cuando se encuentra en la posición más cerca­ na a la estrella.

a) El planeta 1, al describir una órbita circular, está animado de una

aceleración centrípeta constante que viene determinada por:

m v 2 r = G

M m r 2

De donde se obtiene el valor de la velocidad v 2 ₌ G M

r ; ade-

más, el periodo del planeta viene dado por T = 2 p r

v . De

ambas ecuaciones se deduce la masa del planeta:

M = 4 p2 r 3 T 2 _G =

4 · 9,89 · 1033 _m3

3,978 · 1015 _s2 _{· 6,67 · 10}–11 _{N m}2 _kg–2 = = 1,49 · 1029 _kg

b) Para obtener el periodo del planeta 2 aplicamos la Segunda

Ley de Kepler.

T12

r13 = T22

r23 siendo r2 el semieje mayor de la elipse:

r2 = 1,8 · 10

11 _{m + 10}11 _m

2 = 1,4 · 10 11 _m El periodo del segundo planeta será:

T2 =

(

r2 r1

)

3 T12

Î

=

(

1,4 · 1011 1011

)

3 T12

Î

= 3,4 años

c) La energía mecánica del planeta permanece constante por-

que se mueve en un campo conservativo.

E = 1 2 m v1 2 ₊

(

_– G M m r1

)

= 1 2 m v2 2 ₊

(

_– G M m r2

)

v12 – v22 = 2 G M

(

1 r1 – 1 r2

)

= 2 G M r2 – r1 r1 r2

De acuerdo con la conservación del momento angular se cumple: v1 r1 = v2 r2 ; v1 = r2 r1 v2 = 1,8 · 1011 _m 1011 _m · v2 v1 = 1,8 v2 ; v12 – v12 1,82 = 2 G M r2 – r1 r1 r2 v12

(

1 – 1 1,82

)

= 2 G M r2 – r1 r1 r2 v12 · 2,24 3,24 2 · 6,67 · 10 –11 _{N m}2 _kg–2 _{· 1,49 ·} · 1029 _{kg ·} 0,8 · 1011 m 1,8 · 1022 _m2 v12 = 1,27 · 108 m2/s2 ; v1 = 1,16 · 104 m/s

25. Se ha lanzado un satélite en una dirección paralela a la superficie de la Tierra con una velocidad de 36 900 km/h desde una altitud de 500 km para situarlo en un apogeo de 66 700 km (medido desde el centro de la Tierra). ¿Qué velocidad tiene el satélite en esa posición?

Datos: RT = 6,4 · 106 m.

38

04

Fuerzas centrales. comprobación de la seGunda ley de Kepler

c) Para hallar la excentricidad, calculamos primero la distancia

entre el centro de la elipse y uno de sus focos:

c = a – rp = 7,0 · 106 m – 6,8 · 106 m = 0,2 · 106 m

Por tanto, la excentricidad será:

e = c a =

0,2 · 106 _m

7,0 · 106 _m = 0,029

d) Energía mecánica del satélite. La calculamos en el perigeo,

por ejemplo, ya que permanece constante en cualquier pun- to de la órbita: E = 1 2 m vp 2 ₊

(

_– G M m rp

)

= 0,5 · 2 500 kg · (3,5 · 103 _m/s)2 _– – 6,67 · 10–11 N m2 kg–2 · 6 · 1024 kg · 2,5 · 103 kg 6,8 · 106 _m = = –1,31 · 1011 _J

e) La máxima aproximación tiene lugar en el perigeo, es decir,

cuando el satélite se encuentra a 6,8 · 106 _{m del centro de la} Tierra. Por consiguiente, se cumple que:

h = rp – RT = 6,8 · 106 m – 6,4 · 106 m =

= 0,4 · 106 _{m = 4,0 · 10}5 _m

31. Un satélite artificial gira en torno a la Tierra describiendo una órbita elíptica cuya excentricidad es 0,2. Si en el peri­ geo dista del centro de la Tierra 7,2 · 106 _{m, ¿a qué distancia}

estará en el apogeo?

De acuerdo con la expresión de la excentricidad, tenemos:

e = c a = 0,2

Además, se cumple que: a = c + rp = c + 7,2 · 106 m

Del sistema de ecuaciones:

c = 0,2 a

a = c + 7,2 · 106 _m   _ se deduce que a = 9,0 · 10 6 _m La distancia en el apogeo se obtiene de:

a = rp + ra

2

ra = 2 a – rp = 18 · 106 m – 7,2 · 106 m = 1,08 · 107 m

29. Durante el vuelo Apolo XI, el astronauta M. Collins giró en torno a la Luna, en un módulo de mando, sobre una órbi­ ta aproximadamente circular. Suponiendo que el periodo de este movimiento fuera de 90 minutos exactos y que su ór­ bita estuviera a 100 km por encima de la superficie lunar, calcula:

a) La velocidad con que recorría la órbita.

b) Su momento angular respecto del centro del satélite, su­ poniendo que la masa del astronauta fuera de 80,0 kg. Datos: RL = 1,738 · 106 m.

