Ejercicios Propuestos

Distribución Normal:

1.- Encuentre el área bajo curva normal estándar que cae:

a) entre z=0 y z= 0.87 b) entre z=-1.66 y z=0 c) a la derecha de z=0.48 d) a la derecha de z=-0.27 e) a la izquierda de z= 1.30 f) a la izquierda de z=-0.79

2.- Encuentre el área bajo curva normal estándar que cae:

a) entre z=-0.70 y z=0.92 b) a la derecha de z=1.15 c) a la izquierda de z=0.22 d) entre z=0.24 y z=1.82 e) a la izquierda de z=-1.14 f) a la derecha de z=-0.76 g) entre z=-1.82 y z=-0.79

3.- Encuentre z si el área bajo curva normal estándar

a) entre 0 y z es 0.1915

b) a la izquierda de z es 0.8078 c) a la izquierda de z es 0.0132 d) entre -z y z es 0.8502

4.- El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, noviembre de 1979) se

Vázquez, H. 2009 34 especificó un espesor de de pulgada para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Si las mediciones de espesor tenían una distribución normal, ¿qué porcentaje aproximado fue interior a de pulgada?

5.- Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida normalmente con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas.

a) ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor

que 9,000 horas?

b) ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000

horas?

6.- La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 50.

a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su

mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?

7.- La comisión de aeropuertos metropolitanos está considerando establecer límites para el nivel de contaminación por ruido cerca de un aeropuerto local. En la actualidad el nivel de ruido por despegue de jets en una zona residencial cercana la aeropuerto tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 100 decibeles y una desviación estándar de 6 decibeles.

a) ¿Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar generará un nivel de ruido

mayor que 108 decibeles en esta zona residencial?

b) ¿Qué probabilidad hay de que un jet escogido al azar generará un nivel de ruido

de por lo mucho 100 decibeles?

8.- En una tienda de descuento la demanda diaria de acumuladores por automóvil se calcula mediante una distribución normal con media de 50 acumuladores que tienen una desviación estándar de 10. En dos días consecutivos se venden 80 y 75 acumuladores respectivamente. Si estos días son típicos, ¿qué tan probable es, bajo las suposiciones dadas, vender 80 o más y 75 o más acumuladores?

9.- Se encontró que un grupo de calificaciones de exámenes finales en un curso de estadística elemental estaba normalmente distribuido con una media de 73 y una desviación estándar de 8.

a) ¿Cuál es la calificación del examen final si sólo el 5% de los estudiantes que

pasaron la prueba tuvieron calificaciones más altas?

10.- La directora de una pequeña subestación postal está tratando de cuantificar la variación en la demanda semanal de cilindros postales. Ha decidido suponer que esta demanda está distribuida normalmente. Ella sabe en promedio se adquieren

Vázquez, H. 2009 35 100 cilindros semanalmente y que el 90% de las veces la demanda semanal esta por debajo de 115. ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución?

11.- El tiempo necesario para dar servicio a un automóvil en la estación de servicios Miller está distribuido normalmente con media de 4.5 minutos y desviación estándar s = 1.1 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil seleccionado aleatoriamente

requiera

a.1) Entre 3.5 y 5.6 minutos de servicio?

a.2) Cuando mucho 3.5 minutos de servicio?

b) ¿Cuál es el tiempo de servicio de modo que sólo el 5% de todos

los automóviles requieran más tiempo?

12.- Una máquina puede regularse de manera que sirva un promedio determinado de onzas de refresco por vaso. Si las onzas que vacía por vaso están distribuidas normalmente con una desviación estándar de 0.2 onzas, obtenga la media que asegura que el 99% de las veces la máquina llene vasos de 6 onzas sin que se derrame líquido.

13.- Suponga que una distribución normal en particular tiene una media igual a 70 y que el 90º centil es igual a 84. Calcule la desviación estándar.

a) Si el fabricante está dispuesto a reponer sólo el 0.5% de los refrigeradores,

¿Cuál es el periodo de garantía que debe ofrecer?

