Condiciones del Problema
Se coloca una bola sobre una barra, ver figura abajo, donde se permite rodar con 1 grado de libertad a lo largo de la barra. Se adiciona un brazo de palanca a la barra en uno de sus extremos y un servo engranaje en el otro. A medida que el servo engranaje gira un ángulo theta, la palanca cambia el ángulo de la barra en alpha. Cuando se cambia el ángulo a partir de la posición vertical, la gravedad ocasiona que la bola ruede a lo largo de la barra. Debe diseñarse un controlador para este sistema de modo que pueda manipularse la posición de la bola.
Para este problema, asumimos que la bola rueda sin resbalamiento y la fricción entre la barra y bola es despreciable. Las constantes y variables para este ejemplo se definen como sigue:
M masa de la bola 0.11 kg
R radio de la bola 0.015 m
d offset de brazo de palanca 0.03 m g aceleración gravitacional 9.8 m/s^2 L longitud de la barra 1.0 m
J momento de inercia de la bola 9.99e-6 kgm^2 r coordenada de posición de la bola
alpha coordenada angular de la barra theta ángulo del servo engranaje Los criterios de diseño para este problema son:
Tiempo de Establecimiento menor que 3 segundos
Sobrepico menor que 5%
Ecuaciones del Sistema
El movimiento para la bola está dado por la siguiente ecuación:
La linealización de esta ecuación alrededor del ángulo de la barra , alpha = 0, nos da la siguiente aproximación lineal del sistema:
La ecuación que relaciona el ángulo de la barra con el ángulo del engranaje puede aproximarse a una relación lineal mediante la ecuación de abajo:
Sustituyéndola en la ecuación previa, tenemos:
1. Función de Transferencia
Tomando transformada de Laplace de la ecuación de arriba, se encuentra la siguiente ecuación:
NOTA: Cuando se toma Transformada de Laplace para hallar la función de
transferencia se asume que las condiciones iniciales son nulas.
Reacomodando encontramos la función de transferencia del ángulo del engranaje (theta(s)) a la posición de la bola (R(s)).
Debe notarse que la función de transferencia de la planta de arriba es un doble integrador. Como ésta es marginalmente estable nos proveerá de un arduo problema de control.
2. Espacio de Estado
El sistema de ecuaciones linealizado puede representarse también en la forma espacio de estado. Esto puede hacerse seleccionando la posición de la bola (r) y velocidad (rdot, por r punto) como las variables de estado y el ángulo del
engranaje (theta) como la entrada. La representación espacio de estado se muestra abajo:
Sin embargo, para nuestro ejemplo de espacio de estado usaremos un modelo
ligeramente diferente. La misma ecuación se aplica todavía para la bola pero en lugar de controlar la posición a través del ángulo del engranaje, theta, controlaremos alfa doble punto. Esto es esencialmente el control del torque de la barra. La representación de
Este sistema se muestra abajo:
Representación en Matlab y Respuesta a Lazo Abierto 1. Función de Transferencia
La función de transferencia encontrada a partir de la transformada de Laplace puede implementarse en Matlab entrando el numerador y el denominador como vectores. Para lograrlo debemos crear un programa como se muestra a
continuación. m = 0.111; R = 0.015; g = -9.8; L = 1.0; d = 0.03; J = 9.99e-6; K = (m*g*d)/(L*(J/R^2+m)); num = [-K]; den = [1 0 0]; printsys(num,den) La salida debería ser:
num/den = 0.21 / s^2
Ahora, le gustaría observar la respuesta de la bola a una entrada escalón de 0.25 m . Para hacerlo necesitará agregar la siguiente linea al programa:
step(0.25*num,den)
Debería verse la figura siguiente mostrando las posiciones de la bola como función del tiempo:
De esta figura es claro que el sistema es inestable a lazo abierto, causando que la bola se deslice afuera de la barra. Por lo tanto, se requiere de algún método para controlar la posición de la bola en este sistema. Abajo se listan tres ejemplos de
diseño del controlador para el problema de la FT. Puede elegir entre PID, Lugar de Raíces, y Respuesta en Frecuencia.
