Para hablar de la efectividad y NUT tomaremos como referencia un intercambiador de tubos coaxiales el cual es la forma más sencilla. En este un fluido circula por el interior de un tubo y el otro circula por el espacio anular comprendido entre el tubo anterior y otro de mayor diámetro coaxial con este (Figura 17). En este caso el flujo puede ser contracorriente o en concurrencia.
2.6.1. Efectividad de un intercambiador
Un parámetro que se utiliza para medir la eficacia de un proceso de intercambio de calor es la relación entre el cambio de temperatura de uno de los dos fluidos y la diferencia máxima de temperaturas en el intercambiador. Esta relación se suele representar por P y su interpretación física podría ser la eficacia termodinámica del proceso de calentamiento (o enfriamiento) que se lleva a cabo en el intercambiador, por lo que suele llamarse efectividad de temperatura o calentamiento.
Se sabe que la diferencia máxima de temperaturas en cualquier intercambiador es siempre la entrada del fluido caliente menos la entrada del fluido frio; las expresiones de efectividad de enfriamiento y calentamiento son las siguientes:
35 Los valores de P están siempre definidos y comprendidos entre 0 y 1. En el caso de que no haya cambio de temperatura en los fluidos el valor de P será 0; en los casos en que el fluido caliente salga a la temperatura de entrada del frio o que el fluido frio salga a la temperatura de entrada del fluido caliente entonces P=1.
Para complementar lo anterior, se define como efectividad del intercambiador el cociente entre su carga térmica real y el máximo intercambio de calor posible en él. La carga térmica Q o intercambio térmico real es la energía ganada o cedida por el lado frio o caliente respectivamente, es decir:
Y el intercambio máximo de calor posible será el correspondiente a un cambio de temperatura de uno de los dos fluidos igual a la máxima diferencia de temperaturas posible. El único fluido que podría sufrir esta variación tiene que ser necesariamente el que tenga un menor valor del producto mc, producto el cual se puede representar también con la letra C, por lo tanto quedaría de la siguiente manera:
Dado que el fluido de menor producto mc puede ser tanto como el caliente como el frio podremos definir la efectividad ε del intercambiador en cualquiera de los dos lados. Independientemente de que el flujo sea en concurrencia o en contracorriente queda en cualquier caso:
Se observa que los valores de P y ε están íntimamente relacionados, hasta el punto en el que coinciden para el fluido de Cmin sea éste el caliente o el frio, mientras que para el fluido de Cmax la relación entre ambas es muy sencilla:
⁄
Tanto P como ε tienen en común una característica muy útil: en su definición y cálculo solo interviene una temperatura de salida, lo que les hace de gran ayuda en ciertos problemas. Se sabe cuándo en un intercambiador se conocen las cuatro temperaturas del programa térmico su estudio mediante la diferencia logarítmica media de temperaturas es muy práctico, pero en la realidad es frecuente solo conocer dos temperaturas, que suelen ser las de entrada y salida de uno de los dos lados, o solamente las de entrada o salida de ambos fluidos. Lo que complica el cálculo de la LMTD.
Se necesitamos calcular las dos temperaturas restantes se requiere un proceso iterativo, el cual resume en suponer una de las dos temperaturas desconocidas, después se
36 determina la segunda, calcular la LMTD y obtener el valor de la temperatura supuesta, corrigiendo el valor según proceda y reiterar el cálculo hasta llegar a la precisión requerida. Sin embargo si conociéramos la efectividad de un intercambiador podríamos despejar la temperatura de salida y calcularla directamente sin necesidad de iteraciones. La obtención de las expresiones de efectividad es relativamente sencilla en algunos casos, pero por lo general es un proceso complejo y no siempre conduce a soluciones cerradas. Si suponemos un intercambiador anular en concurrencia en el que el lado de menor C sea el del fluido caliente, la simple igualación de la energía cedida por el lado del fluido caliente y la ganada por el fluido frio nos da:
En un elemento diferencial de longitud del doble tubo dx, al que le corresponde una determinada dA de transferencia, llamando U al coeficiente global de transferencia de un fluido al otro, podemos establecer la siguiente igualdad:
⁄ ⁄
Y por lo consiguiente dTf
–
dTc = d(ΔT) , por lo tanto queda:(
)
( )
Dada esta ecuación si la integramos entre los extremos del tubo (x=0 y x=L) y recalcando que el flujo es en concurrencia, da como resultado lo siguiente:
( ) ( )
Después de esto, usamos estas mismas ecuaciones deducimos con facilidad que:
( )
37 Ya sustituyendo todo esto nos queda:
[ ⁄ ⁄ ] ⁄
Ya con esto tenemos el valor de la efectividad del intercambiador en función de dos parámetros de uso muy frecuente en análisis de intercambiadores: UA/Cmin y Cmin/Cmax.
2.6.2. NUT y relación de capacidades
El valor de la fracción adimensional UA/Cmin es el llamado número de unidades de transferencia del intercambiador y se representa por las siglas NUT y este es un indicador de su tamaño, mientras que la relación de capacidades Cmin/Cmax se suele representar por R. Con estas convenciones y si nos referimos a un intercambiador tipo anular con el flujo en concurrencia la formula finalmente nos quedaría como:
[ ]
El análisis de un intercambiador es para demostrar que la efectividad está en función del NUT, de la relación de capacidades R y de la geometría del intercambiador. Por lo tanto, para las geometrías más normales, se puede deducir en cada caso la fórmula que relacione la efectividad con el NUT y la relación de capacidades R.
2.6.3. Eficiencia de un intercambiador
La eficiencia ψ del intercambiador está definida como la relación entre su efectividad y su NUT. Dado el caso si tratamos de temperatura puede definirse también como la relación entre su LMTD y la máxima diferencia de temperaturas:
Los valores de la eficiencia ψ se pueden encontrar tabulados o en graficas en función de R y la efectividad. Utilizando los valores de la efectividad que se obtuvieron se usan para intercambiadores anulares y flujo en concurrencia y en contracorriente respectivamente las relaciones siguientes:
[ ]
[ ] [ ]
38
2.6.4. Relaciones ε-NUT en intercambiadores anulares
Flujo en contracorriente
[ ] [ ]
Se observa que para cualquier valor de R la efectividad tiende a uno a medida que crece el NUT. También se deduce que para un NUT dado cuanto más bajo es R más alta es la efectividad. Hay dos tipos de casos cuando R= 0 y R=1, el primer caso puede corresponder a intercambiadores con cambio de fase, en los que al ser la temperatura constante en el lado del cambio de fase es R=0. Esto también puede ser el caso de intercambiadores agua-aire en los que por general Cagua>>Caire con lo que se supone que
R=0.
El segundo caso es más común en intercambiadores regenerativos gas-aire en los que CgasCaire. La expresión de la efectividad queda indeterminada, pro aplicando la regla de
I’Hôpital se resuelve la indeterminación. Las formulas de la ε en éstos dos casos quedan de la siguiente forma: Flujo concurrente La fórmula es la siguiente: [ ]
Para los dos casos cuando R=0 y R=1 quedaría lo siguiente:
Se observa ahora que para el caso de R=0 el valor asintótico de la efectividad al crecer NUT es siempre menor que la unidad. Para el caso R=1 la máxima efectividad es de 0.5, la mitad que en el mismo caso de R=1 pero con flujo en contracorriente. Se deduce que para valores altos de R la eficiencia es comparable en concurrencia y en contracorriente.