Energ´ıa de interacci´on entre impurezas no magn´eticas

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 ∆ ρ (x) x (-28,0) (-5,0) -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 x (0,0) (-28,0) -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 x (-28,0) (5,0) -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 x (-28,0) (28,0)

Figura 4.12: La variaci´on en la densidad espacial de carga ∆ρ(j) versus la posi-

ci´on (x, 0), y un corte sobre el eje mayor del corral el´ıptico con las dimensiones de a=35, b=21. Hemos fijado una impureza en la posici´on (−28, 0) y la segunda impureza situada en las posiciones (-5,0), (0,0),(5,0) y (-28,28), con el mismo po- tencial atractivo ∆ε = −0,5, correspondiente para M = 16. Las flechas indican la localizaci´on del otro punto (+28, 0).

4.3.

Energ´ıa de interacci´on entre impurezas no

magn´eticas

Los c´alculos de la densidad espacial de carga para un corral el´ıptico con dos impurezas nos mostraron que el blindaje del potencial de esas impurezas se torna m´as efectiva cuando ellas ocupan los focos de la elipse. El blindaje m´as efectivo se debe reflejar en la interacci´on entre las impurezas, como analizaremos a continuaci´on.

En un metal, la interacci´on entre pares de impurezas es mediada por el mate- rial matricial y resulta de las modificaciones en la estructura electr´onica del metal debidas a la introducci´on de las impurezas. La presencia de una de las impurezas representa un potencial perturbador en el sitio donde ´esta es colocada, lo que afecta los estados electr´onicos del material. La distribuici´on espacial de la carga es alterada de modo que blinda el potencial de la impureza y, con esto, los niveles de energ´ıa de los estados electr´onicos son modificados. As´ı, el blindaje del potencial de una segunda impureza colocada en el material puede ser afectada por la variaci´on de la carga local inducida por la primera impureza. Ese efecto, que en los sistemas volum´etricos depende solamente de la concentraci´on electr´onica del material matri- cial y de la distancia entre las impurezas, origina una interacci´on entre ellas. En el caso de impurezas en nanoestructuras, como los corrales cu´anticos, el confinamiento de los estados electr´onicos del material matricial representa un factor adicional, cuya relevancia debe ser analizada.

De hecho, es importante se˜nalar que el proceso de blindaje y, consecuentemente, la interacci´on entre impurezas, dependen de las propiedades locales del material matricial en los sitios ocupados por dichas impurezas. Como ya fue discutido, esas propiedades locales pueden ser alteradas por la presencia de las superficies o inter- faces, que dan origen a interferencias cu´anticas en los estados electr´onicos. En este caso, las condiciones de contorno relevantes son las debidas a las paredes del corral. A trav´es del c´alculo de diferencias de energ´ıa total, estudiamos la interacci´on entre dos impurezas no magn´eticas localizadas ambas en el corral el´ıptico, como se detalla a continuaci´on

Dentro del modelo de part´ıculas independientes, la energ´ıa total de un sistema electr´onico puede ser escrita como

E = X

k≤M

Ek, (4.14)

4.3 Energ´ıa de interacci´on entre impurezas no magn´eticas 40

un sitio dado l de un material matricial, resulta una variaci´on en la energ´ıa total ∆El = El− E0, (4.15)

donde El representa la energ´ıa total con la impureza en el sitio l y E0 la energ´ıa

total del material matricial. An´alogamente, encontramos que cuando dos impurezas son introducidas en los sitios l y m, la variaci´on en la energ´ıa total es

∆Elm = Elm− E0. (4.16)

donde Elm es la energ´ıa con las impurezas en los sitios l y m; y la energ´ıa de

interacci´on entre dos impurezas localizadas en los sitios l y m es dada por

Ilm = ∆Elm− ∆El− ∆Em. (4.17)

En el caso de sistemas macrosc´opicos, los t´erminos El y Elm son de mayor orden de

magnitud que ∆El ´o ∆Elm. En los sistemas que vamos a tratar esto no ocurre, de

modo que podemos escribir

Ilm = Elm− El− Em+ E0, (4.18) o tambi´en Ilm = X k≤M ³ E_klm− E_kl − E_km+ E_k0´. (4.19) Aqu´ı, Elm

k , Ekl, Ekmy Ek0representan las energ´ıas del k-´esimo estado en la presencia de

dos, una y ninguna impureza, respectivamente. En nuestros c´alculos, estas energ´ıas se obtienen por diagonalizaci´on num´erica del Hamiltoniano correspondiente a cada caso.

