El proceso de Wiener en la presencia de Jitter 41

En base a las ecuaciones (3.4) y (4.7) reescribimos nuestra expresión para calcular el error de  interpolación para el proceso de Wiener en la presencia de jitter. 

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La ecuación (4.10) es la ecuación que realiza el promedio estadístico con respecto a las  variables aleatorias  _,  de la función de error de reconstrucción en presencia de jitter para el  caso de interpolación. 

Cabe resaltar que los resultados obtenidos en esta sección al aplicar jitter en el proceso de  Wiener son completamente nuevos, y que en base a la metodología empleada sería posible  ejemplificar un gran número de escenarios con tipos o intensidades de jitter diferentes, jitter  en una o ambas muestras, etc. Por tal motivo se presentaran los casos más representativos en  forma de grupos. 

El primero de estos grupos corresponde a la aplicación del mismo tipo y duración de jitter en  los cuatro casos de discretización de la Fig.  4.2. El tipo de jitter que se aplica es simétrico y con  distribución uniforme. El ancho del jitter es de 0.2 con centro en la muestra  . 

  Fig.  4.3 Función de error de reconstrucción del proceso de Wiener en la presencia de jitter en la primer muestra.  De la Fig.  4.3 observamos que el error de reconstrucción en la muestra afectada por jitter ya  no es igual a cero y que la magnitud del error en la muestra con jitter es el mismo sin importar  el tamaño de la distancia de muestreo _∆ , de aquí podemos decir que para el proceso de  Wiener el error en una muestra con jitter no depende de su ubicación ni del intervalo de  muestreo, sino del ancho del jitter aplicado a la muestra. También se observa que el error  máximo en los cuatro casos se conserva en el centro del intervalo de muestreo y que además  es de la misma magnitud en comparación con la Fig.   4.2 donde el proceso esta libre de la  presencia de jitter. 

Con la figura Fig.  4.3 observamos que la magnitud del jitter en la muestra depende del ancho  del jitter aplicado en la muestra. A continuación aplicaremos jitter simétrico a la misma  muestra pero con diferentes distribuciones de probabilidad, como se muestra en la siguiente  figura. 

  Fig.  4.4 Cuatro distribuciones distintas de jitter simétrico. 

Las distribuciones mostradas en la Fig.  4.4 serán aplicadas a la primera muestra del ejemplo  anterior. La distribución 1 se aplicara  al proceso con ∆ , la distribución 2 al proceso con 

∆ ; la distribución 3 al proceso con _∆ ; y la distribución 4 al proceso con _{∆ .} .   El ancho de jitter es el mismo en los cuatro casos  _. . 

  Fig.  4.5 Función de error de reconstrucción del procesos de Wiener en la presencia de 

distintas distribuciones de Jitter simétrico 

 En la Fig.  4.5 se observa claramente que las magnitudes del error de reconstrucción no son las  mismas, con excepción quizá de las curvas con _{∆ .}  y _∆ . Sin embargo continuamos  observando que el mínimo error de la región de la muestra con jitter se encuentra localizado  en el momento de la muestra y que el error máximo se encuentra en el centro del intervalo de  discretización, y que además este máximo continua siendo igual al de la Fig.  4.3 y la Fig.  4.5.   Las diferencias en la magnitud del error se debe precisamente a la distribución  específica del  jitter introducido a cada muestra, por lo que es posible agregar a nuestras observaciones de  esta sección que la magnitud del error de reconstrucción para el proceso de Wiener en una  muestra afectada por la presencia de jitter depende de la duración del jitter y de su  distribución. 

Para el siguiente grupo de curvas aplicaremos distintas distribuciones de jitter asimétrico. 

  Fig.  4.6 Distribuciones asimétricas aplicadas al proceso de Wiener. 

En este grupo de curvas solo se tomo el caso donde _∆  para observar con mayor detalle  los efectos de introducir jitter con asimetría a la izquierda y a la derecha. 

  Fig.  4.7 Función de erro de reconstrucción del proceso de Wiener con presencia de  

jitter asimétrico en la primera muestra 

En la curva 1 se aplico jitter con asimetría a la izquierda (ver curva 1 de Fig.  4.6), debido a que  la  distribución  de  probabilidad esta  cargada a  la  izquierda, ocasiona  que  la esperanza  matemática de la muestra afectada con jitter se encuentre a la izquierda también, y por tanto  se aleje relativamente de la muestra siguiente ocasionando a su vez que el intervalo de  muestreo tenga un aumento y por tanto la incertidumbre que existe en la reconstrucción   entre las muestras aumente, provocando así un incremento en el error.   

En la curva 2 se aplico jitter simétrico con el objetivo de hacer una comparación más efectiva  con los efectos de jitter asimétrico. Los efectos de aplicar este tipo de jitter en este proceso ya  fueron comentados en párrafos anteriores. 

La curva 3 muestra el error de reconstrucción para el proceso de Wiener con la presencia de  jitter con asimetría a la derecha (ver curva 3 de la Fig.  4.6). Al introducir jitter con este tipo de  asimetría en el proceso de Wiener, ocasiona que la esperanza matemática de la muestra  afectada por jitter se encuentre desplazada a la derecha, ocasionando así un acercamiento  relativo a la siguiente muestra, disminuyendo así la distancia de discretización y por tanto el  error de reconstrucción en el centro del intervalo disminuye también. 

También es posible señalar que los mínimos de error en las muestras con jitter dependen del  tipo de la fdp del jitter, es decir, cuando la probabilidad esta  mas concentrada en un punto el  error de reconstrucción disminuye en esa zona, en tanto que si se encuentra uniformemente el  error tiende a aumentar. Este hecho es más fácil de observar en la Fig.  4.5, y aunque no es  muy claro en la Fig.  4.7 también esta presente este fenómeno. El error de reconstrucción de la   curva 3 en la Fig.  4.7 es ligeramente menor que el de la curva 2, debido a que la distribución  de probabilidad esta más concentrada en una región.  

Es posible estimar la ubicación del mínimo en la muestra con jitter, mediante el uso de la  ecuación (3.11), los parámetros  ,   y los intervalos de jitter de cada muestra   y  . 

4.2

PMR de un proceso Gaussiano no estacionario debido a un cambio