Para concluir, se muestra la equivalencia que hay entre la categoría de los módulos sobre un álgebra de caminos y la categoría de representaciones de un quiver, esto con el fin de ilustrar la utilidad de la teoría de representaciones de quivers en el estudio de la teoría de representaciones de álgebras.
Primero se construyen los functores
F :RepΓ→ModkΓ
H:ModkΓ→RepΓ
así:
Sea V = (Vi, fα)∈RepΓ se define entonces F(V) =F [(Vi, fα)] =
M
i∈Γ0
Vi como k-espacio vectorial.
Ahora se muestra, que efectivamente F[(Vi, fα)] ∈ M odkΓ, para esto se hace la siguiente construcción:
Cómo para cada flecha α : i → j se tiene una transformación lineal fα :Vi → Vj y además para cada i∈Γ0 se tienen las proyecciones
4.3 Equivalencia entre RepΓ y ModkΓ 43
v =v1⊕ · · · ⊕vi⊕vn −→vi
e inclusiones
ξi :Vi −→F [(Vi, fα)]
vi −→0⊕ · · · ⊕vi⊕0· · · ⊕0
Se obtiene la transformación lineal inducida por fα y la composición
fα :ξjfαπi :F[(Vi, fα)]−→F[(Vi, fα)]. Si i ∈Γ1 es un camino trivial se define
f
i :ξiIViπi :F [(Vi, fα)]−→F [(Vi, fα)]
dónde IVi es la función identidad en Vi. Así,fα, fi ∈Endk(F [(Vi, fα)]).
Observación: kΓ0 es una k-álgebra, siendo siendo esta el k-espacio vectorial generado por los caminos triviales i para i∈Γ0 y la multiplicación análoga a como se definió para kΓ. Además kΓ1, el espacio vectorial generado por todas las flechas α ∈Γ1 adquiere estructura de kΓ0-bimódulo definida así sobre los elementos base:
Si α:i→j ∈kΓ1 ,k ∈kΓ0 αk = α si k=j 0 si k 6=j kα= α si k=i 0 si k 6=i
Y se extiende por distributividad a los demás elementos de kΓ0 y kΓ1.
Se definen ahora
f1 :kΓ1 −→Endk(F [(Vi, fα)]), f2 :kΓ0 −→Endk(F [(Vi, fα)]) sobre los elementos básicos de la siguiente forma:
Siα∈kΓ1, f1(α) =fα, Sii ∈kΓ0, f2(i) =fi.
Extendiendo a los demás elementos, se obtiene que f2 es un homomorfismo dek-álgebras y f1 es un homomorfismo de kΓ0-bimódulos.
De esta, forma extendiendof1 y f2 se obtiene un homomorfismo
f :kΓ−→Endk(F [(Vi, fα)]) dónde por ejemplo, si p=α1α2 ∈kΓ, f(p) = fp =fα2 ◦fα1.
Así, se puede dotar con estructura de kΓ-módulo a F [(Vi, fα)] definiendo, si p ∈ kΓ, v ∈ F [(Vi, fα)] el producto por escalar así:
v·p:=fp(v). Resta por ver como definirF sobre los morfimos en RepΓ.
Sea h: (Vi, fα)−→(Vi0, f
0
α) un morfismo entre dos representaciones enRepΓ, entonces para cada i∈Γ0 se tienen las transformaciones lineales
hi :Vi −→Vi0 se obtiene la transformación lineal inducida
h:F [(Vi, fα)]−→F [(Vi0, f
0
α)],
definida por
h(v1⊕v2⊕ · · ·vn) = (h1(v1), h2(v2),· · · , hn(vn) )
Para cada flecha α : i → j, como h es un morfismo entre representaciones, se satisface la condición
hj ◦fα =fα0 ◦hi, por ende se obtiene que
h◦fα =f0
α◦h,
y así parap∈kΓ,
h◦fp =f0
4.3 Equivalencia entre RepΓ y ModkΓ 45 de donde, si v ∈F [(Vi, fα)] y p∈kΓ h(v·p) = hfp(v) =f0 p(h(v)) =h(v)·p
por tanto h es un homomorfismo de kΓ-módulos, por tanto si se define
F(h) = h
se puede probar sin dificultad que F es un functor entre RepΓ y M odkΓ.
Se construye ahora H:M odkΓ−→RepΓ.
Sea M ∈M odkΓ, cómo 1 =1+2+· · ·n es una suma de idempotentes ortogonales en kΓ, se tiene la descomposición
M = M
i∈Γ0
M i Si σ∈kΓ se tiene la aplicación f :M −→M definida por
f =mσ.
