5. El m´ etodo de los operadores lineales en espacios de Hilbert
5.3. El modelo de Kopachevsky
Para finalizar, se mostrar´a en esta secci´on un hecho bastante notable, a saber, que el modelo aqu´ı obtenido generaliza de cierta forma y contiene a su vez, al modelo de Kopachevsky, el cual valga la pena decir, sirvi´o de br´ujula en este proceso.
En este orden de ideas, se describir´a muy brevemente dicho modelo, estableciendo ´
unicamente las ideas en las que se basa, para luego evidenciar, compar´andolo con el que aqu´ı se ha obtenido, el hecho de que el nuestro generaliza a aquel.
La idea de Kopachevsky en su art´ıculo de 1966, (Kopachevsky, 1966), publicado en elJournal of fluid dynamics, siguiendo un camino similar al expuesto en las secciones 4.1, 4.2 y 5.2 precedentes; fue la de estudiar las oscilaciones normales de un fluido ideal e incompresible, contenido en un recipiente de superficie Σ, considerando igualmente el efecto de la tensi´on superficial y el de un campo de fuerzas conservativo.
Siguiendo estas ideas, procedi´o a establecer las condiciones din´amicas y la condici´on cinem´atica que prevalecen en la interfaz l´ıquido-gas, obteniendo las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.13). Luego, contin´ua formulando la condici´on de conservaci´on del volumen de fluido durante las oscilaciones, expresada en virtud de la ecuaci´on R
S
a partir de lo cual define el espacio de Hilbert, designado por H, de las funciones ortogonales en L2(S) a 1, esto es, H := {u ∈ L2(S) : (u,1)L2
(S) = (1, u)L2(S) =
R S
u d2r0 = 0}.
Usando la teor´ıa de los espacios de Sobolev, establece la f´ormula de representaci´on (5.1) y con ella introduce el operador A, con dominio el espaciob H; estudiando luego algunas de sus propiedades. A partir del trabajo deTyupsov, introduce as´ı mismo el operadorB, estudiando luego algunas de sus propiedades, de forma parecida a comob se hizo aqu´ı. Con la ayuda de las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.13), y aprovechando estos operadores, arriba en esta empresa a la ecuaci´on:
b A ∂
2N
∂t2 +BNb = 0 (5.16)
Ecuaci´on que resulta similar a la de un oscilador arm´onico simple. Ahora bien, si se compara con la ecuaci´on (5.14), salta a la vista el hecho de que en el l´ımite en el que el fluido se considera inviscido, esto es cuando ν→ 0, en la ecuaci´on mencionada, se obtiene (5.16). As´ı pues, en este sentido es que se afirma que el modelo de Kopachevsky est´a contenido en el nuestro.
M´as a´un, Kopachevsy propone una soluci´on a (5.16), de la forma N(ξ1, ξ2, t) =
exp(iωt)u(ξ1, ξ2), por lo que esta ecuaci´on se transforma en:
(−ω2Aub +Bu) exp(iωt) = 0b
O de otra forma:
b
Au=Bωb −2u
Como se demostr´o en el teorema 5.1.3, el inverso del operadorB, esto esb Bb−1, existe
y es acotado, por lo que pre-multiplicando a ambos lados de la anterior igualdad por este operador, se tiene que:
b
B−1Aub =Bb−1Bωb −2u=ω−2u
Dado que, como demuestra Mikhlin (Mikhlin, 1952), el operador Bb−1 es adem´as
compacto y, puesto que el producto de un operador compacto con uno acotado en un espacio de Hilbert; tales como Bb−1 y Abrespectivamente, es a su vez un operador
compacto y acotado, se sigue entonces que el operadorCb :=Bb−1Ab goza tambi´en de
Adem´as de lo anterior, el operador Cb es autoadjunto. En efecto, por definici´on se tiene que:
(Cu, v)b Bb = (BbBb−1Au, v)Lb 2(S) = (Au, v)Lb 2(S) = (u,Av)Lb 2(S)= (u,BbBb−1Av)Lb 2(S) = (u,BbCv)Lb 2(S)= (u,Cv)b b
B
En consecuencia, Cb es auto-adjunto.
As´ı pues, Kopachevsky reduce el problema de las oscilaciones normales de un fluido ideal e incompresible, a un problema de autovalores y autofunciones sobre un espacio de Hilbert; de la forma:
b
Cap´ıtulo 6
Conclusiones
Del trabajo realizado, es posible concluir varios aspectos importantes, entre ellos: Los c´alculos conducentes a determinar las condiciones din´amicas que prevale- cen en la superficie de separaci´on entre dos fluidos, fueron realizados con todo rigor, partiendo de los fundamentos te´oricos de la mec´anica del medio continuo; culminando con las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14).
