3. La Categor´ıa de Bim´ odulos de Soergel
3.3. El Teorema de Categorificaci´ on de Soergel
3.3.1. El caso diedral
Lema 3.3.5 Sea V una representaci´on de dimensi´on finita de W. Sea A W un
subconjunto finito y sea s PW tal que sA A. Entonces:
(a) Existe un isomorfismo de bim´odulos graduados:
RbRs RpAq RpAq `RpAqp2q.
(b) Si RpAq RpAq denota a los invariantes bajo la acci´on de sid, se induce un isomorfismo:
RbRs RpAq RpAq.
Demostraci´on. Supongamos queU es una representaci´on de dimensi´on finita deW. Cada reflexi´on t : U Ñ U define una involuci´on t : RpUq Ñ RpUq, pues t2 e, de modo que si elegimos un funcional β P U como ecuaci´on de la reflexi´on por el hiperplano Ut, podemos considerar el operador Bβ
t :RpUq ÑRpUq dado por:
f ÞÑ f tf
2β .
En efecto, este operador est´a bien definido, pues f2βtf PRpUq, ya que si elegimos una base tu1, . . . , unudeU de modo que tpuiq ui para i1, . . . , n1 ytpunq un, para f P RpUq existe un polinomio p tal que fpa1u1 . . . anunq ppa1, . . . , anq para cualesquiera a1, . . . , anPR. Luego, como tf PRpUq est´a dada por ptfqpa1u1
. . . , anunq ppa1, . . . , an1,anq. Si elegimos el funcional β de modo que βpuiq 0 parai1, . . . , n1 yβpunq 1, resulta que β PRpUqest´a dada porβpa1u1 . . .
anunq an, y en particular, basta verificar que para cualesquiera n´umeros reales se tiene que: ftf 2β pa1u1 . . . anunq ppa1, . . . , anq ppa1, . . . , an1,anq 2an
es un polinomio en a1, . . . , an, pues notar que en general para un polinomio p se tiene que ab|ppaq ppbq.
Esto prueba que existe un isomorfismo deRs-bim´odulosRpUq RpUqt`βRpUqt. En efecto, podemos escribir
f f tf
2 β
f tf
2β .
Ahora bien, si X U es el conjunto de ceros de una funci´on regular que es estable por la acci´on de t, entonces t induce una involuci´on en RpXq y podemos descomponerRpXq RpXq `RpXqdondeRpXq yRpXq son las componentes de la descomposici´on en suma directa en las cuales la involuci´on act´ua como la identidad y como su opuesta respectivamente. Si ninguna componente irreducible de X est´a contenida en Ut, el operador Bβ
RpUq Ñ RpXq, y por tanto induce una aplicaci´on Bβt : RpXq Ñ RpXq. Notar que
Bβ
t y la multiplicaci´on por β son morfismos inversos, pues para f P RpXq es:
β f tf 2β f tf 2 f f 2 f.
Esto prueba que RpXq RpXqp2q como Rt-bim´odulos graduados.
Ahora bien, si elegimos U V V, y t sid para nuestra reflexi´on s P W, podemos aplicar lo anterior con X GrpAq y obtener una descomposici´on RpAq RpAq `RpAqy un isomorfismoRpAq RpAqp2qdado por la multiplicaci´on con
αb1 β, para α P V una ecuaci´on del hiperplano de reflexi´on de s. Razonando como antes, y usando que RRs`αRs, estos dos isomorfismos juntos prueban la parte (b) del Lema, y usando a su vez esto y la descomposici´on RpAq RpAq ` RpAq se sigue la parte (a).
Observaci´on: Si y, z P W son arbitrarios, y pu, vq P Grpyq XGrpzq, resulta que
uyvzv, y en particular v y1zv PVy1z. Esto es, hay un isomorfismo: Grpyq XGrpzq Vy1z.
Adem´as, se tiene que:
pGrpyq Grpzqq X pV t0uq impyz1idq t0u,
pues si pu, vq es un elemento del conjunto del lado izquierdo, debe ser pu, vq
pyλ1, λ1q pzλ2, λ2qy al mismo tiempo debe serλ1 λ2 0 (puesv 0q, de donde en definitiva uyλ1zλ1. Pero notar que:
pyz1idqpzλ1q yλ1zλ1.
Proposici´on 3.3.6 Sea pW, Sq un sistema de Coxeter con |S| 2 y sea V una
representaci´on de reflexiones fiel de W. Sean s P S y x P W y sea A ty P W :
y¤xu. Entonces se tiene un isomorfismo de R-bim´odulos graduados: RbRs RpAq RpAYsAq `RpAXsAqp2q.
Demostraci´on (esbozo): El caso en que A sA se analiz´o en el Lema anterior. En
el caso en que A teu, el enunciado simplemente afirma que hay un isomorfismo
Rp¤ sq RbRs R, lo cual es consecuencia de considerar la proyecci´on al cociente
RbR ÑRp¤sq.
Vamos a analizar el caso en que A teu y A sA. Se tiene que A ty PW :
y ¤xu, donde xe y sx¡x. Como W es un grupo diedral, la Proposici´on 1.2.10 dice que AsA tx, rxupara alguna reflexi´on rPT distinta des.
Por hip´otesis, los p1q-autoespacios de reflexiones deW son distintos dos a dos, y cada par de ellos genera un subespacio 2-dimensional U V.
