Encuesta Aplicada a los Docentes de la Escuela “Simón Rodríguez”

4.5.1 Q¸roi deÔteroi arijm simoi (sunèqeia)

Sthn parˆgrafo 3.3 kˆname mÐa eisagwg  sta axi¸mata arijmhsimìthtac. Ed¸ ja sumplh- r¸soume th jewrÐa tou deutèrou axi¸matoc arijmhsimìthtac, me autˆ pou proapaitoÔntai gia thn apìdeixh tou jewr matoc metrikopoihsimìthtac tou Urysohn.

Je¸rhma 4.34. 'Estw X deÔteroc arijm simoc topologikìc q¸roc kai {Ui}i∈I oi-

kogèneia anoikt¸n uposunìlwn tou X. Tìte, upˆrqei J arijm simo uposÔnolo tou I, ¸ste [ i∈J Ui= [ i∈I Ui.

Apìdeixh. 'Estw B = {Bn}n∈N mÐa arijm simh bˆsh tou X. Gia kˆje i ∈ I ja upˆrqei

Mi⊆ N, ¸ste Ui= [ n∈Mi Bn. Jètoume M =[ i∈I Mi,

to opoÐo eÐnai arijm simo (wc uposÔnolo tou N). Tìte, [ i∈I Ui = [ i∈I  [ n∈Mi Bn  = [ n∈M Bn.

EÔkola parathroÔme ìti gia kˆje n ∈ M upˆrqei i ∈ I tètoio, ¸ste n ∈ Mi. To gegonìc

ìti n ∈ Mi shmaÐnei ìti Bn ⊆ Ui, kajìti Ui =

S

n∈MiBn. Epeid  to i exartˆtai apì to

n, ja epilèxoume ènan akribèstero sumbolismì gia to sumpèrasmˆ mac: gia kˆje n ∈ M upˆrqei in∈ I tètoio, ¸ste Bn⊆ Uin. Apì ed¸ sunepˆgetai ìti

[ n∈M Bn⊆ [ n∈M Uin.

64 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA ArkeÐ, t¸ra, na parathr soume ìti h {Uin}n∈M eÐnai arijm simh upooikogèneia thc {Ui}i∈I.

Sunep¸c, èqoume [ i∈I Ui = [ n∈M Bn⊆ [ n∈M Uin ⊆ [ i∈I Ui, kai ˆra [ n∈M Uin = [ i∈I Ui.

Prìtash 4.35. 'Estw X deÔteroc arijm simoc topologikìc q¸roc kai C mia bˆsh gia thn topologÐa tou X. Tìte, upˆrqei C0 _{arijm simh upooikogèneia thc C pou eÐnai epÐshc}

bˆsh gia thn topologÐa tou X.

Apìdeixh. Kˆje anoiktì uposÔnolo tou X grˆfetai wc ènwsh stoiqeÐwn thc C = {Ci}i∈I.

Apì to prohgoÔmeno je¸rhma èqoume ìti kˆje anoiktì uposÔnolo tou X grˆfetai, telikˆ, wc arijm simh ènwsh stoiqeÐwn thc C.

Epeid  o X eÐnai deÔteroc arijm simoc, mporoÔme na jewr soume mÐa arijm simh bˆsh B = {B_n}_n∈N. Tìte, ìpwc exhg same, gia kˆje n ∈ N ja upˆrqei I_n arijm simo upo- sÔnolo tou I, ètsi ¸ste Bn =S_i∈InCi. Jètoume J = S_n∈NIn kai parathroÔme ìti h

C0 _{= {C}

i : i ∈ J }eÐnai arijm simh upooikogèneia thc C kai bˆsh gia thn topologÐa tou

X.

Parˆdeigma 4.36. Sthn parat rhsh 3.28(iv) eÐdame ìti kˆje deÔteroc arijm simoc topologikìc q¸roc eÐnai diaqwrÐsimoc. EpÐshc, sthn parat rhsh 3.28(v) eÐdame ìti stouc metrikoÔc q¸rouc isqÔei kai to antÐstrofo. O q¸roc Rs (parˆdeigma 4.16(ii)) apote-

leÐ èna parˆdeigma topologikoÔ q¸rou pou en¸ eÐnai diaqwrÐsimoc, den eÐnai deÔteroc arijm simoc.