Si α : i → j es una flecha en Γ, sea x = mi ∈ M i, entonces xα = miα = mαj, por lo tanto se tiene la siguiente contenencia
(M i)α=M αj ⊂M j Así que α induce por restricción de f una transformación lineal
fα :M i −→M j.
Entonces se defineH(M) como la representación dada por los espacios vectorialesM i para cada i ∈ Γ0, junto con las transformaciones lineales fα : M i −→ M j para cada flecha α :i→j, es decir
H(M) := (M i, fα).
Si h:M →N es un morfismo en M odkΓ, y m∈M, h(mi) = h(m)i, por lo tanto se tiene la siguiente relación
h(M i)⊂h(M)i ⊂N i
Así, se obtiene por restricción una transformación lineal para cada i∈Γ0 hi :M i −→N i.
Si α : i → j es una flecha en Γ, como h es un homomorfismo de kΓ-módulos se tiene que para m∈M h(mα) = h(m)α, por ende hj(bα) = hi(b)α b∈M i, esto es fα0hi(b) =hjfα(b).
es decir el siguiente diagrama es conmutativo
M i fα hi // N i f0 α M j h j / /N j Entonces se define H(h) = {hi}i∈Γ0.
El cual es un morfismo entre H(M) y H(N) en RepΓ. Se puede probar que efectivamente H es un functor.
De esta forma, al construirse los functoresF y H se formula el siguiente teorema tomado de [5], el cual es el objetivo de este trabajo.
Teorema 4.3.1. (Equivalencia entre RepΓ y M odkΓ) Sea k un campo y Γ un quiver finito.
Entonces los functores F : RepΓ −→ M odkΓ y H : M odkΓ −→ RepΓ son equivalencias
inversas de categorías.
Demostración. Sea V = (Vi, fα)∈RepΓ, entonces
F(V)i =fi(F(V)) =ξi(Vi).
Como por cada flechaα :i→j en Γ se tiene una transformación lineal fα :Vi −→Vj
la cual induce una aplicación
fα :F(V)−→F(V)
la cual si se restringe aξ(Vi) da como resultado una transformación lineal
4.3 Equivalencia entre RepΓ y ModkΓ 47
y se obtiene el siguiente diagrama conmutativo
Vi fα ξi // ξi(Vi) fα0 Vj ξj // ξj(Vj)
Como H(F(V)) es la representación dada por los espacios vectoriales
iF(V) =ξ(Vi)
y las aplicaciones fα para i ∈ Γ0, α ∈ Γ1, se tiene que ξ = {ξi} es un isomorfismo natural ente V y HF(V), en consecuencia
HF ∼=IRepΓ.
Ahora, sean M, N ∈M odkΓ y sea f :M →N un homomorfismo de kΓ-módulos. F H(M) es el módulo dado por la suma directa de los espacios vectoriales M i la cual coincide con una descomposición de M, es decir
F H(M) = M i∈Γ0 M i, F H(N) = M i∈Γ0 N i.
Entonces si fi : M i → N i es la restricción de f a M i, se tiene el siguiente diagrama conmutativo M ∼ = f // N ∼ = L i∈Γ0M i f1⊕···⊕f//nL i∈Γ0N i
Para la clasificación de los módulos sobre una k-álgebra A , es suficiente clasificar los módulos indescomponibles sobre esta, debido a que todo A-módulo M se puede des- componer como una suma directa de módulos indescomponibles y esta descomposición es única salvo isomorfismo.
La categoría M odA de A-módulos finitamente generados sobre un k-álgebra, es una categoría abeliana.
Para cada quiver Γ existe unk-álgebra asociada, el álgebra de caminoskΓ, de esta forma se puede relacionar una estructura gráfica como lo es un quiver,con una estructura algebraica.
Si un quiver es finito, conexo y acíclico, el álgebra de caminos asociada a éste es isomorfa a un álgebra de matrices. Por este motivo, en muchas ocasiones los problemas de la teoría de representaciones de álgebras pueden ser abordados como problemas matriciales.
Los idempotentes de unk-álgebra juegan un papel crucial en el estudio de las represen- taciones, estos permiten realizar descomposiciones de los módulos sobre estas y además son utilizados en diversas caracterizaciones.
Las categorías RepΓ de representaciones de un quiver Γ y la categoría M odkΓ de módulos sobre el álgebra de caminos asociada a Γ son equivalentes, de esta forma, se prueba la utilidad de estudiar la teoría de representaciones de quivers para la teoría de representaciones de álgebras.
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