14.- Se cree que el tiempo necesario para terminar un examen de aprovechamiento académico es de 150 minutos, y que su desviación estándar es igual a 20 minutos. Si se desea dar el tiempo suficiente para que lo termine el 80% de los examinados, ¿Cuándo debe darse por concluido el examen? (Suponga que los tiempos necesarios para terminar el examen están distribuidos normalmente.) 15.- El departamento de mantenimiento de un gran complejo industrial tiene instrucciones de sustituir las lámparas eléctricas antes de que se fundan. Se sabe que la vida útil de éstas está distribuida normalmente con duración media igual a 900 horas y una desviación estándar igual a 75 horas . ¿Cuándo deben ser reemplazadas las lámparas de modo que no más del 10% se fundan estando en uso?

16.- El fabricante de un medicamento asegura que sólo el 5% de los pacientes que lo utilizan experimentan efectos colaterales. Los doctores de un gran hospital universitario han utilizado el producto en el tratamiento de 250 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que 15 o menos de ellos experimenten efectos colaterales? 17.- Suponga que 5% de los ladrillos de adobe que un fabricante embarca tiene imperfecciones. Use la distribución normal para obtener una aproximación de la probabilidad binomial de que entre 150 ladrillos embarcados por este fabricante por lo menos ocho tengan imperfecciones.

a) Calcule la media aritmética b) Calcule la desviación estándar.

18.- Los registros de servicio señalan que el 50% de automóviles nuevos de una sola marca requerirán algún tipo de reparación durante el periodo de garantía de 90 días. Para una muestra aleatoria de n=12 de automóviles nuevos, use la distribución binomial para determinar la probabilidad de que durante el periodo de garantía requieran reparaciones

Vázquez, H. 2009 36

a) 8 ó 9; b) no más de 2

Use la aproximación binomial a la distribución normal para determinar la probabilidad aproximada de que requerirán reparación dentro del periodo de garantía de 90 días

c) 8 ó 9; d) no más de 2

Distribución Exponencial:

1.- El tiempo de duración de un ensamble mecánico en una prueba de vibración tiene una distribución exponencial con media de 400 horas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle durante la prueba en menos de

100 horas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante más de 500 horas

antes de que falle?

c. Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin falla alguna, ¿Cuál es la

probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas?

2.- Suponga que X tiene una distribución exponencial con = 2. Calcule lo siguiente.

a. P(X<= 0) b. P(X>=2) c. P(X<=1) d. P(1 < X < 2)

e. Encuentre el valor de x tal que P(X <x) = 0.05

3.- El tiempo entre llegadas de mensajes electrónicos a una computadora tiene una distribución exponencial con media de dos horas.

a. ¿ Cuál es la probabilidad de que la computadora no reciba mensajes en un

periodo de dos horas?

b. Si la computadora no ha recibido ningún mensaje en las últimas

cuatro horas, Cuál es la probabilidad de recibir un mensaje en las dos horas siguientes?

c. ¿Cuál es el tiempo esperado entre el quinto y sexto mensaje?

4.- El tiempo entre arribos de los taxis a un cruce muy concurrido tiene una distribución exponencial con media de 10 min.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el cruce tenga que

esperar más de una hora para tomar un taxi?

b. Suponga que la persona ya espero una hora; ¿Cuál es la probabilidad de que

llegue uno en los siguientes 10 min?

5.- La distancia que hay entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución exponencial con media de 5 millas

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10

millas?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que hay dos grietas en un tramo de 10 millas? c. Cuál es la desviación estándar de la distancia ente las grietas?

Distribución Weibull:

Vázquez, H. 2009 37 Calcule lo siguiente:

a. P(X< 10 000 ) b. P(X > 5000)

2.- Suponga que la vida útil de cierta clase de baterías (en horas) es una variable aleatoria que tiene una distribución Weibull con α = 100 y β = 0.5.

Calcular:

a) La probabilidad de que la batería dure más de 300 horas b) La probabilidad de que la batería dure menos de 300 horas c) La probabilidad de que la batería dure entre 250 y 350 horas d) La vida promedio de esa batería

3.- El tiempo de falla (en horas) del cojinete de una flecha está modelado satisfactoriamente por una variable aleatoria Weibull, con α = 5000 y β= 0.5.

a) Determinar la probabilidad de que el cojinete dure al menos 6000 horas b) Calcular el tiempo promedio de falla

4.- La duración en horas de una broca de taladro que se emplea en una operación de fabricación tiene una distribución Weibull α = 100 y β = 2.