Prˆgmati, o Rs eÐnai diaqwrÐsimoc, afoÔ to Q eÐnai puknì; sugkekrimèna tèmnei kˆje

mh kenì stoiqeÐo thc bˆshc B = {(a, b] : a, b ∈ R}. Ac upojèsoume proc apagwg  se ˆtopo ìti eÐnai deÔteroc arijm simoc. Tìte sÔmfwna me thn teleutaÐa prìtash, upˆrqei B0 _{= {(a}

n, bn] : n ∈ N; an, bn∈ R} arijm simh upooikogèneia thc B pou eÐnai epÐshc bˆsh

4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 65 Tìte, upˆrqei M ⊆ N, ¸ste

(a, b] = [

n∈M

(an, bn].

Autì shmaÐnei ìti upˆrqei n0 ∈ M tètoio, ¸ste b ∈ (an0, bn0]kai b 6= bn0, dhlad 

an0 < b < bn0. Sunep¸c, bn0 ∈  [ n∈M (an, bn]  r (a, b] = ∅, to opoÐo fusikˆ eÐnai ˆtopo.

'Askhsh 4.37. DeÐxte ìti o q¸roc Rs eÐnai pr¸toc arijm simoc.

4.5.2 Q¸roi Lindel¨of

Orismìc 4.38. 'Estw X topologikìc q¸roc kai A ⊆ X.

(i) MÐa oikogèneia {Ui}i∈I uposÔnolwn tou X kaleÐtai kˆlumma tou A, an

A ⊆[

i∈I

Ui.

Profan¸c, an A = X kai {Ui}i∈I èna anoiktì kˆlumma tou A, tìte

X = [

i∈I

Ui.

(ii) An, epiplèon, ta stoiqeÐa thc {Ui}i∈I eÐnai anoiktˆ uposÔnola tou X, tìte h oikogèneia

{Ui}i∈I kaleÐtai anoiktì kˆlumma tou A.

(iii) Sthn perÐptwsh pou to I eÐnai arijm simo (ant. peperasmèno), tìte h oikogèneia {Ui}i∈I kaleÐtai arijm simo (ant. peperasmèno) kˆlumma.

(iv) An J eÐnai uposÔnolo tou I, ètsi ¸ste

A ⊆[

i∈J

Ui,

66 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA (v) Dedomènou ìti èna upokˆlumma {Ui}i∈J tou {Ui}i∈I apoteleÐ kˆlumma tou A, to

{Ui}i∈J kaleÐtai anoiktì upokˆlumma tou {Ui}i∈I, an eÐnai anoiktì kˆlumma tou A.

AntÐstoiqa, kaleÐtai arijm simo (ant. peperasmèno) upokˆlumma tou {Ui}i∈I, an eÐnai

arijm simo (ant. peperasmèno) kˆlumma tou A.

Orismìc 4.39. 'Enac topologikìc q¸roc kaleÐtai q¸roc Lindel¨of (  èqei thn idiìthta Lindel¨of), an kˆje anoiktì kˆlumma tou q¸rou èqei arijm simo upokˆlumma.

Prìtash 4.40. Kˆje deÔteroc arijm simoc topologikìc q¸roc eÐnai q¸roc Lindel¨of. Apìdeixh. EÐnai ˆmeso pìrisma tou jewr matoc 4.34.

ParadeÐgmata 4.41.

(i) O R me th sun jh metrik  topologÐa eÐnai diaqwrÐsimoc (puknìthta twn rht¸n), kai ˆra deÔteroc arijm simoc. Sunep¸c, apì thn teleutaÐa prìtash, ja eÐnai q¸roc Lindel¨of. (ii) An o q¸roc X eÐnai uperarijm simo sÔnolo efodiasmèno me th diakrit  topologÐa, tìte den eÐnai Lindel¨of, diìti to anoiktì kˆlumma {{x}}x∈X den èqei arijm simo upokˆlumma.

