el cual es utilizada una expresión genérica basada en el modelo de "Carreau" para viscosidad dependiente del esfuerzo

Ec. 20 (3.12)

Donde

Ec. 21(3.13)

Es el tensor de la rata de esfuerzo del fluido en notación cartesiana, µ∞, µ0, λ0, λ1, λ2 , n son constantes

Ec. 22(3.14)

T*, a, b y c son constantes y T es la temperatura del fluido. Superficies libres e interfases de fluido.

Las configuraciones del fluido son definidas en términos de la función de ¡Volumen de Fluido (VOF) 29]. Esta función representa el volumen del fluido #1por unidad de fluido y satisface la ecuación mostrada a continuación

Ec. 23(3.18)

Donde

Ec. 24(3.19)

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El coeficiente de de difusión es definido como υF = cFµ/ρ, donde cF es una constante cuyo reciproco es definido algunas veces como el numero turbulento de Schmidt este término de difusión solo toma sentido para la mezcla de fluidos por turbulencia cuya distribución es definida por la función F. el termino FSOR corresponde a la fuente de densidad RSOR en la ecuación 9. FSOR es la porción de tiempo del cambio en la fracción de volumen del fluido #1 asociado a la fuente total para el fluido #1.

La interpretación de F depende del tipo de problema a resolver. En problemas de fluido incompresible donde se involucra un fluido y una superficie libre, Representa la fracción de volumen ocupada por el fluido. Mientras el fluido exista F = 1 y los espacios vacíos son lugares donde F = 0, estos espacios son regiones sin fluido que tienen presión uniforme y se interpretan como regiones de vapor o gas que tienen una densidad insignificante respecto a la del fluido.