El espacio euclidiano (primera misión cumplida)

Cuando Rn _{se considera junto con la distancia antes definida (llamada la distancia}

euclidiana), se dice que es el espacio euclidiano de dimensón n –que a veces se denota En

, y que formalmente podríamos definir En _{:= (R}n_{, d)– ya que éste cumple con los}

postulados de Euclides para n= 2. Veamos.

Hemos demostrado que R2 _{cumple los tres postulados que se refieren a las rectas,}

y aún nos falta analizar dos. El II se refiere a “trazar” círculos. Ya hemos trabajado con el círculo unitario y claramente se generaliza. Dado un punto p y una distancia r (un número positivo) definimos el círculo con centro p y radio r como el conjunto de puntos a distancia r de p (que se estudiará en el siguiente capítulo). Se trata de cierto subconjunto de R2_{, que además es no vacío (es fácil dar explícitamente un punto en}

él usando coordenadas); y nuestra noción de “definir” un conjunto es la análoga de “trazar” para los griegos. Se cumple entonces el axioma II.

Nos falta únicamente discutir el IV, “todos los ángulos rectos son iguales”. Esta afirmación es sutil. Tenemos, desde hace un buen rato, la noción de ángulo recto, perpendicularidad u ortogonalidad, pero ¿a qué se refiere la palabra “igualdad” en el contexto griego? Si fuera a la igualdad del numerito que mide los ángulos, la afirmación es obvia, casi vacua –“π/2 es igual a π/2”–, y no habría necesidad de enunciarla como axioma. Entonces se refiere a algo mucho más profundo. En este postulado está implícita la noción de movimiento; se entiende la “igualdad” como que podemos mover el plano para llevar un ángulo recto formado por dos rectas a cualquier otro. Esto es claro al ver otros teoremas clásicos como “dos triángulos son iguales si sus lados miden lo mismo”: no se puede referir a la igualdad estricta de conjuntos, quiere decir que se puede llevar a uno sobre el otro para que, entonces sí, coincidan como conjuntos. Y este llevar es el movimiento implícito en el uso de la palabra “igualdad”. En términos modernos, esta noción de movimiento del plano se formaliza con la noción de función. Nosotros lo haremos en el capítulo 3, y corresponderá formalmente a la noción de isometría (una función de R2

en R2

que preserva distancias). Pero ya no queremos distraernos con la discusión de la axiomática griega. Creamos de buena fe que al desarrollar formalmente los conceptos necesarios el Postulado IV será cierto, o tomémoslo en su acepción numérica trivial, para concluir esta discusión con la que arrancamos el libro.

E2_{, con todo y sus nociones básicas que cumplen los postulados de Euclides. Se tiene}

entonces que para estudiarlo son igualmente válidos el método sintético (el que usaban los griegos pues sus axiomas ya son ciertos) o el analítico (que inauguró Descartes y estamos siguiendo). En este último método siempre hay elementos del primero, no siempre es más directo irse a las coordenadas; no hay un divorcio y en general es muy difícil trazar la línea que los separa; además no vale la pena. No hay que preocuparse de eso, en cada momento toma uno lo que le conviene. Pero sí hay que hacer énfasis en la enorme ventaja que dio el método cartesiano, al construir de golpe (y sólo con un poco de esfuerzo extra) espacios euclidianos para todas las dimensiones. Es un método que permitió generalizar y abrir, por tanto, nuevos horizontes. Y no sólo en cuestión de dimensiones.

Como se verá en capítulos posteriores, siguiendo el método analítico pueden con- struirse espacios de dimensión 2 con formas “raras” de medir ángulos y distancias que los hacen cumplir todos los axiomas menos el Quinto, y haciéndolos entonces espacios no euclidianos. Pero esto vendrá a su tiempo; por el momento y para cerrar el círculo de esta discusión, reescribiremos con la noción de distancia el Teorema 1.1, cuya demostración se deja como ejercicio, y donde, nótese, tenemos el extra del “si y sólo si”.

Se puede definir ángulo en tercias ordenadas de puntos. De nuevo,

y

z

x refiriéndonos al ángulo que ya definimos entre vectores (haciendo que

el punto de enmedio sea como el origen):

∠xyz := ang ((x − y), (z − y)) = arccos(x − y) · (z − y) |x− y| |z − y| . Y entonces tenemos:

Teorema 1.28 (Pitágoras) Dados tres puntos x, y, z en

y z x En_{, se tiene que} d(x, z)2 = d(x, y)2+ d(y, z)2 _⇔ ∠xyz = π/2. ¤

Para retomar el hilo de la corriente principal del texto, en los siguientes ejercicios vemos cómo con la noción de distancia se pueden reconstruir objetos básicos como segmentos y rayos, que juntos dan las líneas; y delineamos un ejemplo de un espacio métrico que da un plano con una geometría “rara”.

EJERCICIO 1.93 Demuestra esta versión del Teorema de Pitágoras. EJERCICIO 1.94 Demuestra que el segmento de x a y es el conjunto

EJERCICIO 1.95 Demuestra que el rayo que parte de y desde x (es decir la continuación de la recta por x y y más allá de y) es el conjunto {z | d(x, y) + d(y, z) = d(x, z)}.

*EJERCICIO 1.96 (Un ejemplo cotidiano de otro espacio métrico). El plano con la métrica de “Manhattan” (en honor de la famosísima y bien cuadriculada ciudad) se define como R2 con la función de distancia

dm((x1, x2), (y1, y2)) := |y1− x1|+ |y2− x2| ;

pensando que para ir de un punto a otro sólo se puede viajar en dirección horizontal o vertical (como en las calles de una ciudad).

a)Demuestra que la métrica de Manhattan cumple el Teorema 1.27.

b)Dibuja el conjunto de puntos con distancia 1 al origen; ¿cómo son los círculos? c)¿Cómo son los segmentos (definidos por la distancia como en el ejercicio anterior)? d)¿Cómo son los rayos?