En el capítulo 2 fueron expuestos algunos elementos topológicos con una doble finalidad. En primer lugar, para familiarizarnos con conceptos cargados de «intuición» - por seguir la terminología kantiana- frente al formalismo «logicista» de las escuelas hilbertiana o bour-bakista. (Todavía hoy, en el mejor estilo lagrangiano1, cabe encontrar libros de geometría en los que no hay ¡ni una figura!) Y en segundo lugar, para construir con su ayuda los lemas y las definiciones de algunos teoremas y corolarios -en cuya demostración no entraremos, por estar fuera de los objetivos de este libro-, los cuales vamos a tener que utilizar necesariamente si queremos exponer siquiera someramenete la teoría en la exposición de la Teoría de las Singularidades, de la cual la Teoría Elemental de las Catástrofes es la parte que se ocupa de la clasificación topológica de los sistemas de gradiente y sus diagramas de bifurcación. Este capítulo se escribe con el fin de exponer la teoría en sus elementos más abstractos y, en los siguientes, ésta se aplicará al estudio e interpretación del Lenguaje.
Los recorridos tradicionales para la comprensión del Lenguaje son de sobra conocidos. En breve esquema:
i) El estudio del lenguaje desde alguna lengua que se entienda como primigenia: el hebreo (creado por Dios e interpretado por el Talmud...), el griego (los analogistas del lenguaje como Platón o Aristóteles)...
ii) El estudio del lenguaje como siervo de la intuición (Descartes) o de las
representaciones psicológicas de nuestra mente (Locke).
iii) El estudio del lenguaje por relación a un lenguaje bien hecho (Leibniz, Condillac, Boole...) o a un lenguaje formalizado (Frege, Wittgenstein, Russell...).
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iv) El estudio del lenguaje como pragmática, como expresiones de muy diversas
formas de vida (Wittgenstein, Austin, Searle...).
v) A estos métodos añadiremos el semántico-topológico que estamos estudiando en este libro: el estudio del lenguaje entendido como un proceso morfogenético cuyos componentes son rupturas, bifurcaciones, despliegues, etc. (Thom, Petitot, Wildgen...).
Geometrización de la Termodinámica
La literatura científica de los últimos años ha desarrollado una nueva línea de investigación, la Teoría de los Sistemas Dinámicos, que se suma a las dos grandes aportaciones del siglo XX a la Física: la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Cuántica. La complejidad de los Sistemas Dinámicos Generales los había relegado a problemas difíciles o irresolubles debido a las limitaciones del investigador -subjetivas o técnicas- para hacerse con todas las variables, pues sólo podían ser dominados a través de estudios termodinámicos cuyos parámetros -temperatura, presión, etc.- son muy groseros por no tenerse en cuenta la estructura más fina de la topología de los
atractores del sistema. Es esta investigación, que comenzó a desarrollarse a partir de
Poincaré [Cap. 2], la que aclara la frase tan sorprendente de Thom: «Hay que
reemplazar la Termodinámica por la Geometría». Lo que en realidad pretende Thom es
Geometrizar la Termodinámica, eliminar de las consideraciones termodinámicas aquellos aspectos de carácter medible y estocástico, y caracterizar geométricamente los
atractores, su estabilidad o su inestabilidad. Nos iremos acercando poco a poco a esta
concepción.
Sistemas Expansivos y de Gradiente
En general, se puede hablar de dos grandes modelos en la teoría de los Sistemas Dinámicos: i) aquellos que han recibido el nombre de «Física del Caos» -o, con mejor tino, de «Sistemas Expansivos»-, y se caracterizan por la presencia de atractores dotados de una topología muy compleja, los llamados atractores extraños [Cf. infra]. Estos modelos, abiertos a grandes expectativas y resultados, estudian los sistemas en los que trayectorias que se inician en puntos muy cercanos se alejan de tal manera del
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punto-origen, que su previsión se hace imposible, aunque, paradójicamente, sean sistemas deterministas. Una causa muy pequeña puede producir un efecto muy grande. Se ha hecho ya tópico mencionar aquí el «efecto mariposa», debido al meteorólogo Lorenz: el aleteo de una mariposa en Brasil puede provocar un tornado en Texas.
ii) Hay, no obstante, otros modelos cuyos atractores están dotados de una topología simple: son puntos o mínimos de un potencial de gradiente más asequible a la investigación científica, que se conecta aquí con el pensamiento aristotélico cuando trataba de demostrar cómo de pequeñas alteraciones y en virtud de ciertos principios, pequeños en magnitud pero grandes en potencia, se pueden seguir incluso los contrarios, como el macho y la hembra.5 Dado que un potencial puede describirse mediante líneas de pendiente y variedades de nivel, se nos permite intuir el concepto de Estabilidad Estructural como la propiedad que caracteriza un sistema que tiende a un estado de minimización de la energía, al menos localmente. Un potencial con estas características se llama de gradiente y puede imaginarse como un conjunto de riachuelos que bajan por la colina hasta el valle, en donde desembocan a una laguna. De este tipo de sistemas se ocupa la Teoría Elemental de las Catástrofes, por lo que, desde este punto de vista, la Física del Caos o de los Sistemas Expansivos vendría a ser una Teoría de las Catástrofes Generalizada (TCC). Thom mismo distingue entre los modelos
estático para la TCE y metabólico para la TCG.
