Ejercicios (&

". Una solución de salmuera fluye a razón de L/min hacia el interior de un) gran tanque que inicialmente contiene "!! L de solución de salmuera en la cual estaban disueltos kg de sal. La solución en el interior del tanque se mantiene& bien agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque es de kg/L, determine la cantidad de sal!Þ& presente en el tanque al cabo de minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración> de sal en el tanque el valor de kg/L ?!Þ#

#. Una solución de sal fluye a razón constante de L/min hacia el interior de un& gran tanque que inicialmente contiene L de solución de salmuera en la cual&! se disolvieron kg de sal. La solución contenida en el tanque se mantiene bien& agitada y fluye al exterior con la misma rapidez. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque es de kg/L, determine la cantidad de sal!Þ& presente en el tanque al cabo de minutos. ¿Cuándo alcanzará la concentración> de sal en el tanque el valor de kg/L?!Þ$

$. Una solución de ácido nítrico fluye a razón constante de L/min hacia el' interior de un gran tanque que inicialmente contiene #!!L de una solución de ácido nítrico al % La solución contenida en el tanque se mantiene bien!Þ& Þ agitada y fluye hacia el exterior del mismo a razón de L/min. Si la solución) que entra en el tanque es de % de ácido nítrico, determine la cantidad de#! ácido nítrico presente en el tanque al cabo de minutos. ¿En qué momento el> porcentaje de ácido nítrico contenido en el tanque será del %?"!

%. Una solución de salmuera fluye a razón constante de L/min hacia el interior% de un gran tanque que inicialmente contiene "!! L de agua. La solución contenida en el tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia al exterior a razón de L/min. Si la concentración de sal en la salmuera que entra al tanque$ es de kg/L, determine la cantidad de sal contenida en el tanque al cabo de!Þ# > minutos. ¿En qué momento la concentración de sal contenida en el tanque será de kg/L?!Þ"

&. Una alberca, cuyo volumen es de "!Þ!!! galones gal , contiene agua con el !Þ!"% de cloro. Empezando en > œ !, desde la ciudad se bombea agua que contiene !Þ!!"% de cloro, hacia el interior de la alberca a razón de gal/min, y& el agua de la alberca fluye al exterior a la misma velocidad. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca al cabo de hr ? ¿Cuándo tendrá el agua de" la alberca !Þ!!#% de cloro?.

'. El aire del interior de un pequeño cuarto con dimensiones de por por "# ) ) pies contiene % de monóxido de carbono. Empezando en $ > œ !, se sopla aire fresco que no contiene monóxido de carbono, hacia el interior del cuarto a razón de "!! pies /min. Si el aire del cuarto sale al exterior a través de una$ abertura a la misma velocidad. ¿cuándo tendrá el aire del interior del cuarto !Þ!"% de monóxido de carbono?.

(. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de cm /seg, y sale de él, a la misma velocidad. El órgano tiene un$ $ volumen líquido de "#& -7$. Si la concentración del medicamento en la sangre

que entra en el órgano es de g/cm ¿cuál es la concentración del!Þ# $ß medicamento en el órgano en el instante , si inicialmente no había vestigio> alguno del medicamento? ¿Cuándo la concentración del medicamento en el ógano será de g/cm ?!Þ" $

). El agua del río Aguadulce fluye al lago Magdalena a razón de $!! gal/min. El lago Magdalena contiene aproximadamente "!! millones de galones de agua. La fumigación de los naranjales cercanos ha ocasionado que la concentración de plaguicidas en el lago llegue a ser de !Þ!!!!$&, ó partes por millón. Si se$& suspende la aplicación de plaguicida, ¿cuánto tiempo transcurrirá antes de que la concentración de los mismos en el lago, esté por debajo de partes por"! millón? (Suponga que el río Aguadulce no contiene plaguicida y que el volumen del lago permanece constante).

*. En "*(!, el Depto. de Recursos Naturales arrojó en un lago "!!! ejemplares de una especie de pez híbrido. En "*(( se calculó que la población de esta especie en el lago era de $!!!. Usando una ley malthusiana para el crecimiento de la población, calcule la población de estos peces en el lago en "*)!. ¿Cuál sería el cálculo correspondiente a "**"usando la ley malthusiana?

Nota: La ley de Malthus del crecimiento afirma que alimentos y población se encuentran en una relación inversa por una diferente progresión de crecimiento. La población crece en progresión geométrica, mientras que los alimentos lo hacen en progresión aritmética.

"!. En "*(! se estimó que la población de iguanas en el zoológico de Barranquilla era exactamente de $!!! ejemplares. Usando una ley malthusiana para el crecimiento de la población, calcule la población de iguanas en el zoológico para el año #!!!.