Para estudiar la energ´ıa de interacci´on entre dos impurezas en un corral el´ıptico, vamos a considerar la siguiente situaci´on: una impureza es mantenida fija en uno de los focos, digamos F1, y la segunda es colocada a lo largo del eje mayor de la elipse.

-0.01 -0.009 -0.008 -0.007 -0.006 -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 I(x,M = 16) x (a) -0.012 -0.010 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 I(x,M = 82) x (b) -0.012 -0.010 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 I(x,M = 91) x (c)

Figura 4.13: Las figuras muestran la energ´ıa de interacci´on I(x;M) entre las dos

impurezas en funci´on de sus posiciones (x) dentro de la elipse para M = 16 (a), M = 82 (b) y M = 91 (c).

cuyos focos estan en las posiciones F1 = (−28, 0) y F2 = (28, 0). La figura (4.13)

muestra la energ´ıa de interacci´on entre dos impurezas en funci´on de la posici´on de la segunda impureza. La variaci´on en el potencial en los sitios de las impurezas es ∆ε = −0,5. Se consideran tres densidades electr´onicas de la elipse no perturbada, dadas por M = 16 (figura 4.13a), M = 82 (figura 4.13b) y M = 91 (figura 4.13c), respectivamente. Algunos aspectos generales se deben destacar en el an´alisis de estos resultados. El primero es el hecho de que la energ´ıa de interacci´on presenta oscilaciones en funci´on de la distancia entre las impurezas, las cuales claramente dependen del valor de M. Esas oscilaciones son tales que, para diversas separaciones

4.3 Energ´ıa de interacci´on entre impurezas no magn´eticas 42

entre las impurezas, la energ´ıa de interacci´on es nula. Mientras tanto, el aspecto m´as interesante es el signo y la intensidad de esta interacci´on para distintos valores de

M. Notamos que cuando las separaciones entre las impurezas corresponden a pocos

par´ametros de red, la interaci´on entre ellas puede variar de signo, es decir, puede ser atractiva o repulsiva. Por lo tanto, para separaciones mayores las oscilaciones no alternan el signo de la interacci´on, que se torna negativa o positiva, como para

M = 16 y M = 82, o negativo como para M = 91. Particularmente interesante

es lo que ocurre cuando las impurezas ocupan segundos sitios vecinos. Vemos que la interacci´on puede ser entonces atractiva (como para M = 16) o repulsiva (como para M = 82 y M = 91). La intensidad de la interacci´on, cuando las impurezas ocupan los focos de la elipse, nuevamente depende de la densidad electr´onica del material matricial. En los tres casos considerados, vemos que solamente en el caso de M = 82 ocurre un aumento en la intensidad de la interacci´on, lo cual sugiere una contribuci´on relativamente importante del efecto de focalizaci´on en la elipse.

-0.010 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.000 0.002 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 I(x,M = 12) x (a) F2 -0.009 -0.008 -0.007 -0.006 -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0.000 0.001 0 5 10 15 20 25 30 35 I(x,M = 12) x (b) F2

Figura 4.14: Energ´ıa de interaci´on I(x,M) entre dos impurezas atractivas (∆ε =

−0,5), versus las posiciones x, para un corral el´ıptico con a=35, b=21. En el primer caso la primera impureza est´a fija en el foco izquierdo (−28, 0) (a) y cuando est´a en el centro (0, 0) de la elipse (b). En ambos casos, x est´a alej´andose a lo largo del eje mayor.

Una situaci´on semejante ocurre para M = 12. La figura (4.14) muestra la energ´ıa de interacci´on entre las impurezas en funci´on de la separaci´on entre ellas, cuando la primera est´a colocada en el foco F1 (figura 4.14a) y cuando est´a en el centro de

la elipse (figura 4.14b). Verificamos que, en el primer caso, la energ´ıa de interacci´on muestra un cierto aumento en su intensidad cuando la segunda impureza ocupa la posici´on F2, lo que claramente no se verifica en el segundo caso.

