Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Luego 1.
Sócrates es mortal. (Caso de Especificación universal. Univer- so: los hombres. Propiedad: ser mortal. Individuo: Socrátes) Cada uno de los votantes, tiene cédula. Luego, Todos los votan- 2.
tes tienen cédula. (Caso de Generalización Universal. Univer- so: votantes. Propiedad: tener cédula)
Álvaro Uribe es Presidente de Colombia. Luego alguna persona 3.
es Presidente de Colombia. (Universo: Presidente de Colombia; Individuo: Álvaro Uribe)
Ejemplos de demostraciones con cuantificadores
a) Todos los miembros del equipo ganaron las pruebas. Todos los que ganaron pruebas, ganaron medallas. Luego, todos los miembros del equipo ganaron medallas.
Todos los miembros del equipo ganaron las pruebas. (Pre- 1.
misa)
Todos los que ganaron pruebas, ganaron medallas. (Premisa) 2.
Si
3. x es un miembro del equipo, x ganó las pruebas. (Especi- ficación Universal)
Si
4. x ganó las pruebas, x ganó medalla. (Especificación Uni- versal)
Si
5. x es miembro del equipo, x ganó medalla. (Silogismo hi- potético)
Todos los miembros del equipo ganaron medallas. (Genera- 6.
lización universal)
b) Ningún miembro del Comité esta presente. Todos los conser- vadores están presentes. Luego, Ningún miembro del comité es conservador.
Todos los miembros del Comité no están presentes. (Premisa) 1.
Todos los conservadores están presentes. (Premisa) 2.
Si
3. x es miembro del Comité entonces x no está presente. (Es- pecificación universal)
Si
4. x es conservador, x está presente. (Especificación uni- versal)
Si
5. x no está presente, x no es conservador. (Contrapositiva de 4)23
Si
6. x es miembro del Comité, entonces x no es conservador. (Silogismo Hipotético)
Ningún miembro del Comité es conservador (Generaliza- 7.
ción Universal) Conclusión
3.4.2 Ejercicios
a) Sacar una conclusión válida de las premisas dadas.
Ningún número impar es divisible por dos. Seis es divisible 1.
por dos.
23 Dada una proposición de la forma Si P entonces Q , esta es equivalente a Si No
Q entonces No P, que se denomina la contrarecíproca y por eso podemos reem- plazar la una por la otra.
Ningún triángulo congruente con el triángulo ABC es equi- 2.
látero. Solo los triángulos congruentes con ABC, son con- gruentes con XYZ. El triángulo GHI es equilátero.
Todo alumno que haga el taller correctamente entiende las 3.
nociones básicas. Juan es alumno, pero no entiende las no- ciones básicas.
Los plátanos y las uvas son frutas. Las frutas y las verduras 4.
son nutritivas.
Todo pasajero de tren viaja en primera o en clase turista. Un 5.
pasajero viaja en clase turista, si no es rico. Juan es rico. Ningún deportista que aspire a participar en la olimpiadas 6.
ingiere bebidas alcohólicas. Pero hay deportistas que ingie- ren bebidas alcohólicas.
B) En cada caso pruebe usando las reglas dadas que la conclusión es una consecuencia lógica de las premisas.24
1. Cada miembro de la clase aparece en la obra o trabaja como tramoyista. Los que aparecen en la obra están ensayando. Los que trabajan como tramoyistas están decorando el es- cenario. Por lo tanto, si Pablo es un miembro de la clase, entonces está ensayando o está decorando el escenario. 2. Algunos jóvenes que cometen pequeños delitos son encar-
celados. Cualquier joven que es encarcelado esta expuesto a la influencia de criminales profesionales. Un joven que se ve expuesto a la influencia de criminales profesiona- les se tornara agresivo y aprenderá técnicas para cometer crímenes. Cualquiera que aprenda técnicas para cometer crímenes es una amenaza para la sociedad, si es agresivo. Por tanto, algunos jóvenes que cometen pequeños delitos constituyen una amenaza para la sociedad.
3. Todos los paralelogramos son trapezoides, pero algunos trapezoides no son paralelogramos. Los rectángulos exis- ten. Todos los rectángulos son paralelogramos. De aquí
que algunos trapezoides sean rectángulos, pero algunos trapezoides no sean rectángulos.
4. Todo lo que es material y orgánico es real. Toda cosa es o bien no orgánica o es efímera. Toda cosa es o bien no efímera o no real. Por tanto, toda cosa que sea orgánica es efímera y no material.
5. Si hay un tribunal federal que confirme la sentencia, enton- ces están equivocados todos los miembros del jurado. Sin embargo, algunos miembros del jurado no están equivoca- dos. En consecuencia ningún tribunal federal confirmará la sentencia.
6. Todo pasajero viaja en primera clase o en clase turista. Cada pasajero viaja en clase turista si y solo si no es rico. Algunos pasajeros son ricos. No todos los pasajeros son ricos. Por tanto, algunos pasajeros viajan en clase turista.
