2. Teoría del Consumidor
2.4. El problema del consumidor – Propiedades de las demandas Marshallianas
2.4.El problema del El problema del consumidorconsumidor
– –Propiedades de las demandas Propiedades de las demandas
Marshallianas
Marshallianas
max
∈
Sujeto a ∈ ,
Para asumir l problema del consumidores desde las propiedades de las demandas Marshallianas se tiene que partir de la maximización de nuestra función de utilidad sujeta a la restricción presupuestal que tienen los individuos respecto a sus ingresos en la economía, por un lado encontramos el argumento maximizador con el cual se pretende encontrar las demandas Marshallianas que dependen de un vector de precios y los ingresos disponibles,
Apuntes de Microeconomía para estudiantes de ciencias económicas. Juan Pablo Herrera Saavedra
,
Y por el otro lado tenemos muestro máximo el cual estará dada por nuestra función de utilidad indirecta la cual dependerá del vector de precios y los ingresos disponibles.
,
La manera metodología en la cual se puede asumir el problema del consumidor va a depender de la lógica que se encuentre por detrás del comportamiento de la función de utilidad, la cual puede de distintos tipos, por ejemplo: Cobb-Douglas, Leontief o cuasi lineal.
Función de utilidad de tipo Cobb-Douglas Función de utilidad de tipo Cobb-Douglas
,
Se calcula la utilidad marginal respecto a
y
derivando la función de utilidad respecto a las cantidades del bien uno y del bien dos respectivamente.
−
Y
−
Como los bienes y los coeficientes
y
son mayores que 0, entonces mis preferencias serán monótonas en sentido fuerte, de tal manera que se satisface el principio de no saciedad local, implicando que solo es suficiente con que se garantice la no saciedad local en la mejor elección del consumidor en que se agote el ingresos disponible.
Para comprobar el cumplimiento de la no saciedad local se partirá de un absurdo en que si
<
−
= ratioDonde se podrán encontrar cestas de consumo mejores las cuales estarán al alcance del consumidor dado que este aún no ha agotado su ingreso disponibles, de esta manera se llega a un absurdo pues el consumidor si pretende tomar la mejor decisión está estará cuando agote su ingresos en el consumo de la mejor cesta disponible.
Como las utilidades marginales son monótonas en el sentido fuerte y se cumple la propiedad de no saciedad local, la mejor elección del consumidor será cuando este agota todo su ingreso en la mejor cesta de consumo disponible.
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En ese orden de ideas surge entonces el concepto de la relación marginal de sustitución (RMS), en la cual se puede observar en cuanto está dispuesto el consumidor a sacrificar del consumo de un bien con el fin de consumo una unidad adicional del otro bien sin afectar el nivel de utilidad, de tal manera que a medida que la RMS se haga más grande entonces el consumidor tendrá una mayor preferencia por consumir unidades del bien dos en relaciona al bien uno, pues este está dispuesto a sacrificar más unidades del bien uno con el propósito de consumo cantidades del segundo bien.
...
|
|
,
0
...
De esta manera si se piensa en dos bienes como podría ser él te Lipton y él te Hatzu donde el segundo sea más valioso para el consumidor en relación al primero se tendría una
>
pues este estará dispuesto a sacrificar mas ml del te Lipton para consumir una un ml adicional de té Hatzu.Volviendo a las utilidades marginales calculadas al inicio se estima la R.M.S. así,
...
|.. .|
Para calcular entonces la relación de la curva de indiferencia tenemos.
,
⁄
⁄
−⁄
Siendo la expresión anterior la relación de la curva de indiferencia, la cual derivaremos respecto a
en dos momentos con el fin de ilustrar gráficamente el comportamiento de esta.
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′′
′′
Ilustración 10 Curvas de Indiferencia Ilustración 10 Curvas de Indiferencia
Partiendo de la condición de agotamiento de ingresos tememos,
Donde,
es la pendiente de la recta presupuestaria de tal manera que si se iguala con laR.M.S. se puede encontrar un punto de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia tal que a ese punto se consiga la máxima utilidad posible agotando todo su ingreso, siendo esta la mejor cesta disponible para el consumidor, como se puede apreciar en la siguiente ilustración.
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Ilustración 11 Mejor elección del consumidor Ilustración 11 Mejor elección del consumidor
Habiendo definido algunos de los conceptos relevantes se continuara con el desarrollo del método Marshalliano para calcular las demandas óptimas que maximizan el beneficio del consumidor sujeto a una restricción presupuestaria, para el caso de una función de utilidad de tipo Cobb-Douglas.
max
∈
Sujeto a ∈ ,
Para ello plante y resuelve el siguiente Lagrangeano.
ℒ
,
⋋
Se deriva respecto a
,
y⋋
e igualamos a 0ℒ
⋋
0
(1)ℒ
⋋
0
(2)ℒ⋋
(3) Se despeja⋋
de (1) y (2)⋋
⋋
Apuntes de Microeconomía para estudiantes de ciencias económicas. Juan Pablo Herrera Saavedra Se igualan las
⋋
⋋
⋋
|..,|
Reemplazando las utilidades marginales tenemos.
∝
∝
∝∝
Reemplazando
en la restricción presupuestal tenemos
∝∝
1∝∝
∝
∝∝
Despejando
se tienen las demandas Marshallianas del bien 1, luego reemplazando estas en la ecuación de
se tienen las demandas Marshallianas del bien 2.
, ∝∝
∝
, ∝∝
∝
Siendo
,
,
las demandas Marshallianas del bien 1 y el bien 2., para encontrar la utilidad indirecta se reemplazan las demandas Marshallianas en la función de utilidad.,
∝
∝
∝
∝
∝
∝
∝+∝
∝+∝
−∝
−∝
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obtener un consumidor dada su restricción presupuestal se introducirá en la siguiente sección el problema de elección racional del consumidor partiendo de la función de utilidad indirecta.