El an´alisis que presentamos aqu´ı de la interacci´on entre impurezas en corrales cu´anticos se basa ´unicamente en los resultados num´ericos, toda vez que el tratamien- to anal´ıtico del problema no se muestra factible. Un punto importante a ser destaca- do es la dependencia, tanto de la naturaleza como de la intensidad de la interacci´on entre los pares de la impureza, con los efectos de interferencias cu´anticas subsi- guientes al confinamiento de los estados electr´onicos en sistemas nanoestructurados.

´

Este es un ingrediente que puede afectar la distribuici´on de impurezas en una na- noestructura, al favorecer o evitar la formaci´on de los agregados de las impurezas.

Cap´ıtulo 5

Conclusiones

Estudiamos algunos efectos de la naturaleza cu´antica que ocurren en las na- noestructuras met´alicas. A lo largo de todo nuestro estudio adoptamos modelos simplificados para la descripci´on de la estructura electr´onica de los corrales cu´anti- cos con diferentes geometr´ıas, tales como circulares, rectangulares y el´ıpticos, que presentan efectos f´ısicos interesantes. La raz´on que nos llev´o a adoptar esta estrate- gia fue, por un lado, hacer que los mecanismos f´ısicos sean transparentes, evitando que los mismos puedan ser oscurecidos por la complejidad de modelos m´as realis- tas; por otro lado, buscamos simplificar el tratamiento num´erico de los problemas estudiados, lo que es particularmente importante en el tratamiento de los efectos de interferencias cu´anticas.

Focalizamos en primer lugar la formaci´on de una imagen cu´antica de impurezas no magn´eticas en corrales el´ıpticos. Tomando en cuenta que los efectos se deben fun- damentalmente a las interferencias cu´anticas en el interior de la elipse, estudiamos inicialmente el caso de una impureza no magn´etica colocada en diversos puntos en el interior de la elipse. Encontramos que la formaci´on de una imagen no depende solamente de la posici´on de la impureza, sino tambi´en de la densidad electr´onica del gas de electrones bidimensionales en la superficie del metal, o sea, del material

matricial. Analizamos, asimismo, los casos de corrales con diferentes formas, como circulares o rectangulares, en los cuales tambi´en se observa la formaci´on de imagenes cu´anticas, dependiendo de la posici´on de la impureza y del material matricial. Es decir, verificamos, analizando estos casos, que la formaci´on de im´agenes cu´anticas no se restringe a los corrales el´ıpticos y que, a´un en el caso de ´estos, dicha for- maci´on no necesariamente ocurre cuando la impureza ocupa uno de los focos. As´ı, la idea de utilizar corrales cu´anticos como transmisores de informaci´on depende de una elecci´on juiciosa de los materiales y, evidentemente, del posicionamiento co- rrecto de la impureza dentro del corral. En nuestro estudio, se revel´o un interesante fen´omeno: cuando una impureza colocada en uno de los focos de un corral el´ıptico representa, por ejemplo, un potencial perturbador atractivo, su imagen en el otro foco podr´a corresponder a un potencial de la misma naturaleza (esto es, atractivo) o de naturaleza opuesta (repulsivo), lo cual depende de la densidad electr´onica del material matricial.

Analizamos la interacci´on entre dos impurezas en el interior de un corral cu´antico. Para el caso de dos impurezas en un corral el´ıptico, donde una de ellas est´a situada en uno de los focos de la elipse, se observa que el efecto tambi´en se muestra dependien- te del posicionamiento de las impurezas y de la densidad electr´onica del material matricial.

Finalmente, nuestro trabajo abord´o diversas preguntas relacionadas a los efectos cu´anticos en nanoestructuras met´alicas. Entendemos que los resultados aqu´ı obtenidos contribuyen al mejor entendimiento de las propiedades electr´onicas de esos sistemas, cuya importancia cient´ıfica y tecnol´ogica es plenamente reconocida. Como perspec- tivas para trabajos futuros, mencionamos la realizaci´on de c´alculos para modelos m´as realistas, con el fin de lograr previsiones cuantitativas en estos sistemas.

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