En este epígrafe se expondrán algunas variantes del problema de las rutas de vehículos, así como una breve descripción de los métodos de solución que se emplean para resolverlo.
El problema de las rutas de vehículos, también conocido por sus siglas en inglés como VRP, «Vehicle Routing Problem», consiste en planificar un conjunto de rutas o recorridos para un parque dado de medios de transporte, de forma tal que cumpliéndose una serie de restricciones
22 Marco teórico
se pueda minimizar el costo, la distancia o el tiempo invertido en dichos recorridos. El problema fue planteado por primera vez en un artículo elaborado por Dantzig y Ramser en 1959 titulado «The Truck Dispatching Problem». En aquella ocasión la esencia del problema consistía en lo siguiente: determinar un conjunto de rutas para una flota de camiones que partían de una terminal y se dirigían a un cierto número de estaciones de servicio a despachar la gasolina suministrada por la terminal. Desde ese momento y hasta la fecha los problemas de rutas han despertado el interés de numerosos investigadores, a tal punto que sus aplicaciones abarcan una larga y variada lista de problemas específicos.Brito Santana(2013, pp. 23-24) describe el problema general de las rutas de vehículo de la siguiente manera:
El VRP es un problema que puede ser formulado matemáticamente a partir de un gra- fo G(V,A). El problema considera un conjunto de vérticesV ={v0,v1, . . . ,vn}, don-
de v0 representa el depósito o almacén, mientras que vi (i=1, . . . ,n) representa a
cada uno de los n clientes o nodos a ser visitados. El conjunto de arcos está dado porA= vi,vj
: vi,vj∈V; i̸= j . Por su parteC=
ci j es una matriz de distan-
cias o costos no negativos entre cada par de vértices vi y vj incluyendo el depósito
y los clientes. Cuando ci j =cji para cada vi,vj
∈A el problema se dice que es si- métrico y entonces es común reemplazar el conjunto A de vértices por el conjunto E = vi,vj
: vi,vj∈V; i< j . El vectord representa las demandas de los clientes,
donde di es la cantidad de bienes requeridos por el cliente vi. El número de vehícu-
los viene dado por m y se asume que todos son idénticos, con una capacidad Q por vehículo. A cada vehículoise le asignará una rutaRi. El VRP consiste en determinar el
conjunto demrutas de vehículos que minimice el coste total, empezando y finalizando en el depósito, tal que cada vértice es visitado exactamente una vez por un vehículo [ver figura1.2].
En el párrafo anterior se ha descrito el modelo clásico de VRP o también conocido como problema de rutas de vehículos con capacidad limitada, pero ello no quiere decir que este sea el único tipo de problema VRP . Existe un gran número de variantes; por ejemplo, en la actualidad es muy conocido el Problema de Rutas de Vehículos con Ventanas de Tiempo (Vehicle Routing Problem with Time Windows, VRPTW), el cual se diferencia del VRP clásico por «incluir ven- tanas de tiempo para realizar las entregas, estos son periodos durante los cuales se puede realizar la entrega a los clientes»(Brito Santana,2013, p.26) . Otras variantes del problema VRP consti- tuyen: VRP con flotas mixtas o heterogéneas, en el que los vehículos tienen distintas capacidades o capacidades heterogéneas; VRP con múltiples depósitos; VRP periódico, en el cual el periodo de planificación de rutas se puede extender a varios días. Una revisión de estas y otras variantes
Figura 1.2: Solución de un problema de rutas de vehículos con capacidad limitada
de VRP se puede encontrar enBrito Santana(2013, pp.29-33) y enToth & Vigo(2014, pp.1-33).
Métodos de solución
Como mismo existen muchas variantes del problema VRP, existen también varios métodos de solución para cada tipo de problema en particular. Hasta la actualidad la mayoría de dichos métodos se dividen en algoritmos exactos y aproximados. Como los problemas VRP son proble- mas de tipoNP-hard, o sea, de alta dificultad computacional, los métodos exactos no son muy empleados para resolverlos, aunque pueden proporcionar soluciones óptimas siempre que se tra- te de un problema que no posea un gran número de nodos. Algunos de estos métodos son Branch and Bound y Branch and Cut.