Se considera por un lado que este hecho representa una contribuci´on a la soluci´on de problemas de frontera libre en mec´anica de fluidos (Friedman, 1982), toda vez que la especificaci´on de semejantes condiciones es uno de los ejes centrales de los modelos te´oricos relacionados con fen´omenos ondulatorios en fluidos (Johnson, 1997).
Por otro lado, tal especificidad en el desarrollo de dichas ecuaciones, permiti´o resolver la controversia mencionada en la introducci´on, acerca de las condiciones que describen de manera correcta el balance normal y tangencial de esfuerzos en la interfaz de un l´ıquido que desciende sobre una pared por efecto de la gravedad. En efecto, el marco general que condujo a las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14), en particular muestra que las ecuaciones (A.4) y (A.5) del ap´endice A, son las correctas, y no las que propone Shkadov en su art´ıculo (Shkadov, 1967), dando con ello la raz´on a Penev et al. (Penev et al., 1972), resolviendo la controversia en su favor.
Por esta misma raz´on, puede decirse que otro de los aportes hechos en este trabajo, es el de ofrecer una correcci´on al modelo de ondas no lineales propuesto por Shkadov y Kapitza, lo cual es realizado en el ap´endice A, donde se comparan las ecuaciones aqu´ı obtenidas con las de dichos autores, particularmente en lo que respecta a las ecuaciones (A.4) y (A.5) antes mencionadas, as´ı como a la ecuaci´on (A.18).
Dada la necesidad de linealizar las ecuaciones de Navier-Stokes para posibilitar el uso del aparato matem´atico del an´alisis funcional lineal al problema aqu´ı abordado, se destaca como otro m´erito alcanzado en la presente monograf´ıa, el hecho de haber construido una escala apropiada al problema, ganando con ello una imagen m´as intuitiva del fen´omeno f´ısico de las ondas en un fluido viscoso, sometido a la acci´on de la tensi´on superficial y de un campo de fuerzas conservativo.
En particular, se obtuvo el r´egimen bajo el cual es v´alida dicha linealizaci´on, concluyendo que este viene determinado por un par de par´ametros adimensio- nales, el n´umero de Reynolds Re, y el n´umero de Weber W e, definidos en la secci´on 2.0.1. All´ı se determin´o que el orden de magnitud de estos par´ametros debe ser Re =O(ε) y W e = O(ε−4), respectivamente, siendo a su vez ε << 1
un par´ametro de orden que puede definirse como el cociente entre el espesor medio de la capa de fluido y alguna longitud relevante al problema, por ejemplo la longitud de las ondas o su amplitud.
Esto ´ultimo se traduce, como se indica en la secci´on 2.0.2 y en contraste con el modelo del ap´endice A, en que Re << 1, lo cual significa que los efectos viscosos son dominantes frente a los t´erminos inerciales (no lineales) en las ecuaciones de Navier-Stokes, y as´ı el modelo podr´ıa describir una variedad de circunstancias, entre ellas, una din´amica ondulatoria en la que el medio posee una baja velocidad, se encuentra sometido a una alta tensi´on superficial, dado que de la anterior condici´on se desprende tambi´en que W e >> Re >> 1; as´ı como un movimiento de la superficie libre del l´ıquido con peque˜nas oscilaciones de dicha superficie, respecto al nivel de referencia.
Puesto que uno de los objetivos de la monograf´ıa, era el de hacer uso y apropia- ci´on de algunos elementos de la teor´ıa de los espacios de Sobolev, y en general del an´alisis funcional, como estrategia metodol´ogica que condujera a obtener una formulaci´on alternativa del problema de la propagaci´on de ondas en la superficie de un fluido viscoso; puede decirse que este fue logrado con ´exito.
Concretamente, esta afirmaci´on encuentra sustento en las demostraciones ori- ginales que se ofrecieron a varios teoremas cruciales a lo largo del escrito, entre ellos: el teorema de las trazas 3.1.2, el teorema de representaci´on de Riesz 3.2.1, el teorema de descomposici´on de Helmholtz-Weyl 3.3.3 y la demostraci´on de la compacidad del operador linealGb que da la soluci´on, en el espacio de Sobolev
H1(Ω), a la ecuaci´on de Laplace con condici´on de frontera de tipo Neumann y
que se expone en el ap´endice B.
Esto entra˜na un m´erito adicional, logrado durante el desarrollo del presente trabajo, toda vez que los elementos necesarios para realizar dichas demostracio- nes, y en general los elementos introducidos a lo largo del cap´ıtulo 3, exceden en grado sumo a los conocimientos adquiridos en el proceso de formaci´on del licenciado en f´ısica de la Universidad Distrital F. J. C.