7. Si hubiera un ser perfecto, este seria omnisciente, todo- poderoso e infinitamente bueno. Si hubiera un ser omnis- ciente, todopoderoso e infinitamente bueno, no ocurrirían catástrofes naturales. Pero ocurren catástrofes naturales. De ello se sigue que no hay un ser perfecto.
8. Si hay genios, entonces todos los grandes compositores son genios. Si alguien es temperamental, todos los genios son temperamentales. Por tanto, si alguien es un genio tem- peramental, entonces todos los grandes compositores son temperamentales.
9. Una democracia puede o bien garantizar a sus adversarios todas las libertades democráticas, o excluirlos de la libertad de expresión y del derecho a organizarse políticamente, Si les garantiza todas las libertades democráticas, estará en peligro de ser derrocada. Si los excluye de la libertad de ex- presión y del derecho a organizarse políticamente, violará algunos de los principios de la democracia. Luego una de- mocracia o bien estará en peligro de ser derrocada por sus adversarios, a bien violará algunos de sus principios.
10. Las proposiciones matemáticas tienen contenido. Solo las proposiciones sintéticas tienen contenido. No hay proposi- ciones sintéticas a priori. Toda proposición es o bien a priori o bien a posteriori. De donde se sigue que las proposiciones matemáticas son sintéticas a posteriori. (J Stuart Mill) 11. Las proposiciones matemáticas son necesarias. Las pro-
posiciones a posteriori no son necesarias. No hay propo- siciones sintetizas a priori. Toda proposición es o sintética o analítica, y a priori o a posteriori. Así, las proposiciones matemáticas son analíticas a priori. (J. Ayer)
12. Las proposiciones matemáticas son necesarias. Solo las pro- posiciones a priori son necesarias. Las proposiciones mate- máticas tienen contenido. Solo las proposiciones sintéticas tienen contenido. Por tanto, las proposiciones matemáticos son sintéticas a priori. (Kant)
3.4.3 Argumentos inválidos
La manera de probar que un argumento con cuantificadores no es válido es encontrando un argumento que tenga la misma forma y que claramente tiene sus premisas verdaderas y su conclusión falsa. Veamos algunos ejemplos:
1. Todos los atletas son musculosos. Carlos no es atleta, por lo tanto Carlos no es musculoso.
análisis:
Considere el siguiente argumento con la misma for- ma, pero de la cual sabemos con certeza que sus premisas son verdaderas y su conclusión falsa.Todos los colombianos son suramericanos. (V) El presidente Lula da Silva no es colombiano. (V) Luego el presidente Lula da Silva no es suramericano. (F)
2. Todos los miembros del Senado colombiano son políticos. To- dos los miembros del Senado colombiano son mayores de edad. Por lo tanto, Todos los políticos son mayores de edad.
análisis:
Todas las vacas son mamíferos. (V) Todos los ca- ballos son mamíferos. (V) Luego, todas las vacas son caballos. (F)3.4.4 Ejercicios
Encontrar un argumento con la misma forma del argumento dado el cual claramente es inválido.
Todos los tenores son obesos o altos. Ningún tenor obeso es 1.
alto. Algunos tenores son altos. Luego algunos tenores son obesos.
Algunos boxeadores son negros. Algunos cartageneros son ne- 2.
gros. Luego algunos cartageneros son boxeadores.
Todas las vacas son mamíferos. Algunos mamíferos son fero- 3.
ces. Luego algunas vacas son feroces.
Ningún perro es gato. Algunos gatos son angora. Ningún pe- 4.
rro es angora.
Ningún republicano es demócrata; así, algunos demócratas 5.
son ricos corredores de bolsa, puesto que algunos ricos corre- dores de bolsa no son republicanos.
Ningún estudiante universitario es una persona con un IQ me- 6.
nor de 70, pero todas las personas que tienen un IQ menor de 70 son tontas; así, ningún estudiante universitario es tonto. Todos los edificios a prueba de incendios son estructuras que 7.
se pueden asegurar a tasas especiales; así, algunas estructuras que se pueden asegurar a tasas especiales no son casas de ma- dera, pues ninguna casa de madera es un edificio a prueba de incendios.
Todos los valores gubernamentales son inversiones seguras; 8.
luego, algunas inversiones en acciones que pagan altos divi- dendos son inversiones seguras, ya que, algunos valores guber- namentales pagan altos dividendos.
Algunos pediatras no son especialistas en cirugía; de esto se 9.
sigue que, algunos médicos generales no son pediatras, puesto que algunos médicos generales no son especialistas en ciru- gía.
Ningún intelectual es un político exitoso, porque ninguna per- 10.
sona tímida y retraída es un político exitoso y algunos intelec- tuales son personas tímidas y retraídas.