Estudios recientes de los métodos aproximados para la solución de problemas VRP han per- mitido clasificarlos en heurísticos clásicos y metaheurísticos . Y los primeros, a su vez, en heu- rísticos constructivos, de dos fases o de mejora. Ello se puede corroborar enToth & Vigo(2014);
Benito Quintanilla (2015) y Fernández Hernández (2016). La palabra heurística proviene del griego,heurisken, que significa hallar, descubrir, y con este sentido se puede inferir que la esen- cia de estos métodos consiste en diseñar estrategias «inteligentes» de búsqueda de solución al problema. Aunque la solución obtenida por estos métodos no siempre es la óptima, sí satisface en gran medida a quien desea resolver el problema, pues como ya se ha planteado una buena parte de los problemas reales de VRP, especialmente aquellos que involucran un número significativo
24 Marco teórico
de nodos, es prácticamente imposible de resolver por los métodos exactos. Benito Quintanilla
(2015) realiza una comparación de algunos de estos métodos con los exactos y llega a la con- clusión de que los métodos heurísticos proporcionan soluciones buenas en tiempo de ejecución menor que los exactos. Aclarar que esta comparación se pudo realizar con una biblioteca de pro- blemas que en su mayoría ceden a la solución mediante métodos exactos en tiempo inferior a 200 segundos.
Las heurísticas clásicas se ajustan a la mayor parte de los métodos de solución del problema VRP surgidos entre los años 1960 y 1990. En el caso de los métodos heurísticos constructivos la solución se halla de forma gradual incorporando en cada iteración el elemento con mayor valor para un criterio establecido. El algoritmo de ahorros o de Clarke & Wright, el cual se describe detalladamente en el epígrafe2.2, pertenece a esta categoría. Los métodos heurísticos en dos fases descomponen el problema en dos componentes naturales, agrupando los vértices en rutas posibles y rutas actuales con posible retroalimentación de ambos campos. Y los métodos de mejora intentan mejorar la calidad de cada solución posible intercambiando la secuencia de vértices dentro o fuera de las rutas.
En las últimas décadas, las investigaciones sobre VRP han abogado por el desarrollo de algo- ritmos aproximados basados en metaheurísticas. En sus inicios, por la década de 1970, la esencia de dichos métodos consistía en combinar las técnicas heurísticas para agilizar la búsqueda de la solución. A decir deBrito Santana(2013, p.36) las metaheurísticas son «procedimientos ge- néricos que exploran el espacio de soluciones posibles de forma inteligente, es decir intentan especializar la búsqueda de buenas soluciones en zonas prometedoras del espacio de soluciones y descartar aquellas en las que es menos probable que se encuentren».
Con relación a las perspectivas actuales de las investigaciones sobre VRP ,Brito Santana
(2013, p. 37) plantea que:
Se concentran en la necesidad de responder a modelos más ricos, generales y flexibles, la búsqueda de métodos robustos que permitan dar una respuesta eficiente y realista a problemas de mayor tamaño y, sobre todo, a la toma de decisiones en tiempo real, así como con la finalidad de obtener mejores resultados, combinar diversos métodos y técnicas, incluyendo híbridos de métodos exactos y aproximados.
VRP difuso
Como se ha dicho las actuales investigaciones acerca de VRP se centran en resolver proble- mas cuyos modelos se ajusten mejor a la realidad, es por ello, que el VRP difuso o Fuzzy VRP constituye otra variante del VRP con necesidad de ser estudiada. La diferencia fundamental de
esta variante con respecto a la clásica consiste en el rango de imprecisión de los datos del pro- blema, lo cual obliga a modelarlos como conjuntos difusos.Brito et al.(2009, p.1549) expresa que la mayoría de los trabajos relacionados con VRP difuso eligen como condiciones difusas las demandas de los nodos y los tiempos de viaje o de servicio.
