En este momento del curso solamente necesitamos mostrar el efecto de una tensión tangen- cial, del tipo xy, sobre un elemento diferencial del material. Aunque este detalle podría pre- sentarse sin justificación por brevedad, se ha considerado preferible dar noticia del ensayo real que típicamente permite aplicar a un elemento diferencial del material un estado de ten- sión que solamente tenga la referida componente de tensión. Éste es el ensayo de torsión. El ensayo de torsión se realiza usualmente sobre una probeta maciza de geometría cilín- drica, aplicando un momento colineal con la directriz de la barra, que llamamos “momento torsor” y denotamos como “T”, y cuyo efecto es retorcer la barra en torno a su eje. Para los objetivos ilustrativos que perseguimos aquí, es más conveniente considerar una probeta cilíndrica hueca de pared delgada, sobre la que es igualmente posible realizar el ensayo. Teóricamente los resultados debieran ser análogos para ambas geometrías, pero debe tenerse noticia de que en la práctica, en el caso de sección de pared delgada, pueden apa- recer fenómenos de inestabilidad (abolladura de la pared del tubo) para cierto nivel del par torsor. Si la pared del tubo es muy delgada en comparación con el diámetro, dichos fenóme-
nos pueden aparecer antes de la plastificación del material. Para que esto no suceda, la relación diámetro “D” a espesor “e” debe ser menor que 50, orientativamente. Por otra parte, a los efectos del ensayo puede considerarse “de pared delgada” a los tubos con relación D/e mayor que 20, orientativamente. Asumimos que nuestro ensayo estará realizado sobre una probeta cuya relación D/e está entre esos valores, de forma que se alcance, al menos, la plastificación sin que aparezcan fenómenos de inestabilidad.
La figura 3.5a muestra un tubo de pared delgada sometido a un momento torsor T. La distri- bución de tensiones que se genera en una sección de la barra perpendicular a su eje, consta de un sistema de tensiones tangenciales que tienen la dirección circunferencial en el perfil, como justificaremos enseguida. Si definimos unos ejes que varíen de orientación con el punto de la barra considerado, de forma que x sea paralelo al eje de la misma, r tenga la dirección radial, y tenga la dirección circunferencial, entonces estas tensiones serían de componente x en cada punto. Se asume como aproximación que dichas tensiones son
constantes en el espesor por ser éste pequeño. Y por supuesto son constantes en la direc- ción circunferencial debido a la simetría axial del problema.
Es claro que las tensiones xx serán nulas: Por una parte, su resultante debe ser nula en la sección, para que la porción de barra que conside- remos esté en equilibrio. Por otra parte debe tener un valor constante debido a la simetría axial del problema. Ambas cosas sólo son posi- bles simultáneamente si xx=0 en todos los puntos.
Las figuras 3.5b y 3.5c muestran la justificación de que la tensión tangencial debe tener aproximadamente la dirección tangente a la línea media del perfil, es decir la dirección . La figura 3.5b muestra ampliado el elemento diferencial de la pared del tubo indicado en la figura 3.5a. Este elemento tiene dimensiones diferenciales en las direcciones x, , y abarca el pequeño espesor del tubo en la dirección r. Como se indica, la tensión rx es evidente- mente nula en las paredes interior y exterior del tubo, ya que no existe ninguna acción apli- cada sobre dichas superficies (que son superficies exteriores del sólido). Estos dos puntos están muy próximos en el sólido, ya que el espesor es pequeño. Dada la evolución continua que se espera para las variables del problema, es razonable asumir que entre esos dos pun- tos próximos de valor nulo, rx no puede crecer significativamente, y puede despreciarse.
Figura 3.5: Ensayo de torsión en una barra de perfil circular hueco de pared delgada
b)
c)
a)
xT
T
x
r
x
r
rx(=0)
xr(0)
x
r
Resistencia de Materiales
Pág. 33
Pero siendo rx = xr, ésta última también será despreciable, como indica la figura 3.5c. Por tanto, de las dos posibles componentes de tensión tangencial en la sección (xr y x ), xr es
despreciable. Luego x es la única a considerar, como pretendíamos justificar.