Se puede ver que existe una forma β PVV que se anula en Grpxq Grprxq
Vamos a considerar los subm´odulos generados por las coclasesβ y 1 deβ y 1 en
RpAqsobre RsbR, y los vamos a llamarM y N respectivamente.
Afirmaci´on 1: M RpAXsAq p2qcomo Rs-mod-R graduados.
Para demostrar esto, notemos que para cualesquiera tres elementos distintos
x, y, z P W cuyas longitudes no tengan todas la misma paridad, se tiene siempre que:
Grpxq Grpyq Grpzq U t0u.
En efecto, podemos asumir sin p´erdida de generalidad que z e y x, y P T. Por la observaci´on anterior se tiene que
pGrpxq Grpeqq X pU t0uq Vx t0u,
pGrpyq Grpeqq X pU t0uq Vy t0u.
Como asumimos que V era una representaci´on de reflexiones de vectores fiel, tenemos que Vx Vy y por lo tanto se sigue la inclusi´on.
ParayR tx, rxuse tiene entonces que
Grpyq Grpxq Grprxq U t0u.
En particular, nuestra funci´on β no se anula en Grpyq para y P AXsA. Por tanto, un elemento de RpAq anula a β si y s´olo si se anula en GrpAXsAq. Se sigue que la multiplicaci´on por β induce un isomorfismoRpAXsAqp2q RpAqβ.
Sin embargo, la imagen de RsbR enRpAXsAq est´a compuesta precisamente de los elementos sid invariantes, y por lo tanto nuestro isomorfismo se restringe a un isomorfismo RpAXsAq p2q M, como quer´ıamos.
Afirmaci´on 2: N RpAYsAq como Rs-mod-R graduados.
ElRsR-subm´odulo generado por 1 enRpAYsAqes precisamenteRpAYsAq , y por tanto la restricci´on sobre GrpAq nos da un monomorfismo
RpAYsAq ãÑRpAq,
lo cual prueba nuestra afirmaci´on.
Afirmaci´on 3: RpAq M `N.
Veamos primero queRpAq M N. Para esto, siα PVdenota una ecuaci´on del plano de reflexi´onVs, tenemos que RRs`αRs, y por tantoRbR est´a generado comoRsbR-m´odulo por los elementos 1b1 y αb1. Se sigue entonces que tambi´en est´a generado por 11 y un elemento β PVV que no es un sid-invariante. En efecto, β no puede ser un sid-invariante, pues de otro modo se anular´ıa en Grpsxq y por lo tanto, por la inclusi´on de la demostraci´on de la Afirmaci´on 1, se anular´ıa tambi´en en todo U t0u. Esto prueba que RpAq M N.
Veamos ahora que M XN t0u. Para yPAXsA, la restricci´on en Grpy, syq
Grpyq YGrpsyq de cualquier elemento deN es invariante bajosid. En particular, es suficiente probar que la restricci´on de un elemento deM en Grpy, syq s´olo puede ser invariante por la acci´on desid si se anula en Grpy, syq. Para esto, a su vez, es suficiente ver que la restricci´on de β a Grpy, syqno es invariante por sid, o que la restricci´on deβ a Grpyq Grpsyqno es invariante bajosid. Sin embargo, notar que los elementos sid invariantes en Grpyq Grpsyqdeben anularse en el subespacio
Vxt0uy Grpxq Grprxqintersecta aUt0us´olo en el subespacioVrt0uyrs. Para concluir con esta prueba usamos estas tres afirmaciones:
RbRsRpAq RbRs pM`Nq
RbRs pRpAXsAq p2q `RpAYsAqq
RbRs RpAXsAq p2q `RbRs RpAYsAq
RpAXsAqp2q `RpAYsAq,
donde el primer isomorfismo es consecuencia de la tercera afirmaci´on, el segundo isomorfismo es consecuencia de la primera y la segunda, y el ´ultimo es consecuencia del Lema anterior, ya que AXsA y AYsA satisfacen las hip´otesis.
Recordemos de la Proposici´on 2.4.5 que para un grupo diedral tenemos la igual- dad Cx1 v`pxq°
y¤xTy.
Teorema 3.3.7 Sea pW, Sq un sistema de Coxeter con |S| 2, y sea V una re-
presentaci´on de reflexiones de vectores fiel. Entonces el homomorfismo de grupos
E :HÑhRi dado por vnC1
x ÞÑhRp¤xqipn `pxqq es un homomorfismo de anillos.
Demostraci´on. Por el Lema 3.3.1 basta demostrar que para todas las reflexiones
simples s y todos los xPW se cumple que: E pTs 1q ¸ y¤x Ty EpTs 1qE ¸ y¤x Ty .
En efecto, los t´erminos de la forma °y¤xTy forman una base del ´algebra H y los elementos Ts 1 (junto con v) generan aH como ´algebra.
Si llamamos A ty P W : y ¤xu, entonces en virtud del Lema 1.2.10, se tiene que AYsA y AXsA son ambos conjuntos de la forma ty P W : y ¤ zu para cierto elemento z P W. Ahora bien, usando las identidades de multiplicaci´on de la definici´on del ´algebra de Hecke, tenemos:
pTs 1q ¸ yPA Ty ¸ yPAYsA Ty v2 ¸ yPAXsA Ty.
Si reemplazamos esto en la identidad a probar, todo se resume a demostrar el isomorfismo de bim´odulos graduados:
RbRs RbRRpAq pRpAYsAq `RpAXsAqq p2q,