2.4. El método de Newton amortiguado para polinomios cuárticos
2.4.1. El método de Newton amortiguado aplicado a f (x) = x 4
x
4El primer caso de estudio de polinomios de grado 4, se corresponde con f (x) = x4. Este polinomio tiene una única raíz múltiple y el método de Newton amortiguado aplicado a f (x) para λ 6= 4 (para λ = 4 la función de iteración es la función nula y la iteración de cada punto converge al punto fijo en el primer paso) tiene la siguiente forma
Nλ,f(x) = 1
4(4 − λ)x,
que es una contracción lineal para todo valor de λ ∈ (0, 8), y, por lo tanto, para valores de λ en ese intervalo las iteraciones de cada punto convergen a la raíz x = 0. Si λ = 8, la función de iteración N8,f(x) es el opuesto de la identidad y,
por lo tanto, la iteración de cada punto x0 distinto a la raíz se convierte en un
2-ciclo de la forma {x0, −x0}. Por último, para valores negativos del parámetro
o mayores que 8, el método se convierte en una expansión lineal y las iteraciones de cada punto distinto de x0 = 0 divergen hacia infinito en valor absoluto.
2.4.2.
El método de Newton amortiguado aplicado a f (x) =
x
4− 1
Como segundo caso de estudio, hemos escogido el polinomio f (x) = x4− 1,
que tiene dos raíces reales y dos complejas conjugadas, en concreto las reales son x = 1 y x = −1. El método de Newton amortiguado aplicado a este polinomio tiene la forma
Nλ,f(x) =
(4 − λ)x4+ λ
4x3 .
Esta función de iteración, tiene una asíntota en x = 0. Si ahora calculamos la derivada, obtenemos
Nλ,f0 (x) = (4 − λ)x
4 − 3λ
y, por lo tanto, los puntos críticos serán las soluciones de (4 − λ)x4 − 3λ = 0,
es decir, las soluciones de x4 = 3λ
4−λ, que sólo existen si λ ∈ [0, 4). Es claro que,
para λ ∈ (0, 4), existen dos puntos críticos que son C1 = −4
q 3λ 4−λ y C2 = 4 q 3λ 4−λ.
La curva que se observa en la Figura 2.82 representa estos puntos críticos.
Figura 2.82: Gráfico de los puntos críticos que se obtienen al aplicar el método de Newton amortiguado a f (x) = x4 − 1. En azul aparece C
1 y en magenta C2.
El siguiente resultado simplificará de manera significativa el estudio.
Proposición 2.27 La función de iteración del método de Newton amortiguado aplicado al polinomio f (x) = x4− 1, N
λ,f+(x), tiene simetría impar.
Demostración Observando que Nλ,f(−x) = (λ − 4)x4− λ 4x3 es lo mismo que −Nλ,f(x) = (λ − 4)x4− λ 4x3 ,
se puede concluir que la función Nλ,f(x) tiene simetría impar, como queríamos demostrar.
Por lo tanto, sólo es necesario estudiar uno de los dos casos. Por simplicidad estudiaremos el caso x0 > 0.
De los estudios numéricos realizados se extraen las siguientes conclusiones sobre el comportamiento dinámico del método de Newton amortiguado aplicado al polinomio f (x) = x4− 1. Notemos que, de nuevo, los valores son aproximados.
Si λ < 0, las iteraciones pueden diverger hacia infinito en valor absoluto.
Si λ = 0, el estudio carece de interés.
Si λ ∈ (0, 2), los puntos fijos son atractores.
Si λ = 2, los puntos fijos son indiferentes.
Si λ ∈ (2, 2.80195), los puntos fijos son repulsores, y la función de iteración puede presentar n-ciclos atractores.
Si λ ∈ (2.80195, 3.40428), los puntos fijos son repulsores, y puede aparecer comportamiento caótico.
Si λ ∈ (3.40428, 3.62463), los puntos fijos son repulsores, y la función de iteración puede presentar n-ciclos atractores.
Si λ ∈ (3.62463, 8), los puntos fijos son repulsores, y puede aparecer com- portamiento caótico.
Si λ ≥ 8, las iteraciones pueden diverger hacia infinito en valor absoluto.
Este comportamiento se puede ver ilustrado en los gráficos de los exponentes de Lyapunov y diagramas de Feigenbaum que se observan en las Figuras 2.83, 2.84 y 2.85.
2.4.3.
El método de Newton amortiguado aplicado a f (x) =
(x
2− 1)(x
2− 4)
El siguiente caso de estudio es el de un polinomio con 4 raíces diferentes, de los estudios numéricos realizados y apoyándonos en los estudios de diferentes autores (véase, por ejemplo [18], [19], [82] o [120]) se concluye que para el caso del método de Newton (λ = 1) el conjunto de Julia es un conjunto de Cantor. Por lo tanto, para este caso particular, la dinámica va a ser muy complicada. Aún así, como en los polinomios de grado 4 considerados anteriormente, vamos a proceder con un primer análisis de la dinámica.