"". Una bola de nieve se derrite de tal manera que la razón de cambio de su volumen es proporcional al área de su superficie. Si el diámetro de la bola de nieve era inicialmente de pulgadas y al cabo de minutos su diámetro es de% $! $ pulgadas, ¿cuándo será su diámetro de pulgadas?. En términos matemáticos,# ¿cuándo desaparecerá la bola de nieve?.

"#. Suponga que la bola de nieve del problema "" se derrite de tal manera que la razón de cambio de su diámetro es proporcional al área de su superficie. Con los mismos datos proporcionados, ¿cuándo será su diámetro de una pulgada? En términos matemáticos, ¿cuándo desaparecerá la bola de nieve? "$. En la mañana de un sábado caluroso, mientras las personas se encuentran trabajando, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior del edificio a F. A mediodía se apaga el acondicionador y la gente regresa a casa. La(&! temperatura exterior permanece constante a *&!F durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es hr, ¿cuál será la temperatura interior del% edificio a las # À !!p.m.? ¿En qué momento la temperatura interior del edificio será de F?.)!!

"%. En una mañana templada de sábado, mientras las personas trabajan, el calefactor mantiene la temperatura interior de un edificio a C. A mediodía#"! se apaga el calefactor y la gente regresa a casa. La temperatura exterior

permanece constante a C durante el resto de la tarde. Si la constante de"#! tiempo del edificio es de hr, ¿en qué momento la temperatura interior del$ edificio será de C?. Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de"'! tiempo se reduce a hr, ¿en qué momento la temperatura interior será de# "'!C?.

"&. Un taller mecánico sin calefacción ni aire acondicionado tiene una constante de tiempo de hr. Si la temperatura exterior varía en forma de onda senoidal# con un mínimo de F a las &!! # À !! a.m. y un máximo de F a las )!! # À !! p.mß determine las horas a las que el edificio alcanzará sus temperaturas mínima y máxima, suponiendo que el término exponencial ha desaparecido.

"'. Durante el verano, la temperatura interior de una camioneta llega a ser de "$!!F, mientras la temperatura exterior es de F constante. Cuando el*&! conductor entra en el vehículo, enciende el equipo de aire acondicionado con el termostato fijado a F. Si la constante de tiempo de la camioneta es de'!!

" " "

5 œ #hr y el de la camioneta con su sistema de aire acondicionado es de 5" œ $ hr, ¿en qué momento la temperatura interior del vehículo será de F?)!!

"(. Un lunes en la mañana la temperatura de una sala ha descendido a %! J ß! al igual que la temperatura exterior. A las ( À !!a.m. el portero enciende el equipo de calefacción con el termostato a F. La constante de tiempo del edificio es(!! de " hr y la del edificio, junto con sus sistemas de calefacción, es "

5 œ # "Î5 œ" #

hr. Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante, ¿cuál será la temperatura del interior de la sala a las ) À !!a.m? ¿En que momento la temperatura del interior de la sala será de F?'&!

"). Un calefactor solar de agua consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque se encuentra bien aislado y tiene una constante de tiempo de '% hr. El panel solar genera #!!!btu/hr durante el día y el tanque tiene una capacidad calórica de # J! por btu. Si el agua del tanque se encuentra inicialmente a ""!!F y la temperatura ambiente del exterior del tanque es de )!!F, ¿cuál será la temperatura en el interior del tanque al cabo de horas de"# luz solar?

Nota: btu indica unidades térmicas británicas.

"*. Si en el problema se emplea ahora un tanque más grande con una") capacidad calorífica de F por mil btu y una constante de tiempo de hr (con"! (# todos los demás factores iguales), ¿cuál sería la temperatura en el interior del tanque al cabo de hr?"#

#!. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a *&!C se enfría y llega a C en minutos, mientras permanece servida en un cuarto con)!! & temperatura de #" G! . Usando solamente la ley de Newton del enfriamiento, determine en qué momento alcanzará el café una temperatura ideal de C.&!! #". La ley de Stefan de la radiación establece que la razón de cambio de la temperatura de un cuerpo que se encuentra a grados Kelvin es un medio X Q grados Kelvin, es proporcional a Q  X% %. Esto es,

.X

donde es una constante positiva. Resuelva esta ecuación usando separación5 de variables. Explique por qué las leyes de Newton y de Stefan son aproximadamente iguales, cuando se acerca de y es constante.X Q Q

‘ Sugerencia: Factorice Q  X% % .

##. Dos amigos se sientan a conversar y a disfrutar una taza de café. Cuando se sirve el café, el amigo impaciente en seguida le agrega una cucharadita de crema. El amigo tranquilo espera minutos antes de añadir la crema (la cual se& ha mantenido a temperatura constante). Los dos empiezan ahora a beber su café. ¿Quién tiene el café más caliente?. Suponga que la crema está más fría que el aire y use la ley de Newton del enfriamiento.

