2 2 2 2
x / a - y / b = 1
2 2 2 2
13.3 DOMINIO DE LA RELACION { (x,y) | x / a - y / b = 1 }
{x Є R| x ≥ a ò x ≥ - a}
La gráfica intersecta al eje x en los puntos V´ (-a,0) y (a,0) son vértices de la hipérbola y el segmento de recta que los une eje transverso (V´V = 2a), el segmento de recta de longitud 2b es el eje transverso llamado eje conjugado.
13.4 ASINTOTAS.
Línea a la cual se aproxima la gráfica de la curva sin llegar a tocarla aunque el valor de x sea muy grande. El eje X es una asìntota de la gráfica de la curva. La hipérbola tiene dos asìntotas que pasan por el centro de la misma y por los vértices opuestos del rectángulo.
13.5 EXCENTRICIDAD e = c/a , si c > a , → e > 1. Ejemplo:
Determinar a,b,c,L.R., e de la hipérbola cuya ecuación es: 2 2
x/64 -- y/100 = 1
Solución: 2 2 2 2 2
La ecuación corresponde a la forma x /a -- y / b = 1 , a = 8, b = 10 , c = 46 + 100,
c = √164 , c = 2 √ 41 , los focos de la hipérbola con los puntos Fً (-2√41,0) y F (2√41,0), los vértices están en V´ (-8,0), V (8,0),L.R. = 2(100) / 8 = 25, e = 2√41 / 8 = √41/4 , las ecuaciones de las asìntotas son: y b/a x, y = - b/a x al sustituir y = ± 5/4 x.
13.6.- ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN “0” Y FOCOS EN EL EJE Y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b y -- a x = a b ò y / a -- x / b = 1 2 2
√ x + a el eje transverso coincide con el eje “ y” 2 2
x = ± b / a √ y – a el eje conjugado coincide con el eje “x” Las ecuaciones de las asìntotas son y = a/b x y y = - a/b x
Ejemplo:
Determinar los elementos (centro,focos, excentricidad, L.R. , vértices y ecuaciones de las asìntotas y graficar detalladamente la hipérbola cuya ecuación es:
2 2
x / 5 -- y / 4 = -1 Solución:
Para que el miembro de la derecha sea positivo , se multiplica toda la ecuación por (-1). 2 2 2 2
-- x / 5 + y / 4 = 1 ò y / 4 -- x / 5 = 1 2
Es una hipérbola con el eje transverso al eje Y , C (0,0), a = 2 ,b= √5, c = 4+5 = 9 → c = 3, e = 3/2, L.R. = 5, Las ecuaciones de las asìntotas y = a / b x = 2 / √5 ò – 2 / √5
13.7.- HIPÉRBOLAS CONJUGADAS O RECTAQNGULARES..
Las longitudes de los ejes transverso y conjugado son iguales 2a = 2b, a = b 2 2 2 2
La ecuación de la hipérbola es: x / a - y / a = 1 Eje transverso coincide con el eje X. 2 2 2 2
y / a - x / a = 1 Eje transverso coincide con el eje Y. Ejemplo:
Mostrar que en un__a hipérbola rectangular las asintotas se intersectan en ángulo recto y la excentricidad es √2 .
Solución:
El eje transverso coincide con el eje X, las ecuaciones de las asintotas son:
y = b / a x, y= - b / a x , a = b , b se sustituye por a y = a / a x , y = - a / a x ., y = x. Las pendientes de las asintotas son m1 = 1 y m2 = - 1 y el producto m1m2 = -1 condición
que satisfacen las pendientes de rectas perpendiculares entre sì; las rectas se intersectan en àngulo recto.
2
La excentricidad es : e = √2a / a = √2
REACTIVOS DE AUTOEVALUACION
Determinar en cada caso las constantes a,b,c, las coordenadas de los vértices y de los focos, la longitud del lado recto, la excentricidad , ecuaciones de las asintotas y graficar. 2 2
1.- x / 4 -- y / 25 = 1 2 2
2.- x / 16 -- y / 9 = 1
Encontrar la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones ( tienen centro en el origen).