a) La velocidad sobre la órbita es: v = 2 p r

T =

6,28 · (1,738 · 106 _{+ 0,1 · 10}6 _m) 5 400 s = = 2,139 · 103 _m/s

b) Momento angular del astronauta:

L = m v r = 80,0 kg · 2,137 · 103 _{m/s · 1,838 · 10}6 _{m =} = 3,13 · 1011 _{kg m}2_/s

30. Un satélite artificial dista del centro de la Tierra 6,8 · 106 _m

en el perigeo y 7,2 · 106 _{m en el apogeo. Si la velocidad}

máxima del satélite es 3,5 · 103 _{m/s, calcula:}

a) La velocidad mínima del satélite.

b) El semieje mayor de la órbita elíptica que describe.

c) La excentricidad de la elipse.

d) La energía mecánica del satélite.

e) A qué altura sobre la superficie terrestre se encuentra el satélite en su máxima aproximación.

Datos: MT = 6 · 1024 kg; RT = 6,4 · 106 m; masa del satélite =

= 2 500 kg.

La velocidad mínima tiene lugar en el apogeo y se obtiene apli- cando el Principio de Conservación del Momento Angular:

ra va = rp vp a) va = vp rp ra = 3,5 · 103 m/s · 6,8 · 106 m 7,2 · 106 _m = 3,3 · 10 3 _m/s

b) El semieje mayor de la elipse viene dado por la media de las

distancias máxima y mínima:

a = ra + rp 2 = 7,2 · 106 _{m + 6,8 · 10}6 _m 2 = 7,0 · 10 6 _m Sol_FISICA_04.indd 38 19/5/09 19:00:42

39

EL CAMPO GRAVITATORIO

05

j Actividades

1. ¿Por qué introduce la Física el concepto de campo? ¿Qué otros campos de fuerzas utiliza la Física además del campo gravitatorio?

La Física introduce el concepto de campo de fuerzas para expli- car las interacciones a distancia entre dos cuerpos. Además del campo gravitatorio, se utilizan el campo electrostático y el cam- po electromagnético, que son objeto de estudio en las Unidades 6 y 7, respectivamente.

2. ¿De qué factores depende la intensidad de un campo gravi- tatorio?

El campo gravitatorio depende de dos factores: la masa que ge- nera el campo y la distancia, como se deduce de g = G M

r 2 .

3. ¿Qué dimensiones tiene la intensidad del campo gravitatorio?

Si la intensidad del campo gravitatorio se define como la fuerza que ejerce el campo sobre una unidad de masa colocada en un punto, las dimensiones serán las de una aceleración.

g = F m =

m a m = a

4. Durante los vuelos espaciales, los astronautas se refieren a las fuerzas en términos de la gravedad. ¿Qué significado tiene para un astronauta una fuerza de 5 g? ¿Es correcta la expresión «una fuerza de 5 g»?

Significa que la fuerza que tratan de expresar es cinco veces ma- yor que el peso del cuerpo, o mejor, que el campo es cinco veces más intenso que el campo gravitatorio terrestre. No es correcto, porque la expresión 5 g no es una fuerza, sino una aceleración.

5. De acuerdo con la variación de la gravedad en el interior de la Tierra, si esta estuviera atravesada por un túnel hasta las antípodas, ¿qué movimiento tendría un cuerpo que se deja- se caer por dicho túnel? ¿Cuánto tiempo emplearía en ir de uno al otro extremo?

Se trata de un movimiento armónico simple. Recuerda que todo m.a.s. viene definido por una fuerza recuperadora que es propor- cional al desplazamiento: F = k x.

Si llamamos x a la distancia que hay desde el centro de la Tierra hasta la posición del cuerpo en cualquier instante, este estará sometido a una fuerza gravitatoria:

f = m gx = m

g0

RT

x = k x

Esta fuerza, además de armónica, es conservativa. Cuando el cuerpo llega al centro de la Tierra, x = 0, la fuerza recuperadora será cero; pero por inercia y debido a la energía cinética, el cuerpo rebasa esa posición. Por el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, el cuerpo llegará justamente hasta la otra boca del túnel e iniciará de nuevo el movimiento hacia el centro de la Tierra, repitiéndose indefinidamente. El tiempo que empleará en ir de un extremo a otro será medio periodo. Para hallar el periodo de este movimiento, comparamos su cons- tante recuperadora con la constante recuperadora de cualquier m.a.s. en general: k = m g0 RT k = m v2 _{= m} 4 p2 T 2        g0 RT = 4 p2 T 2

De donde se deduce que:

T = 2 p RT

g0

Î

= 6,28 · 6,4 · 106 m 9,8 m/s2

Î

= 5,0 · 103 _s El tiempo empleado en ir de un extremo al otro es medio perio- do; es decir, t = 2,5 · 103 _s.

j El concepto de gravedad

In document Solucionario Mc Graw Hill Fisica 2 Bachillerato (página 37-39)