Prìtash 4.42. Kˆje metrikìc q¸roc eÐnai deÔteroc arijm simoc, an, kai mìno an, eÐnai q¸roc Lindel¨of.

Apìdeixh. Sthn parat rhsh 3.28(v) deÐxame ìti kˆje metrikìc q¸roc eÐnai deÔteroc arij- m simoc, an, kai mìno an, eÐnai diaqwrÐsimoc. 'Ara, se sunduasmì me thn teleutaÐa prìtash, arkeÐ na deÐxoume ìti, an ènac metrikìc q¸roc eÐnai Lindel¨of, tìte eÐnai diaqwrÐsimoc.

'Estw (X, ρ) metrikìc q¸roc Lindel¨of. ParathroÔme ìti gia kˆje n ∈ N h oikogèneia {Bρ(x,_n1)}x∈X eÐnai èna anoiktì kˆlumma tou X. 'Ara, gia kˆje n ∈ N upˆrqei Dn

arijm simo uposÔnolo tou X, ¸ste h oikogèneia {Bρ(x,1_n)}x∈Dn na eÐnai arijm simo

upokˆlumma. Jètoume D = S_n∈NDn, to opoÐo kat' arqˆc eÐnai arijm simo. Ja deÐxoume

ìti eÐnai kai puknì ston X. 'Estw z ∈ X kai ε > 0. Epilègoume n0 ∈ N tètoio, ¸ste 1 n0 < ε. Epeid  X = [ x∈D_n0 Bρ x, 1 n0
, ja upˆrqei x0 ∈ Dn0, ètsi ¸ste z ∈ Bρ(x0,

1

n0), isodÔnama x0 ∈ Bρ(z,

1

n0). Epomènwc,

4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 67 Parˆdeigma 4.43. O q¸roc Rs, ìpwc diapist¸same sto parˆdeigma 4.36, eÐnai dia-

qwrÐsimoc, allˆ ìqi deÔteroc arijm simoc. Ed¸ ja deÐxoume ìti apoteleÐ èna parˆdeigma topologikoÔ q¸rou pou katarrÐptei thn isodunamÐa metaxÔ q¸rwn Lindel¨of kai deÔterwn arijm simwn, h opoÐa isqÔei se metrikoÔc q¸rouc.

Ja deÐxoume, loipìn, ìti o RS eÐnai q¸roc Lindel¨of.

Isqurismìc: ArkeÐ na deÐxoume ìti kˆje anoiktì kˆlumma tou Rs apì stoiqeÐa thc

bˆshc B = {(a, b] : a, b ∈ R} èqei arijm simo upokˆlumma.

Apìdeixh isqurismoÔ: Ja apodeÐxoume ton isqurismì gia tuqaÐo topologikì q¸ro X me bˆsh B = {Bj}j∈J. H idèa thc apìdeixhc basÐzetai se aut n tou Jewr matoc 4.34.

'Estw {Ui}i∈I anoiktì kˆlumma tou X. Gia kˆje i ∈ I upˆrqei Mi ⊆ J, ¸ste

Ui = S_j∈MiBj. Tìte, X = S_i∈IUi = S_j∈MBj, ìpou M = S_i∈IMi. Ex upojèsewc

upˆrqei N arijm simo uposÔnolo tou M, ¸ste X = Si∈IUi = Sj∈NBj. Gia kˆje

j ∈ N upˆrqei ij ∈ I, ètsi ¸ste Bj ⊆ Uij. Sunep¸c, Sj∈NBj ⊆

S

j∈NUij, kai ˆra

X =S

j∈NUij. Dhlad , to {Uij}j∈N eÐnai arijm simo upokˆlumma tou {Ui}i∈I.