3,- a = 10, b = 5 Focos en eje x
4.- Foco en F (2,0), eje conjugado mide 2 unidades
5.- Un vértice V (3,0) y un foco en F (4,0)
Las hipérbolas que se presentan con centro en el origen y focos en el eje Y , determinar vértice, focos, longitud de los ejes y del lado recto, excentricidad, ecuaciones de las asìntotas y graficar 2 2 6.- y / 25 -- x / 9 = 1 2 2 7.- 25x -- 4x = 1 2 2 8.- 16x -- 9y = - 1
En las siguientes hipérbolas con centro en el origen determinar si sus focos están el eje x ò en el y y graficar. 2 2 9.- 16y -- 25x = 400 2 2 10.- x -- y + 4 = 0
Determinar en cada caso la ecuación de la hipérbola con centro en el origen que satisface las siguientes condiciones .
11.- a = 10, b 0 5, focos en el eje Y.
UNIDAD XX
SECCIONES CONICAS, HIPERBOLA, ROTACIÓN DE EJES
Modulo 14 Hipérbola
OBJETIVO
Determinar los elementos de una hipérbola con centro en (h,k).
14.1.- OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA. 2 2 2 2
(x -- h) / a -- (y -- k) / b = 1
Las pendientes de las asìntotas son: m = b / a , m = - b / a y sus ecuaciones
Ejemplo:
Determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, ecuaciones de las asìntotas, longitud del lado recto excentricidad, y graficar la hipérbola cuya ecuaciòn es: 2 2
(x - 5) /9 - [y - (- 3)] / 16 = 1
Solución: 2
El eje transverso es horizontal, h = 5, k = -3, el centro es el punto C (5,-3), c = 9 + 16, c = 5, a = 3 y b = 4 , excentricidad e = 5 / 3, L.R. = 32 / 3 y las ecuaciones de las asìntotas son:
y + 3 = 4/3 (x-5) y y + 3 = - 4/3 (x-5) y - k = b/a (x-h) y y – k = - b / a (x – h)
REACTIVOS DE AUTOEVALUACION.
Determinar las ecuaciones de las asìntotas de la hipérbola y satisfacer las condiciones en cada caso en cada caso.
1.- Vèrices en (3,± 6) y focos en (3,± 10).
2.- Vértices en (-3,-2), a = 4, c = √5 ejes paralelos a los ejes coordenados.
UNIDAD XX
SECCIONES CONICAS, HIPERBOLA, ROTACIÓN DE EJES
Modulo 15 Hipérbola
OBJETIVO
Determinar la ecuación general de la hipérbola y su representación grafica.
15.- ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA.
2 2
La ecuación Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 , A . C < 0 se puede expresar en sus
2 2
formas equivalentes A (x + D / 2A) + C(y + E/2C) = N, N ≠ 0
2 2
A(x + D / 2A) + C(y + E/2C) = 0 . N = 0 Factorizaciòn de una diferencia de cuadrados
[b(x-h) - a (y-k)] [b(x-h) + a ((y-k)] = 0 2 2 2 2
A = b , C = - a, D = - 2b h, F = 2a k , Al sustituir y factorizar resulta 2 2
(y-k) / a - (x - h) / b = 1 Ejemplo:
Determinar si la ecuación representa una hipèrbola o un par de rectas que se intersectan. 2 2 16x - y -32x + 4 - 36 = 0 Solución: 2 2 16(x - 2x) - (y - 4y) = 36 2 2 16(x - 2x + 1) - (y - 4y + 1) = 36 + 16 - 4 2 2
16(x - 1) - (y - 2) = 48 , N = 48 , N = 48 → N ≠ 0 la ecuación representa una hipérbola
2 2
16(x - 1) /48 - (y - 2) /48 = 1
2 2
REACTIVOS DE AUTOEVALUACION
Determinar si las siguientes ecuaciones representan una hipérbola o un par de rectas que se intersectan.
2 2 1.- 4y - x + 24y + 4x - 48 = 0 2 2 2.- 4x - y - 24x + 2y + 35 = 0 2 2 3.- 16x - 9y - 18y --24x - 9 = 0 2 2 4.- x - y .- 12x + 16y - 64 = 0
UNIDAD XX
SECCIONES CONICAS, HIPERBOLA, ROTACIÓN DE EJES
Modulo 16 Hipérbola
OBJETIVO
Referir a un sistema de dos dimensiones y simplificar la ecuación de una curva.
16.- ROTACIÓN DE EJES.
Se transforma la ecuación de la forma Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 en otra que carece del término Bxy, se considera un nuevo par de ejes X´ Y´ con el mismo origen, existe una relación entre las coordenadas (x,y).