#$. Demuestre que G"cosÞA>  G =/8ÞA># se puede expresar en la Ecos A> α , donde E œÈG  G_"# _## y Þ œ G . Sugerencia: Utilice una identidadc

G tanα #

"

trigonométrica conocida con G œ E" cosÞ ß G œ E=/8Þα # αd. Use este hecho para verificar la representación alternativa de la función

. J > œ cosA> AÎO =/8ÞA> œ "  AÎO ‘ A> 

" AÎO #  # " # cos α

#%. La temperatura de una cerveza fría que inicialmente se encuentra a F, se$&! eleva a F en minutos al encontrarse en un cuarto con temperatura de F.%!! $ (!! ¿Cuál será la temperatura de la cerveza si se deja por un espacio de #! minutos?.

#&. Un vino blanco a temperatura ambiente de F se refrigera en hielo (!! $#!F . Si transcurren minutos para que el vino se enfrie a F, ¿cuánto tiempo"& '!! transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de &' J! ?

#'. Un vino rojo se saca de la bodega, que es un lugar frío a C, y se deja"!! reposar en un cuarto con temperatura de C. ¿En qué momento la#$! temperatura del vino llegará a ser de C, si transcurren minutos para"!! "! alcanzar los C?"&!

#(. Un objeto con masa de kg se suelta a partir del reposo, a & "!!! metros arriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad 5 œ &!kg/seg, determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿En qué momento se producirá el impacto del objeto contra el suelo?.

#). Un objeto de %!! libras se suelta a partir del reposo a &!! pies arriba del suelo, y se deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza en libras debida a la resistencia del aire es  "!@, donde es la velocidad@ del objeto en pies/seg, determine la ecuación del movimiento del objeto. ¿En qué momento se producirá el impacto del objeto contra el suelo?.

#*. Si el objeto del problema tiene una masa de #( &!!kg en vez de kg, ¿en& qué momento golpea el suelo? Sugerencia: En este caso, el términoc exponencial es demasiado grande para ser ignorado. Use el método de Newton para aproximar el tiempo en el que el objeto golpea el suelo .> d

$!. Si el objeto del problema se suelta del reposo a pies arriba del suelo en#) $! vez de &!! pies, ¿en qué momento se producira el impacto contra la superficie? cSugerencia: Utilice el método de Newton para despejar .>d

$". A un objeto con masa de kg se le aplica una velocidad inicial hacia abajo& de m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga&! que la fuerza en newtons R debida a la resistencia del aire es  "!@, donde @ es la velocidad del objeto en m/seg. Determine la ecuación del movimiento del objeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a &!! metros arriba del suelo, determine en qué momento golpeará contra la superficie.

$#. A un objeto con masa kg se le aplica una velocidad inicial hacia arriba de ) #! m/seg, y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza en newtons debida a la resistencia del aire es  "'@, donde es la@ velocidad del objeto en m/seg. Determine la ecuación del movimiento del objeto. Si el objeto se encuentra inicialmente a "!! metros arriba del suelo, determine en qué momento golpeará contra la superficie.

$$. Un paracaidista cuyo peso masa es de kg se deja caer desde un(& helicóptero que se encuentra a #!!! metros arriba de la superficie, y cae hacia el suelo bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista, con la constante de proporcionalidad 5 œ $!" kg/seg cuando el paracaídas esta cerrado, y 5 œ *!# kg/seg cuando está abierto. Si el paracaídas no se abre sino hasta que la velocidad del paracaidista llega a ser de m/seg, ¿al cabo de#! cuántos segundos llegará a la superficie?.

$%. Un paracaidista cuyo peso masa es de "!!kg se deja caer desde un helicóptero suspendido a $!!!metros de la superficie, y cae bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la constante de proporcionalidad 5 œ #!$ kg/seg cuando el paracaídas está cerrado, y 5 œ "!!% kg/seg cuando está abierto. Si el paracaídas no se abre sino hasta segundos después de que el paracaidista$! abandona el helicóptero, ¿al cabo de cuántos segundos llegará a la superficie?. Si el paracaídas no se abre sino hasta minuto después de abandonar el" helicóptero ¿al cabo de cuántos segundos llegará al paracaidista a la superficie? $&. Un objeto con masa de "!!kg inicialmente en reposo, se deja caer al agua desde un barco, y se sumerge. Mientras que la gravedad atrae al objeto hacia abajo, una fuerza de boyanza igual a "Î%! del peso del objeto lo empuja hacia arriba peso=mg . Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto, con constante de proporcionalidad igual a kg/seg, encuentre la ecuación del"! movimiento del objeto. ¿Cuántos segundos transcurrirán para que la velocidad del objeto sea de m/seg?.(!