Epistrèfoume, t¸ra, ston arqikì mac skopì: ja deÐxoume ìti kˆje anoiktì kˆlumma tou Rsapì stoiqeÐa thc bˆshc B = {(a, b] : a, b ∈ R} èqei arijm simo upokˆlumma. 'Estw

{(a_i, bi]}i∈I èna anoiktì kˆlumma apì stoiqeÐa thc bˆshc. Jètoume C = {(ai, bi)}i∈I.

Arqikˆ ja deÐxoume ìti to sÔnolo Rsr C eÐnai arijm simo.

'Estw x ∈ Rsr C. AfoÔ Rs = Si∈I(ai, bi]kai to x den an kei se kˆpoio diˆsthma

(ai, bi) gia i ∈ I, tìte upˆrqei ix ∈ I tètoio, ¸ste x = bix. ParathroÔme ìti an

x, y ∈ Rsr C, tìte bix ≤ aiy. Prˆgmati, an  tan aiy < bix, tìte to x ja an ke sto

(aiy < biy), diìti bix = x < y = biy. Autì, ìmwc, eÐnai ˆtopo, diìti x 6∈ C. 'Ara, h

oikogèneia {(aix, bix) : x ∈ Rsr C} apoteleÐtai apì xèna metaxÔ touc anoiktˆ diast mata

tou R. Epomènwc, se kˆje x ∈ RsrC mporoÔme na antistoiqÐsoume èna monadikì diˆsthma (aix, bix), kai se autì ènan monadikì rhtì. Sunep¸c, upˆrqei mÐa 1-1 apeikìnish apì to

Rsr C stouc rhtoÔc, kai ˆra to Rsr C eÐnai arijm simo.

O R me th sun jh metrik  topologÐa eÐnai deÔteroc arijm simoc. Sunep¸c, o C wc upìqwroc eÐnai deÔteroc arijm simoc, ìpote kai Lindel¨of. Epeid  to {(ai, bi)}i∈I eÐnai èna

68 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA anoiktì kˆlumma tou upoq¸rou C, ja upˆrqei arijm simo sÔnolo deikt¸n {in ∈ I : n ∈

N}, ¸ste C = ∞ [ n=1 (ain, bin).

ParathroÔme, loipìn, ìti

Rs= (Rsr C) ∪ C =  _[ x∈RsrC (aix, bix]  ∪ ∞ [ n=1 (ain, bin)  .

Epomènwc, br kame èna arijm simo upokˆlumma tou {(ai, bi]}i∈I, kai ˆra o RseÐnai q¸roc

Lindel¨of.

Je¸rhma 4.44. Kˆje topologikìc q¸roc T3 kai Lindel¨of eÐnai T4.

Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q¸roc T3 kai Lindel¨of. Epilègoume F1, F2 xèna, kleistˆ

uposÔnola tou X. Ja deÐxoume ìti upˆrqoun U kai V xèna, anoiktˆ uposÔnola tou X, ¸ste F1 ⊆ U kai F2 ⊆ V.

Epeid  o X eÐnai T3, gia kˆje x ∈ F1 upˆrqei Ux⊆ X anoiktì, ¸ste

x ∈ Ux ⊆ Ux ⊆ X r F2.

'Omoia, gia kˆje y ∈ F2 upˆrqei Vy ⊆ X anoiktì, ¸ste

y ∈ Vy ⊆ Vy ⊆ X r F1.

JewroÔme thn oikogèneia

C = {Ux : x ∈ F1} ∪ {Vy : y ∈ F2} ∪ {X r (F1∪ F2)},

h opoÐa eÐnai anoiktì kˆlumma tou X.

Epeid  o X eÐnai Lindel¨of, upˆrqei arijm simo upokˆlumma tou C pou ja eÐnai thc morf c

C0 = {Un: n ∈ N} ∪ {Vn: b ∈ N} ∪ {X r (F1∪ F2)}.

Jètoume U = S_n∈NUn kai V = S_n∈NVn. ParathroÔme ìti ta U kai V eÐnai anoiktˆ,

kaj¸c kai ìti F1 ⊆ U, ìpwc kai F2 ⊆ V. 'Omwc, ta U kai V den eÐnai aparaÐthta xèna

4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 69