3.2 Entrelazamiento de las superposiciones de PACS
3.2.1 Efecto de un canal despolarizante
En esta sección se incluye el efecto de decoherencia del estado en la ecuación (87) a través de un canal despolarizador simple (Nielsen y Chuang, 2000; Holevo y Giovannetti, 2012). Este mecanismo mapea la matriz de densidad ρ0 = |ψABi hψAB| en una mezcla de
de densidad formada por la mezcla de estados de la forma, ρ= p 3I+ 1− 4p 3 |ψABi hψAB|, (95)
donde |ψABi es el estado entrelazado de la ecuación (91) (o equivalentemente la ecuación
(87)), ypes el parámetro de la mezcla de despolarización. Es importante notar que el efecto de completa despolarización ocurre parap = 3/4con una matriz de densidad máximamente
mezclada y, que el estado puro es recuperado para p = 0. Uno puede notar también que si el estado|ψABiestá máximamente entrelazado, la ecuación (95) es equivalente al estado
Werner, el cual tiene como límite superior para el parámetro de mezcladop= 1/2antes de que el entrelazamiento se desvanezca y, adicionalmente la ecuación (95) también tiene el efecto de un canal que rompe el entrelazamiento (Audretesch, 2007). Este caso, sirve como referencia para los valores extremos depantes de que el entrelazamiento se vuelva nulo para los estados
que están máxima y no máximamente entrelazados, los que pueden obtenerse de la ecuación (91) variando la combinación de parámetros{u, v, α, β, m, n}. Entonces uno esperaría que el valor extremo parapque se obtiene para el estado máximamente entrelazado establezca una cota superior para todos los otros estados que no están máximamente entrelazados. El efecto que tiene agregar fotones sobre los valores extremos de p antes de que el entrelazamiento se desvanezca también puede ser estudiado y se discute en las siguientes subsecciones. La concurrencia, para la matriz de densidad mostrada en la ecuación (95) se calcula con la fórmula de Hill y Wootters (1997) como,
C(ρ) = m´ax{0, λ1−λ2−λ3−λ4}, (96)
dondeλi son las raíces cuadradadas de los eigenvalores de la matriz auxiliar ρρ˜, dondeρ˜=
(σy⊗σy)ρ∗(σy⊗σy)es el operador de densidad después de aplicar el operador de inversión
temporal para dos qubits, ρ∗ es el complejo conjugado de la matriz de densidad y, σ
matriz de Pauli correspondiente. Para aclarar la definición deρ∗, seaρ expandida en la base
computacional comoρ=P1
{i,j,k,l}=0ρijkl|i, ji hk, l|, por lo tanto, la conjugación compleja deρ
se entiende comoρ∗ =P1
{i,j,k,l}=0ρ∗ijkl|i, ji hk, l|.
En esta sección estamos interesados en determinar el comportamiendo de pcrit que pro-
duce entrelazamiento nulo respecto a los diferentes parámetros(α, β, γ, m, n) de los PACS entrelazados. En la figura 15 se examina para fines comparativos el comportamiento deC(ρ)
para diferentes valores de p para el estado de la ecuación (93) para ECS, es decir, donde las fases de los CS son opuestas o u = −v = 1/√2. La concurrencia se determina para las siguientes condiciones: figura 15(a)concurrencia como función dep yγ paraα = β = 0,
u = v = 1/√2 sin fotones agregados m = n = 0. Los valores críticos de p que producen entrelazamiento nulo dependen deγ; para valores grandes de γ el valor dep, se satura a un valor aproximado dep≈1/2. En la figura 15(b) se muestra el casoα =β = 0,u=v = 1/√2
conm = 1, n = 2 de un fotón agregado. Estos estados con fases opuestas exhiben un com- portamiento casi constante para la concurrencia para todos los valores de γ, excepto para
γ ≈ 0,36lo cual se explica por la ocurrencia del máximo valor de traslape hγ|ˆa2ˆa†|−γi para
ese valor. Paraγ = 0oγgrande, el traslape tiende a desaparecer, lo que hace que los estados
sean más distinguibles y por lo tanto producen una concurrencia más alta. En la figura 15(c), la concurrenciaC(ρ)se muestra paraα = β = 3considerandoγ = 0con u = −v = 1/√2,
m= 1y variandonyp. Esta figura muestra que la concurrencia para el casou=−v = 1/√2
no depende de la diferencia del número de fotones agregados|m−n|sino sólo del valor dep. En la figura 16 se muestran curvas de contornoC(ρ)para diferentes escenarios donde la concurrencia es altamente dependiente de todos los parámetros del estado de la ecuación (87) yp de la ecuación (95). En la figura 16(a) se muestra la concurrenciaC(p, u)como función
depyu(y por lo tanto v) para un estado con los parámetrosα = β = 3, m = 0, n = 5fijos. Se obtiene el comportamiento esperado con la mayor concurrencia parav = −u = 1/√2, asimismo se obtienen valores grandes en la vecindad deu=v = 1/√2. En la figura 16(b) se presenta el efecto del agregado de fotones en la concurrenciaC(n, p), aquíα=β = 3, m = 0
Figura 15: Concurrencia para el ensamble de la ecuación (95) vsppara el estado (93) con las condiciones: (a) α = β = 0, m = n = 0, u = v = 1/√2 vs γ, (b) α = β = 0, m = 1, n = 2, u=v = 1/√2vsγ y (c)α =β = 3, γ = 0, m= 1, u=−v = 1/√2vs el número de fotones agregadosn.
en el modo B como el valor p del ensamble de la ecuación (95). En la figura puede verse como la concurrencia es más robusta para valores bajos de p y valores grandes den. Esto ocurre debido a que el término zN2 de la ecuación (91) decrece a la par que la diferencia
|m−n| se incrementa. Esto puede verse como una reducción en el traslape efectivo de los estadosˆa†m|αiyˆa†n|αi, volviéndolos más distinguibles. En las figuras 16(c)-16(d) se grafica
la concurrenciaC(α, p)para la superposición positivau = v = 1/√2con m, nfijos, mientras los parámetros α = β y p son variables. Específicamente, en la figura 16(c) se grafica la concurrencia param = 0, n = 1y en la figura 16(d) para m = 1, n = 5. Estas condiciones muestran la dependencia de la concurrencia para unα dado con la diferencia del número de fotones agregados|m−n|contrap. El comportamiento de ambos paneles es cualitativamente el mismo y sólo corresponde a una escala distinta paraα=β, es decir,C(ρ)decrece mientras
αse incrementa, y los valores deC(ρ)dependen de la diferencia|m−n|. Para todos los casos
C(ρ)se anula parap >0,5.