Brito Santana considera que el primer problema de VRP difuso en las demandas de los nodos fue tratado por Teodorovic y Kikuchi (1991, citado enBrito Santana,2013, p. 78). En dicho pro- blema, se considera, aparte de las demandas difusas, el tiempo de viaje y los costos de transporte entre dos nodos de la red como números difusos. La esencia de este grupo de problemas consiste en el transporte de mercancías a un cierto grupo de clientes, los que no pueden fijar con precisión sus demandas debido a que dicha cantidad no es un valor constante.
Brito Santana (2013, pp. 78-79) caracteriza al problema VRP difuso en los tiempos por la dificultad que se tiene muchas veces de «precisar los tiempos en circunstancias reales donde el estado de las carreteras o la congestión del tráfico lo impide». En este caso, la mayoría de las técnicas de solución analizadas por Brito Santana (2013, p. 79) se basan en el empleo de metaheurísticas por el hecho de abundar muchas restricciones difusas.
EnBrito Santana(2013, pp. 78-79) yBrito et al.(2009, p. 1550) se realiza un detallado aná- lisis, siguiendo una secuencia histórica, de los principales métodos de solución relacionados con ambos tipos de problemas difusos fundamentales. En el próximo capítulo se realiza un estudio del VRP difuso que dirige esta investigación.
Conclusiones parciales
En este capítulo se han planteado los principales conceptos y antecedentes relacionados con la presente investigación, centrándose en tres núcleos temáticos fundamentales: la teoría de con- juntos difusos, la programación lineal difusa y los problemas de rutas de vehículos. En lo que respecta a la teoría de conjuntos difusos, se han enunciado la definición de tales conjuntos, las diferentes formas de representarlos, sus analogías con la teoría de conjuntos clásicos, y, por su utilidad en los problemas de programación lineal difusos, se enuncian también el Teorema de Representación y una definición de números difusos.
En el epígrafe 1.2 se presentaron dos ejemplos en los que se modelan las restricciones y la función objetivo de problemas de programación lineal continuos a través de conjuntos difusos, ante la imposibilidad de emplear para ello los modelos clásico-deterministas. Luego, se presenta la clasificación de los problemas de programación lineal difusos y se ilustran dos criterios pa- ra la resolución de aquellos problemas que posean parámetros borrosos en las restricciones del
26 Marco teórico
problema: el criterio de Verdegay y el criterio de Werners. A través de uno de los ejemplos del epígrafe1.2, se logran distinguir las diferencias entre ambos criterios y concluir que la determi- nación del criterio más adecuado para resolver el problema depende en gran medida del tipo de solución que se exija y del contexto que origina el problema.
En el último epígrafe del capítulo se presentó un estado del arte del problema de las rutas de vehículos, evidenciándose la inmensidad de los estudios de este problema por las amplias aplicaciones prácticas que posee. Siguiendo la evolución histórica de los estudios del VRP, se han enunciado: la formulación general del problema clásico, las variantes más conocidas del problema, los principales métodos de solución y las tendencias actuales de su desarrollo. Se ha insistido en la idea de que el desarrollo futuro de los problemas de rutas de vehículos exige de modelos y métodos de solución más flexibles y próximos a la realidad, por ello, se culmina el capítulo haciendo alusión a las investigaciones relacionadas con los problemas de rutas de vehículos difusos, objeto de estudio de la presente investigación.
Problema de rutas de vehículos con
restricciones difusas
En este capítulo se realiza un estudio pormenorizado del problema de rutas de vehículos en cuestión. Se inicia describiendo dicho problema y formulándolo matemáticamente. Luego, en el epígrafe2.2 se describe el método de solución escogido para resolver tal problema e ilustrar su aplicación en el epígrafe 2.3 con un ejemplo. Por último, en el epígrafe 2.4 se explicará la implementación computacional del método propuesto.