Atractores
Un atractor, topológicamente, es un cerrado, X-invariante e indescomponible, que atrapa o captura asintóticamente todas las trayectorias de su vecindad. O, dicho de otra manera, no es más que la solución de una función diferenciable (o un sistema de
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funciones diferenciables), en la cual todas las trayectorias convergen. A medida que transcurre el tiempo, las trayectorias pueden alcanzar un punto de equilibrio, o un ciclo (solución periódica), o una solución caótica {atractor extraño) [Fig. 4.1]. No es difícil imaginar, entonces, una situación en la que estos atractores entren en competición y provoquen conflictos entre sí: saltos bruscos o repentinos, bifurcaciones, transiciones
de fase... -en una palabra: catástrofes-, que afectan internamente al sistema. Estas
situaciones exigen la definición de Sistema Dinámico.
Sistemas Dinámicos (SSDD)
Un Sistema Dinámico puede analizarse a partir de los siguientes conceptos: i) Un proceso interno, X, en general ¡nobservable, se formula como un sistema dinámico de ecuaciones diferenciales sobre un espacio M o variedad compacta, provisto de una métrica riemanniana de parámetros internos (x1,...,xn) del SD, tal que: d(x-i)/dt =
f i (x1….xn), donde fes un parámetro temporal y fias funciones diferenciables. El espacio interno de un sistema cualquiera con suficiente complejidad es multi-dimensional, puesto que cada punto está determinado por n coordenadas. A cada punto x de M se le asocia un vector tangente (vector velocidad) X(x) de M en x, vector que varía
diferenciablemente con x. Dado un campo de vectores diferenciables sobre M, integrarlo consiste en hallar en M todas las curvas diferenciables parametreadas por el tiempo f.
Los estados internos X entran en competición (Heráclito) según una instancia de
selección I, que actúa de dos maneras diferentes: /1) Algunos sistemas permanecen en equilibrio «tanto como pueden», hasta el mismo momento en que desaparecen. El estado del sistema depende del estado anterior y podría decirse que recuerda de dónde procede, que tiene memoria. Es por esto por lo que se asocian a esta regla -que es denominada Regla de retardo- los fenómenos de Histéresis y conviene elegirla para las interpretaciones biológicas del SD.
I2) Otros sistemas se caracterizan porque evolucionan hacia el estado de más
baja energía -según el proceso de minimización energética de los sistemas de gradiente-, independientemente de si el potencial va de izquierda a derecha o viceversa. Es conve-
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niente usar esta regla -que se conoce con el nombre de Regla de Maxwell- en las interpretaciones físicas de los SSDD. En este caso no hay efecto de memoria; simplemente el atractor dominante deja de serlo y se puede decir que conoce la situación «globalmente» [Fig. 4.2].
ii) Este proceso está controlado por un cierto número de parámetros exteriores, el espacio de control Wque determina (aunque no unívocamente, porque el espacio M no es lineal) las variables internas y la localización de los mínimos. Así que el proceso Xdepende del valor wdel espacio de control Ww.
Las Dinámicas internas se rigen por el principio de la competición de estados y los cambios cualitativos que esta competición provocan en el comportamiento de un sistema se explicitan por medio del concepto de bifurcación, que se utiliza habitualmente en el estudio de la Dinámica No-Lineal para describir un cambio repentino en la conducta de cualquier sistema cuando varía algún parámetro. La Bifurcación descompone la conducta del sistema en dos regiones: una por encima y otra por debajo del valor del parámetro que toma, allá donde se produce el cambio. A estos sistemas se les llama no lineales porque, dicho abruptamente, el resultado es mucho más (o mucho menos) que la suma de sus partes; sus resultados son sorprendentes o complicados o caóticos. Un ejemplo muy sencillo lo aclara. Sea la ecuación f(x;w)=x3- wx. Para w≤0 tiene una solución; para w>0 posee tres soluciones. En la vecindad de
(0,0) un pequeño cambio de w hacia el eje positivo, digamos +0,0001 o hacia el negativo, digamos -0,0001, hace cambiar el sistema radicalmente.
iii) Un SD se definirá, ahora, como un campo continuo en donde se establece una aplicación entre el espacio de control externo y el espacio de control interno,
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s: W->X, que asocia a cada punto wde Wun punto Xw en el espacio M. Esto supone que al cambiar el valor de los parámetros w de W, cambia el estado interno X del
SD. Por ejemplo:
SD = Sistema termodinámico considerado: agua calentándose en una cacerola.
X= Las fases termodinámicas: gas, líquido, sólido.
l= Principio de minimización de la energía libre de Gibbs.
W= Presión, temperatura...
Cuando en estos sistemas los parámetros de control alcanzan ciertos valores, aparecen discontinuidades. Estos valores se denominan críticos y producen saltos bruscos o transformaciones rápidas, las llamadas catástrofes, lo que da una idea de la mala elección de la palabra «catástrofe». Los saltos catastróficos, en efecto, no tienen por qué ser destructivos, como sugiere el término en cuestión en su sentido ordinario,7 sino que pueden ser constructivos, creativos o, si queremos, indiferentes a todo valor, como las transiciones de fases que se producen en los Sistemas Dinámicos. Estos saltos, cambios, rupturas, etc. tienen como consecuencia final la transformación fenomenológica del sistema: el sistema aparece, se manifiesta de otra manera; sus con-
tornos y siluetas cambian, etc., etc.
Es necesario entender, por tanto, cómo algunos sistemas que interiormente son caóticos -por el gran número de partículas que contienen- pueden ser exteriormente estables y ordenados; cómo de lo indescriptible emerge lo descriptible; cómo es posible la relativa simplicidad de las morfologías observables a partir de la complejidad de los estados complejos inobservables.