Se dio cumplimiento al objetivo principal trazado para esta monograf´ıa, el de obtener una formulaci´on te´orica alternativa del problema del movimiento ondu- latorio en una capa de fluido viscoso, sujeto a los efectos de la tensi´on superficial; hall´andose el sistema en el seno de un campo de fuerzas conservativo.
Cabe enfatizar, en relaci´on con los otros objetivos alcanzados, que para el mode- lo aqu´ı obtenido fueron establecidas las circunstancias y condiciones de validez del mismo, mostrando claramente en que casos podr´ıa aplicarse, esto es, para peque˜nos desplazamientos de la superficie libre del l´ıquido, cuando el medio posee una baja velocidad, y est´a sometido a una alta tensi´on superficial. De igual manera, el problema fue formulado mostrando que el mismo se reduce a una ecuaci´on de operadores lineales sobre espacios de Hilbert, concretamente la ecuaci´on (5.15), la cual exhibe la forma de una ecuaci´on de ondas con un t´ermino de amortiguamiento que responde, como se indic´o al final de la secci´on 5.2., a los efectos disipativos asociados con la viscosidad del fluido.
Para los operadores linealesAby Eb de la ecuaci´on (5.15), se dio la construcci´on detallada de los espacios de Hilbert sobre los cuales estos act´uan, mostrando su relaci´on con el aparato matem´atico desarrollado en el cap´ıtulo 3.
M´as importante a´un, se estableci´o el contenido f´ısico presente en la definici´on de dichos operadores, mostrando en particular a trav´es de la proposici´on 5.1.1 y de la discusi´on que precede a la definici´on 5.1.1, que el operador lineal Ab est´a asociado con la energ´ıa cin´etica del fluido y que a su vez, el operador lineal Bb guarda una estrecha relaci´on con la energ´ıa potencial del l´ıquido; lo cual refleja reminiscencias de ciertos operadores lineales usados en mec´anica cu´antica (De La Pe˜na, 2014).
En condiciones de muy baja viscosidad, como se discuti´o al final de la secci´on 5.2, es importante resaltar que la estabilidad del sistema estudiado en este trabajo, podr´ıa investigarse a partir de un problema de autovalores para el operador B,b
expresado en virtud de la ecuaci´on Bψb = ˜µψ, en donde los posibles valores de ˜µ representan a los autovalores de Bb. La cota inferior m´axima del conjunto de tales autovalores, corresponder´ıa al m´ınimo valor de la energ´ıa potencial del fluido respecto a su configuraci´on de equilibrio. Esto significa, de acuerdo al principio de estabilidad de los sistemas mec´anicos, que el fluido estar´ıa en una situaci´on de equilibrio estable.
Dentro de las perspectivas enmarcadas por los posteriores desarrollos y exten- siones que pudieran hacerse al presente trabajo, se destaca la eventualidad de describir otras posibles fenomenolog´ıas relacionadas con procesos an´omalos pre- sentes en la propagaci´on de ondas en medios complejos.
La raz´on de ello es que, como se ha descubierto hace algunos a˜nos, la propagaci´on de ondas ac´usticas en medios complejos, com´unmente se encuentra acompa˜nada de fen´omenos de atenuaci´on que responden a una ley potencial de frecuencias (N¨asholm y Holm, 2013). Una alternativa para modelar estos fen´omenos ha sido la de emplear operadores lineales pseudodiferenciales que comprometen otro tipo de derivadas conocidas como derivadas fraccionarias, ver por ejemplo las referencias (Holm y N¨asholm, 2011) y (N¨asholm y Holm, 2011).
As´ı pues, las derivadas d´ebiles y los espacios de Sobolev introducidos en el cap´ıtulo 3, y que fueron utilizados para definir el dominio de los operadores li- nealesAbyB, quiz´as permitan modelar fen´omenos similares a estos. Inclusive, yb para no ir tan lejos, podr´ıa emplearse el modelo aqu´ı obtenido para buscar solu- ciones, con un grado menor de regularidad, al problema definido por la ecuaci´on (5.15). Otra posibilidad ser´ıa la de considerar el mismo problema pero definido sobre un dominio irregular del espacio Ω, cuya frontera no sea regular, es decir, una frontera que ya no sea posible ser descrita localmente por la gr´afica de una funci´on continuamente diferenciable, sino por una funci´on Lipschitz continua, en los t´erminos de la definici´on 3.1.8 del cap´ıtulo 3 (Ding, 1996).
Finalmente, se destaca como un hecho notable la observaci´on hecha en la sec- ci´on 5.3, de que el modelo construido en esta monograf´ıa contiene como caso particular al modelo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966), el cual describe las peque˜nas oscilaciones de un l´ıquido ideal e incompresible, considerando los efec- tos de la tensi´on superficial; cuando la viscocidadν se hace nula en la ecuaci´on (5.14).