2.1.
Modelación matemática del problema
En este epígrafe se describe el tipo de problema de rutas de vehículos difuso que se trata en esta investigación para luego plantear un modelo matemático adecuado a dicho problema.
Elproblemade las rutas de vehículos a tratar en la presente investigación consiste en plani- ficar las rutas de ómnibus más convenientes para transportar a los trabajadores de una empresa hacia su centro de trabajo, fijándose con antelación los puntos de recogida (paradas). Se supon- drán, además, las siguientes condiciones: a) a cada ómnibus de la empresa se le asocia una única ruta, b) cada parada de trabajadores es visitada una única vez por un ómnibus, y c) todas las rutas inician y finalizan en el centro de trabajo. La función objetivo se diseñará de forma tal que se obtenga una distribución de rutas que minimice la suma de las distancias recorridas por cada vehículo.
28 Problema de rutas de vehículos con restricciones difusas
ha de partir de un grafo dirigido y completo1G= (V,A), cuyos vértices sonx0,x1, . . . ,xn, donde x0 representa el centro de trabajo y lasxj, j=1,2. . . ,n,identifican lasn paradas. A cada arco xi,xj∈A se le asocia un número real ci j ≥0, el cual representa la distancia del camino de valor mínimo dexiaxj; mientras que a cada vérticexjestá vinculado el número real dj, el cual representa la cantidad máxima de personas que deben estar esperando en la parada. El objetivo del problema consiste en determinar el conjunto de rutas que minimice la suma de los ci j en dependencia de los arcos empleados para cubrir todas las rutas. Se denomina ruta de vehículos, en términos de la teoría de grafos, a un subgrafo de G= (V,A) que constituye un circuito2 hamiltoniano3 que inicia y retorna ax0. Se denotará por K al número de vehículos empleados para cubrir todas las rutas. Para visualizar las características de la solución del problema, se puede volver a ver la figura1.2.
La condición difusa del problema está relacionada con la capacidad de los vehículos, ya que no todos los vehículos tienen la misma capacidad. Ello resulta una novedad pues, como se apreció en el epígrafe 1.4, la literatura especializada considera difusas las demandas y los tiempos. El número difuso ˜utiene como función de pertenencia la siguiente :
µ(u) = 1, si u≤umın´ 1− u−um´ın umax´ −umın´ , si um´ın<u≤umax´ 0, si u>umax´ ,
dondeum´ınyumax´ son las capacidades mínimas y máximas de los ómnibus que pueden cubrir las rutas respectivamente.
Observar que no se consideran los dj números difusos porque a los efectos del problema a resolver no interesa la cantidad de personas que hay realmente en la parada un día determinado, y se exige el mayor valor posible puesto que no se corre el riesgo de que una persona no pueda montarse en el ómnibus porque esté lleno.
La causa por la cual se prefiere una modelación difusa de un problema de VRP con capacidad de los vehículos homogénea a un modelo clásico de un VRP con capacidad de los vehículos heterogénea, a pesar de este último ser más representativo que el anterior, radica en el alto costo computacional que poseen los segundos con respecto a los primeros. Para corroborar lo planteado el lector puede ver en las Tablas 2 y 3 (Benito Quintanilla,2015, pp. 41-42) que los tiempos de
1Un grafo es completo si para todo par de vértices existe al menos un arco que los una. 2Un circuito es una secuencia de arcos(a
i,aj, . . .am)tal que la extremidad terminal de cada uno coincide con la extremidad inicial del siguiente y el vértice inicial deaicoincide con el vértice terminal deam.
3Un circuito es hamiltoniano si pasa una y solo una vez por cada vértice del grafo, exceptuando al vértice inicial y final del circuito.
ejecución de los métodos exactos para resolver VRP con capacidad de los vehículos heterogénea son relativamente altos, cerca de los 199 segundos.