2. Espacio de Estado
Las ecuaciones de espacio de estado pueden representarse en Matlab con los siguientes comandos (estas ecuaciones son para el modelo de control de torque). m = 0.111; R = 0.015; g = -9.8; J = 9.99e-6; H = -m*g/(J/(R^2)+m); A=[0 1 0 0 0 0 H 0 0 0 0 1 0 0 0 0]; B=[0;0;0;1]; C=[1 0 0 0]; D=[0];
La respuesta al escalón de 0.25m (posición deseada) puede verse corriendo el comando siguiente:
step(A,B*.25,C,D)
Al igual que el esquema para la función de transferencia, esta figura muestra que el sistema es inestable y que la bola se va a salir de la barra. Por lo tanto, requerimos algún método de control de la posición de la bola en este sistema. Abajo se muestra el ejemplo de cómo implementar un controlador en Espacio de Estado para este tipo de sistema.
Solución al Problema de la Barra y Bola Usando Control PID
La función de transferencia a lazo abierto de la planta para experimento de la barra y bola se da abajo:
Los criterios de diseño para este problema son:
Tiempo de establecimiento menor que 3 segundos
Sobrepico menor que 5%
Representación a Lazo Cerrado
El diagrama en bloque para este ejemplo con un controlador y realimentación unitaria de la posición de la bola se muestra abajo:
Primero estudiaremos la respuesta del sistema mostrado abajo cuando se usa un controlador proporcional. Entonces, se adicionará si es necesario control integral y/o derivativo.
Recordemos, que la función de transferencia para un controlador PID es:
Control Proporcional
La función de transferencia a lazo cerrado para un controlador proporcional con una ganancia proporcional (kp) igual a 100, puede modelarse con el siguiente programa. m = 0.111; R = 0.015; g = -9.8; L = 1.0; d = 0.03; J = 9.99e-6; K = (m*g*d)/(L*(J/R^2+m)); %simplifica entrada num = [-K]; den = [1 0 0]; kp = 1; numP = kp*num;
[numc, denc] = cloop(numP, den) El numerador y denominador deberían ser:
numc =
0 0 0.2100 denc =
1.0000 0 0.2100
Ahora, podemos modelar la respuesta del sistema a una entrada escalón de 0.25 m. Agregue la siguiente línea de código a su archivo-m y ejecútelo:
step(0.25*numc,denc)
Como puede ver la adición de ganancia proporcional no estabiliza el sistema. Pruebe cambiando el valor de kp y note que el sistema permanece inestable. Se probó con los otros valores y el sistema sigue inestable.
Control Proporcional-Derivativo
Ahora, agregaremos un término derivativo al controlador. Con este programa veremos si el sistema queda estable.
m = 0.111; R = 0.015; g = -9.8; L = 1.0; d = 0.03; J = 9.99e-6; K = (m*g*d)/(L*(J/R^2+m)); %simplifica entrada num = [-K]; den = [1 0 0]; kp = 10; kd = 10; numPD = [kd kp];
numh = conv(num, numPD); [numc, denc] = cloop(numh, den); t=0:0.01:5;
step(0.25*numc,denc,t)
Ahora el sistema es estable pero el sobrepico es demasiado alto y el tiempo de asentamiento necesita bajarse un poco. De la página tutorial de PID en la sección de características de controladores P, I, y D , vemos que incrementando
kd podemos bajar el sobrepico y disminuir apenas el tiempo de establecimiento.
Por lo tanto, haga kd = 20 y la salida debería ser:
El criterio de sobrepico está logrado pero el tiempo de establecimiento necesita bajarse un poco. Para bajar el tiempo de establecimiento podemos intentar incrementar apenas kp para incrementar el tiempo de elevación. La ganancia derivativa (kd) puede también incrementarse para bajar algo del sobrepico que el incremento kp causará. Luego de experimentar un poco con las ganancias, puede lograrse la siguiente respuesta al escalón con kp = 15 y kd = 40:
Como puede ver de la figura de arriba todos los objetivos de control han sido logrados sin el uso de un controlador integral (el tiempo de establecimiento para este ejemplo se considera logrado cuando la respuesta es menor que el 2% de su valor final). Recuerde, que para un problema de control hay más que una solución.