Existen otros razonamientos geométricos que permiten concluir que, de hecho, la tensión tangencial debe tener exactamente la dirección circunferencial, en esta geometría concreta. Dichos razonamientos se mencionarán en el tema posterior de torsión, aunque no se entrará en detalle. El razonamiento presentado aquí es de naturaleza aproxi- mada, pero es más versátil: es aplicable a las tensiones tangenciales de cualquier origen (torsión o flexión), y a cualquier perfil cerrado de pared delgada (circular o no). Su inclusión en este epígrafe en lugar de otros razonamientos más específicos obedece a dicha versatilidad. Entre las observaciones experimentales del ensayo cabe destacar que:
– 1) La barra no experimenta variaciones de longitud apreciables, y las secciones x=cte de la barra permanecen planas y sin cambios de dimensión apreciables.
– 2) En el tramo lineal, se observa proporcionalidad entre el par torsor aplicado y el ángulo girado entre dos secciones que se encuentran a una cierta distancia.
La figura 3.6b muestra el elemento diferencial con la tensión x aplicada en el plano paralelo
a la sección de la barra (la cual se vuelve a mostrar en la figura 3.6a por comodidad). El principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales exige que exista esa misma tensión en las otras caras del elemento diferencial, como muestra la figura 3.6c. En ella, además se muestra el efecto de estas tensiones. La primera observación experimental anterior, implica que los lados del elemento diferencial no experimentan cambios de longitud. Solamente hay cambio de ángulos.
La segunda observación experimental anterior conduce a que existe proporcionalidad entre la tensión x y el ángulo x. Esto es debido a que x es proporcional a T, y el ángulo girado
entre dos secciones es proporcional a x. A continuación justificamos las mencionadas pro-
porcionalidades.
Figura 3.6: Deformación de un elemento de la pared del tubo en el ensayo de torsión.
b)
x
r
xx
c)
x
x
x
xa)
xT
T
x
r
Si consideramos un elemento diferencial de área en la sección, de dimensiones R·d en sentido circunferencial (R es el radio exterior del tubo, aproximadamente igual al radio medio), y el espesor e en sentido radial, como muestra la figura 3.7a, vemos que el momento de la fuerza que actúa sobre el diferencial es (xeRd)·R, y el momento total será:
∫
02
xeR
2d=
xeR
2⋅2=T ⇒
x=
T
2R
2e
(3.7)Que expresa la proporcionalidad x ~ T. Por otra parte, considerando una longitud de barra
dx, y llamando al ángulo girado entre secciones por unidad de longitud de barra, ángulo que se mide en el ensayo, la figura 3.7b pone de manifiesto que el desplazamiento circunfe- rencial de un punto exterior de la sección derecha, suponiendo (sin pérdida de generalidad) que la sección izquierda no gira, será por una parte x dx, y por otra parte dx·R. Los ángu-
los x, dx,·se expresan en radianes. Por tanto:
x=⋅R
(3.8)Que expresa la proporcionalidad entre x y el ángulo de giro entre secciones por unidad de
longitud de barra que pretendíamos justificar.
Volviendo a la segunda observación experimental anterior, la proporcionalidad entre el par torsor aplicado T y el ángulo girado por unidad de longitud , implica la proporcionalidad entre la tensión x y el ángulo x, ya que de (3.7) y (3.8) se tiene que
σ
xθγ
xθ=2
1
πR
3e⋅
T
Θ
La constante de proporcionalidad entre estas magnitudes es una característica del material, que se llama “Módulo de Cortadura” y es denotada como G:
x
x=G
(3.9)Se puede demostrar que la constante G no es independiente de las otras constantes elásti- cas del material. Su valor en función de las ya conocidas E, , es:
Figura 3.7: a) Elemento diferencial de área en la sección. b) Desplazamiento circunferencial de un punto en función de dos ángulos diferentes
Rd
e
d
xa)
b)
xdx
dx
Resistencia de Materiales
Pág. 35
G=
E
22
(3.10)Aunque aquí omitimos esa demostración por brevedad, téngase noticia de que el comporta- miento del material isótropo queda completamente descrito por dos constantes elásticas. Se definen en la literatura diversas constantes elásticas por conveniencia, entre ellas G (otras posibles son el módulo de Lamé y el “módulo global”, a título informativo), pero siempre será posible expresar cualquiera de ellas en función de dos elegidas, no siendo “preferente” nin- guna pareja de ellas desde el punto de vista conceptual. En todo caso, (3.10) implica que para un acero será G = 2.1x105 / (2+0.6) = 0.81x105 MPa.