Considérese las siguientes variables de decisión binarias para el problema planteado:
xki j =
1 si el vehıculo k pasa por el arco x´ i,xj 0 en caso contrario
yi j =
1 si existe un vehıculo que pasa por el arco x´ i,xj 0 en caso contrario
El modelo para el problema de las rutas de vehículos con el cual se va a trabajar se formula de la siguiente manera: Minimizar K
∑
k=1 n∑
j=0 n∑
i=0 ci jxki j (2.1) Sujeto a: K∑
k=1 xki j =yi j (2.2) n∑
j=1 yi j=1, i=1, . . .n (2.3) n∑
i=1 yi j =1, j=1, . . .n (2.4) n∑
j=1 y0j=K (2.5) n∑
i=1 yi0=K (2.6) n∑
i=1 n∑
j=1 dixki j≤u˜para todok=1,2...K (2.7)∑
i∈Qj∑
∈Q30 Problema de rutas de vehículos con restricciones difusas
yi j ∈ {0,1}, xki j∈ {0,1} para todoi,j=1, . . .n y todo k=1, . . .K.
La ecuación 2.1 representa la función objetivo, la cual como ya se explicó se plantea para minimizar las distancias recorridas en total por cada una de las rutas.
Las ecuaciones de tipo2.2relacionan las variables involucradas en el modelo.
Las ecuaciones2.3y2.4aseguran que de cada nodo o parada salga y llegue un solo ómnibus respectivamente.
Las ecuaciones2.5 y2.6aseguran que del centro de trabajo salgan y lleguen losK ómnibus que cubren las rutas.
Las ecuaciones de tipo2.7garantizan que la cantidad de personas montadas en cada ómnibus no supera la capacidad de estos.
Las ecuaciones de tipo 2.8 eliminan las subrutas. Una subruta es un circuito hamiltoniano que no parte del nodox0. En la figura2.1se muestra un ejemplo de subruta.
Figura 2.1: Ejemplo de subruta (flechas en azul)
Vale aclarar que el modelo anterior es similar al planteado por Ahuja et al.(2014, pp. 625- 626). Se realiza esta aclaración porque existen variadas formas de modelar un problema de VRP de capacidad limitada y se seleccionó este porque, aparte de su sencillez, el mismo se concibe con un enfoque de redes o grafos. Para revisar otros modelos para este mismo tipo de problema se sugiere verBenito Quintanilla(2015, pp.29-31).
Tras mostrar el modelo matemático con el cual se va trabajar, a continuación se enumeran las consideraciones que se han de tener en cuenta para garantizar una solución al problema:
2. Como los valores dedj, j=0, . . .nrepresentan la cantidad máxima de personas que aguar- dan en cada nodo o paradaxj, estos valores satisfacen que dj≥0 y d0=0 puesto que ninguna persona aguarda a un vehículo en el centro de trabajo.
3. Los valores dedj, j=0, . . .nestán acotados por la capacidad mínima de pasajeros que pue- den transportar los ómnibus, o sea,dj≤um´ın, j=0, . . .ny así asegurar que cada vehículo recoja todos los trabajadores que aguardan en la parada.
4. K≥Km´ın, dondeKm´ınes el número de vehículos mínimos que son necesarios para ejecutar esta tarea. Esto se exige pues el valor deK no siempre es un dato, y en ocasiones se hace necesario también minimizar el número de vehículos.
2.2.
Metodología de cálculo
En este epígrafe se describirá el método de solución propuesto para resolver el problema descrito en el epígrafe anterior. El método de solución se basa en el algoritmo de ahorros o de Clarke & Wright y por ello se hace necesario una descripción de dicho algoritmo.
Algoritmo de Clarke & Wright
El algoritmo de Clarke & Wright fue desarrollado en 1964 por las dos personas que aporta- ron su nombre. Es este uno de los algoritmos más populares para resolver VRP y se aplica para problemas en los que el número de vehículos no está prefijado. Se fundamenta en el siguiente