$'. Un objeto con masa de kg se suelta partiendo del reposo, desde una# plataforma a metros sobre el agua y se deja caer bajo la influencia de la$! gravedad. Después de que el objeto golpea la superficie del agua, empieza a sumergirse con la gravedad atrayéndolo hacia abajo y la fuerza de boyanza

empujándolo hacia arriba. Suponiendo que la fuerza de la gravedad es constante, que la fuerza de boyanza es del peso (pso=mg), y que la fuerza"

#

debido a la resistencia del aire o a la resistencia del agua es proporcional a la velocidad, con constante de proporcionalidad 5 œ "!" kg/seg en el aire y 5 œ "!!# kg/seg en el agua, encuentra la ecuación del movimiento del objeto. ¿Cuál será la velocidad del objeto, minuto después de haberse soltado?."

$(. En el ejemplo de la caida libre de un objeto se encontró la velocidad del objeto como función del tiempo ˆ@ > œ 71₅  @ ˆ ! 71₅ ‰/5>Î7‰. En ciertos casos es útil tener una expresión, independiente de , que relacione y . Encuentre> @ B esta relación para el movimiento considerado en el ejemplo en consideración. cSugerencia: Sea @ > œ Z B > ß entonces .@_.> œ ˆ ‰.Z_.B Zd.

$). Cuando la velocidad de un objeto es muy grande, la magnitud de la fuerza@ debida a la resistencia del aire es proporcional a , y la fuerza actúa en@# dirección opuesta al movimiento del objeto. Si un proyectil de masa se lanza7 hacia arriba con una velocidad inicial a partir de una altura inicial , y la@! B! magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es 5@ ß 5  !# , demuestre entonces que @ > y B > están dadas por

@ > œ _-./+/ ,ß B > œ +_. k-  ./ >k ,_- k.  -/ >k B  +-,._-. k-  . ßk ! α α > > _α ln α _α ln α _α ln donde + œÉ71₅ ŠÉ71₅  @ ß , œ!‹ É71₅ ŠÉ71₅  @!‹ - œ É71₅  @ ß! . œÉ71₅  @ ß! αœ #É51₇ Þ

$*. Un proyectil con masa de kg es lanzado hacia arriba con una velocidad# inicial de #!!m/seg, la magnitud de la fuerza ejercida sobre el proyectil por la resistencia del aire es k k@ Î#!. ¿En qué momento alcanzará el proyectil su máxima altura sobre el suelo?¿Cuál es la altura máxima?.

%!. Un objeto de masa se suelta del reposo y cae bajo la influencia de la7 gravedad. Si la magnitud de la fuerza debida a la resistencia del aire es 5@ ß8 donde y son constantes positivas, encuentre la velocidad limitante del5 8 objeto (suponiendo que este límite existe) Sugerencia:Demuestre que lac existencia de una velocidad limitada finita implica que .@ cuando d

.> Ä ! > Ä ∞ Þ %". Un volante giratorio se pone en movimiento por medio de un motor que ejerce un par fuerza giratoria constante . Un par de atraso debido a laX fricción es proporcional a la velocidad angular es . Si el momento de inerciaA del volante es y su velocidad angular inicial es , encuentre la ecuación de laM A! velocidad angular en función del tiempo. Sugerencia: Use la segunda ley deA c Newton del movimiento rotacional, es decir, momento de inercia por aceleración angular=par .d

%#. Encuentre la ecuación de la velocidad angular del problema ,A %" suponiendo que el par de atraso es proporcional a ÈA.

%$. En el problema están %# M œ &!51  7#, y el par de atraso igual a &ÈAR  7. Si el motor se apaga cuando su velocidad angular es de ##&rad/seg, determine cuánto tiempo transcurrirá antes de que el volante quede en reposo.

%%. Un velero va navegando (en trayectorias rectilíneas) bajo la acción de un viento ligero de m/seg. Repentinamente, el viento arrecia y sopla a una" intensidad suficiente para aplicar una fuerza constante de '!! N al velero. La otra única fuerza que actúa sobre la embarcación es la resistencia del agua, que es proporcional a la velocidad del velero. Si la constante de proporcionalidad de la resistencia del agua es 5 œ "!!kg/seg, y la masa del velero es kg, encuentre la ecuación del movimiento del velero. ¿Cuál es la&! velocidad máxima del velero bajo la acción de este viento?.

%&. En el problema se observa que cuando la velocidad del velero alcanza el%% valor de m/seg, el bote empieza a levantarse del agua y "planea". Cuando esto&