Como se vio anteriormente, la ecuación de onda se linealiza y si se desprecian los efectos termo- viscosos. Es una ecuación diferencial lineal. Sin embargo, para altas frecuencias, la suposición bajo la cual se linealizan las ecuaciones del Navier-Stokes no es razonable y aparecen otros fenómenos dispersivos y disipativos.
31 5.3.1 Relación de dispersión y absorción físicas.
La no linealidad de las ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes causa que la velocidad de propagación del sonido dependa no solo de la frecuencia sino también de la magnitud de la presión en cada punto de la onda sonora. Así, los picos de la onda de presión se mueven más rápido que los valles (se debe a las diferencias de temperatura del gas a cada presión, que al final cambian la velocidad del sonido instantánea). También se debe a que por relatividad, la velocidad instantánea del sonido depende de la velocidad de flujo de las partículas del fluido que lo transporta (medio de propagación de la onda). Esta diferencia de velocidades, hace que eventualmente el pico de presión llegue a un punto donde está el valle de presión, por lo cual se genera la distorsión que hace ver las ondas como ondas de choque, tal como se ilustra en la Figura 11. Este fenómeno genera una alteración de la onda senoidal, y por descomposición de señales se puede ver como una suma de armónicos. Sin embargo, dado que la onda está en un medio disipativo o que se disipa energía por fenómenos termo-viscosos, los armónicos de mayores frecuencias son absorbidos más rápido, por lo que no son tan notorios.
Figura 11. Forma de onda de choque para diferentes relaciones de dispersión. Los picos alcanzan los valles y se genera la forma triangular de shock. (Viggen, The lattice Boltzmann
method: Fundamentals and acoustics, 2014)
Adicionalmente, como se explicó anteriormente, las ecuaciones de Navier-Stokes son reproducidas parcialmente si la expansión de Chapman-Enskog se trunca al primer término, con un error de 𝑂(𝑘𝑛2). Si se truncara la segundo término, con un error de 𝑂(𝑘𝑛3), se llegaría a un modelo llamado Burnett, que da un término adicional a las ecuaciones de nivel macro, no explicable por las teorías de conservación de Newton. Sin embargo, para números acústicos altos, esto es para frecuencias muy altas, este término termina siendo significativo.
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede esperar que el desempeño acústico de los 3 métodos sea diferente, ya que no son exactamente las mismas ecuaciones. Así es de suponerse que para números acústicos altos, las relaciones de dispersión y absorción de las ondas acústicas para un mismo medio sean diferentes usando los distintos métodos. Como se ilustra en la Figura 12,
32 donde 𝑋 = 𝑤 ∗ (𝐶1
02(
4
3𝑣 + 𝑣𝐵)) , es el número de onda acústico que cuantifica la frecuencia en
los procesos de gas ideal isotérmico cuyo único efecto de no linealidad es dado por la viscosidad.
Figura 12. Relaciones de dispersión y absorción para diferentes números acústicos. (Viggen, The lattice Boltzmann method: Fundamentals and acoustics, 2014)
Otra diferencia entre los métodos es la anisotropía. Así, para los métodos derivados de una discretización finita del espacio de velocidades, la dispersión y la absorción se ven afectadas por esta propiedad. Esto se ilustra en la Figura 13, donde se puede ver que esta anisotropía empieza a ser significativa para números acústicos mayores a 1 (altas frecuencias), para el método de lattice Boltzmann.
33 Figura 13. Anisotropía en la dispersión y absorción con el método de Boltzmann. (Viggen, The
lattice Boltzmann method: Fundamentals and acoustics, 2014)
Finalmente, es interesante cuantificar el error causado por la discretización en el espacio y el tiempo en el método de lattice Boltzmann. La resolución numérica, llamada 𝑤0 describe cuantos
puntos hay por longitud de la onda. De manera que si la resolución tiende a 0, la discretización es infinitamente buena, mientras que si se aleja de 0, existen menos puntos en el espacio temporal. Así por el teorema de muestreo de Nyquist, la máxima resolución que se permite en una simulación acústica es 𝜆 =2𝜋𝑐
𝑤0 = 2. Para una excitación forzada, este efecto puede verse en la
Figura 14. Como se puede apreciar, la dispersión y la absorción numérica son funciones de la resolución y del número acústico. Sin embargo, la tendencia es clara, para una mala discretización, la velocidad del sonido se subestima y la absorción se sobreestima. Posteriormente en este documento se realizará un análisis al respecto.
34 Figura 14. Dispersión inversa y absorción por efectos de la discretización. (Viggen, The lattice
Boltzmann method: Fundamentals and acoustics, 2014)
Es de esperarse que los resultados obtenidos con los métodos de Navier-Stokes, y el método de lattice Boltzmann sean diferentes, dado que las ecuaciones de conservación y la de Boltzmann, son diferentes inicialmente. Sólo para números acústicos bajos las ecuaciones describen los mismos fenómenos, sin embargo para altos números acústicos se empiezan apreciar diferencias entre los métodos. Como también se explicó, la discretización en el espacio de velocidades produce una anisotropía adicional que se vuelve importante para altos números acústicos.
35 Los silenciadores de las motos o de los autos son mecanismos que funcionan como filtros de pasa- baja de presión. Esto es porque lo que se busca en un silenciador es un mecanismo que no signifique una gran baja de presión absoluta, pero al tiempo disipe o elimine las pequeñas fluctuaciones de presión (las responsables del sonido).
Existen 2 tipos de silenciadores: los reactivos, y los disipativos. Los reactivos funcionan bajo el principio de interferencia destructiva de las ondas sonoras. Los disipativos, como su nombre lo indica, disipan la energía acústica por medio de materiales de alta porosidad. Algunos silenciadores funcionan de ambas formas.
Para medir la pérdida de intensidad del sonido se usa el “Transmission Loss” (TL) que se calcula como:
𝑇𝐿 = 20𝑙𝑜𝑔10(
𝑃𝑖𝑛
𝑃𝑜𝑢𝑡)
El sonido es complicado y no puede ser cuantificado únicamente por su intensidad. Sin embargo, para medir la eficiencia acústica de un silenciador, el “Transmission Loss” es el número que más se usa.