Ecuaciones que se utilizan para determinar las nuevas coordenadas (x´,y´) de un pinto P (x,y) cuando los ejes coordenados XY giran un àngulo y.
x´ = x cos y + y sen y y = - x sen y + y cos y
Ejemplo:
Si un sistema de coordenadas rectangular se rota 45° , ¿cuàl es la ecuación de la curva 2 2
3x – 2xy + 3y = 2? Solución:
x = x´ cos y - y´ sen y ; y = x ´sen y + y´ cos y
y = 45° , cos y = 1/√2 ,sen y = 1/√2 , se sustituye y se aplica en la ecuaciòn: x = x´/√2 – y´/√2, y= x´//√2 + y´/√2
2 2
3(x’/√2 – y’/√2) - 2(x’/√2 – y’/√2)(x’/√2 + y’/√2) + 3(x’/√2 + y’/√2) = 2 2 2 2 2 2 2
3(x’/2 - x’y’ + y’/2) - 2(x’/2 - y’/2) + 3(x’/2 + x’y’ + y’/2) = 2 2 2 2 2 2 2
Se reducen términos semejantes.
2 2
(3/2 – 1 + 3/2)xُ + (-3 + 3)xُyُ + (3/2 +1 + 3/2)yُ = 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2xُ + 4yُ = 2 ò xُ + 2yُ = 1 = xُ + yُ/1/2 = 1, a = 1, b = ½, a = 1, b= 1/√2
Para eliminar el tèrmino Bxy de la ecuación Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 se dan dos posibilidades:
Si A ≠ C , entonces tg 2y = B / A - C Si A = C , entonces y = 45°
A´x´ + B´x´y´ + C´ y´ + D´x´ + E´y´ + F = 0 , es la nueva ecuación referida al sistema coordenado (x´,y´), B´ = 0.
sen2y/cos2y = B/A-C ò tg2y = B/A-C
2 2 2 2
A´ + C´ = A cos y + Bsen y + C sen y + A sen y - B sen y cos y + C cos y 2 2 2 2
A´ + C´ = A(cos y + sen y) + C(sen y + cos y)
A´ + C´ = A + C (No cambia cuando se lleva a cabo una rotación), es invariante.
2
Análisis de la descripción B = 4AC 2
Si B - 4AC < 0; la curva es una elipse, circunferencia. ( si B = 0) es un punto ò no existe la curva.
2
Si B – 4AC = 0; la ecuación representa una parábola, dos rectas paralelas, una recta ò no tiene gráfica.
2
Si B - 4AC > 0, representa una hipérbola ò dos rectas que se cortan.
Ejemplo:
Identificar la curva definida por la ecuación 8x - 4xy + 5y - 36 = 0 Solución:
2
B - 4AC = 16 – 4.40, B - 4AC < 0, B ≠ 0
tg 2 y = - 4/3 . 2y = 126°52´ , y = = 65°26´ el àngulo se encuentra en el segundo cuadrante x = x´ cos y - y´ sen y .y = x´ sen y + y´ cos y
tg 2 y ≡ sen 2y/cos2y , sen2y/ cos2y = - 4/3 2 2
sen 2y/ cos 2y = 16/9 2 2
9 sen 2y = 16cos 2y 2 2 9(1 – cos 2y) = 18 cos 2y 2 2
9 - 9 cos 2y = 16 cos 2y25 cos 2y = 9 2
25 cos 2y = 9/25 , cos 2y = - 3/5 x = xُ/√5 - 2yً/√5 , y = 2yً/√ + yً/√5
Se sustituyen los valores en la ecuación: 2 2
8x - 4xy + 5y = 36
2 2
8(xً/√5 - 2yً/√5) - 4(xً/√5 – 2yً/√) (2yً/√5 + yً/√5) + 5(2yً/√5 + yً/ً√5) = 36
2 2 2 2 2 2
8(xً/5 - 4/5xًyً + 4yً/5) - 4(2xً/5 + xًyً/5 - 4xًyً/5 + 2yً/5) + 5(4xً/5 + 4xًyً/5 + yً/5) =36 2 2 2 2 2 2
8/5xً - 32/5xًyً + 32yً/5 - 8xً/5 + 12xًyً/5 - 8yً/5 + 20xً5 + 20xًyً/5 + 5yً/ 5 = 36
Se reducen términos semejantes: 2 2 2 2
REACTIVOS DE AUTOEVALUACION
Determinar e identificar la curva definida por cada una de las siguientes ecuaciones, eliminar el término xy.
2 2
1.- 3x - 2xy + 3y = 8 2 2