Figura 2.83: Exponentes de Lyapunov asociados a la función de iteración Nλ,f(x) = (4−λ)x
4+λ
4x3 , tomando x0 = 5, para valores de λ ∈ (−1, 9).
λ ∈ (−10, 0) λ ∈ (0, 4) λ ∈ (4, 12)
Figura 2.84: Zoom de los exponentes de Lyapunov asociados a la función de iteración Nλ,f(x) = (4−λ)x
4+λ
4x3 , tomando en la parte izquierda x0 = 2, en la parte
central x0 = C1 y en la parte derecha x0 = 5, para distintos valores de λ en cada
una de las regiones importantes.
λ ∈ (1.5, 4) λ ∈ (3.9, 8.1)
Figura 2.85: Diagramas de Feigenbaum asociados a la función de iteración Nλ,f(x) = (4−λ)x
4+λ
4x3 , tomando x0 = 5, para distintos valores de λ, donde se ob-
serva la aparición de ciclos y caos. Notemos que existe un intervalo que incluye a 3.5 en el que aparece una ventana donde se encuentran además 3-ciclos.
Figura 2.86: Valores que toman los puntos críticos del método de Newton amor- tiguado aplicado al polinomio f (x) = (x2− 1)(x2− 4) para valores del parámetro
λ ∈ [0, 4].
Nλ,f(x) =
(4 − λ)x4+ (5λ − 10)x2− 4λ
2x (−5 + 2x2) . (2.4.1)
Si ahora calculamos la derivada obtenemos
Nλ,f0 (x) = (8 − 2λ)x
6+ (5λ − 40)x4+ (50 − λ)x2− 20λ
2x2(−5 + 2x2)2 ,
se tiene que el multiplicador asociado a las raíces es µ = 1 − λ y, por lo tanto, para valores del parámetro en el intervalo (0, 2) se tiene que los puntos fijos son atractores, salvo para λ = 1, que son superatractores. En la Figura 2.86 pueden verse los puntos críticos para los distintos valores del parámetro.
De la Figura 2.86 se extrae que:
Si λ ∈ (−∞, 0), Nλ,f(x) no tiene puntos críticos.
Si λ ∈ (0, 1.00704), Nλ,f(x) tiene seis puntos críticos.
si λ = 1.00704, Nλ,f(x) tiene cuatro puntos críticos reales.
Si λ ∈ [4, ∞), Nλ,f(x) no tiene puntos críticos.
Como en casos anteriores, el siguiente resultado nos permitirá sólo estudiar las iteraciones de puntos iniciales positivos o negativos. En nuestro caso elegiremos los puntos iniciales positivos.
Proposición 2.28 La función de iteración del método de Newton amortiguado aplicado al polinomio f (x) = (x2− 1)(x2− 4), N
λ,f(x), tiene simetría impar.
Demostración Teniendo en cuenta que
Nλ,f(−x) = 10x2− 4x4+ 4λ − 5x2λ + x4λ 2x (−5 + 2x2) , y como −Nλ,f(x) = 10x2− 4x4+ 4λ − 5x2λ + x4λ 2x (−5 + 2x2) .
Se concluye que existe simetría impar.
Guiándonos por los estudios numéricos realizados, y teniendo en cuenta que, para valores aproximados se han elegido 5 cifras decimales y se deja el inter- valo abierto, el comportamiento dinámico del método de Newton amortiguado aplicado al polinomio f (x) = (x2− 1)(x2− 4) es el siguiente:
Si λ < 0, los puntos fijos son repulsores, y las iteraciones pueden diverger hacia infinito en valor absoluto.
Si λ = 0, el estudio carece de interés.
Si λ ∈ (0, 2), los puntos fijos son atractores.
Si λ = 2, los puntos fijos son indiferentes.
Si λ ∈ (2, 2.48878), los puntos fijos son repulsores, y la función de iteración puede presentar n-ciclos atractores.
Si λ ∈ (2.48878, 8), los puntos fijos son repulsores, y puede aparecer com- portamiento caótico.
Si λ ≥ 8, las iteraciones pueden diverger hacia infinito en valor absoluto.
Vemos este comportamiento ilustrado por los gráficos de los exponentes de Lya- punov y diagramas de Feigenbaum que se observan en las Figuras 2.87 y 2.88.
λ ∈ (−10, 0) λ ∈ (0, 8) λ ∈ (8, 12)
Figura 2.87: Exponentes de Lyapunov asociados a Nλ,f(x) definida en (2.4.1), tomando en la parte izquierda x0 = 2, en la parte central x0 = 5 y en la parte
derecha x0 = 5, para distintos valores de λ.
Figura 2.88: Diagrama de Feigenbaum asociado a Nλ,f(x) definida en (2.4.1), tomando x0 = 5, para valores de λ ∈ (1.5, 8.1).