5. Álgebras cuasi-Hopf sobre grupos cíclicos
5.1.2. Equivariantización y de-equivariantización
SeaCuna categoría tensorial nita. Denotaremos porAutCa la categoría que tiene por objetos
las auto-equivalencias tensoriales de C, y cuyos morsmos son los isomorsmos de funtores tenso-
riales. Notemos que AutC es monoidal, donde el producto tensorial está dado por la composición
de funtores tensoriales.
Para cada grupoΓ denotaremos por Γ a la categoría cuyos objetos son los elementos de Γ, sus
Denición 5.1.10. Una acción de un grupo Γ en una categoría tensorial nita C es un funtor
monoidalF : Γ→AutC.
Esto es, una colección de funtores {Fg:g∈Γ} ⊂AutC, e isomorsmos
γg,h : Fg◦Fh ∼ //Fgh, g, h∈Γ,
que denen la estructura tensorial del funtorF.
Denición 5.1.11. SeaΓun grupo nito actuando sobre una categoría tensorial nitaC. Un objeto
Γ-equivariante de C es un objeto X ∈ C junto con una familia de isomorsmos ug : Fg(X) → X
tales que para todo par de elementosg, h∈Γ se tiene el siguiente diagrama commutativo:
Fg(Fh(X)) Fg(uh) // γg,h Fg(X) ug Fgh(X) ugh // X.
Un morsmo de objetos equivariantes β: (X,(ug)g∈Γ)→(Y,(vg)g∈Γ)es un morsmoβ :X →Y
enCtal que para todog∈Γ,β◦ug =vg◦Fg(β). La categoría deΓ-objetos equivariantes se denomina
la equivariantización deC, la cual denotaremosCΓ.
CΓ es una categoría tensorial con el producto tensorial (X,(u
g)g∈Γ)⊗(Y,(vg)g∈Γ) = (X ⊗
Y,(wg)g∈Γ), donde para cada g∈Γ,wg está dado por la composición
Fg(X⊗Y) ∼//Fg(X)⊗Fg(Y)
ug⊗vg //
X⊗Y . Notemos que CΓ admite una inclusión natural ι: Rep Γ→ CΓ.
Consideraremos el proceso inverso; para ello, sea D una categoría tensorial nita tal que Z(D)
contiene a Rep Γ como subcategoría Tannakiana, donde Γ es un grupo nito; esto es, la trenza de
Z(CΓ) se restringe a la trenza simétrica deRep Γ. Asumimos además que la composiciónRep Γ→
Z(D) → D es una inclusión. El álgebra F un(Γ,k) de funciones Γ → k es un álgebra enRep Γ:Γ
actúa sobre F un(Γ,k) por traslaciones a izquierda. Así, F un(Γ,k) es un álgebra en la categoría
trenzada Z(D).
Denición 5.1.12. La categoría deF un(Γ,k)-módulos en Dse llama la de-equivariantización de D, la cual denotaremosDΓ; es una categoría tensorial.
Nos será útil el siguiente resultado sobre equivariantización y de-equivariantización. En [DGNO, Prop. 4.19] puede encontrarse la prueba de este resultado y referencias a otros trabajos.
Teorema 5.1.13. (i) Sea Γ un grupo nito que actúa sobre una categoría tensorial nita C.
Entonces Rep Γ es una subcategoría Tannakiana de Z(CΓ), y la composición de esta inclusión Rep Γ→ Z(CΓ) con el funtor de olvidoZ(CΓ)→ CΓ es la inclusión natural ι.
(ii) Los procedimientos de equivariantización y de-equivariantización son naturalmente inversos: (CΓ)
Ejemplo 5.1.14. Describiremos cómo obtener de-equivariantizaciones de ciertas categorías semi- simples. Más allá que no trabajaremos sobre estas categorías, trabajaremos luego con categorías no semisimples que las incluyen.
Consideremos una acción de un grupo Γ sobre la categoría C = VecK,ω, donde K es un grupo
abeliano y ω∈H3(K,k×). Nuestro objetivo es describir acciones tales queCΓ sea punteada. Para
ello seguiremos el trabajo sobre categorías duales [N], dado que por [Ni] se tieneCΓ∼= (C
oΓ)∗C. En
nuestro contexto, obtenemos queΓdebe ser abeliano, con lo cual Rep Γ∼= VecΓb. A partir de [N], la
acción de bΓsobre K es trivial, con lo cual CoΓ∼= Vec K×Γb.
Probaremos que existe una correspondencia entre las extensiones de grupos deK por Γb, y las
equivariantizaciones según acciones de Γsobre C.
Denotemos los elementos simples deC simplemente con los elementos de K. Asumimos que la acción sobre los objetos es trivial; esto es, Fγ(X) =X para todo objetoX y todoγ ∈Γ. Siguiendo
la descripción dada en [T, Section 7], la acción está descrita por un elementoψ∈H2(Γ,Kb):
ψ(γ1, γ2) :Fγ1 ◦Fγ2 →Fγ1γ2, γi ∈Γ.
A partir de la estructura tensorial de cadaFγ obtenemos un elemento ξ∈H2(K,Γ)b ,
ξ(k1, k2)(γ) :Fγ(k1)⊗Fγ(k2) =k1+k2 →Fγ(k1+k2) =k1+k2,
donde ki∈K, γ∈Γ.
Por otro lado, notemos queF P dim(CΓ) =|Γ|F P dimC =|Γ||K|(ver [EO] para la denición y
propiedades de la dimensión de Perron-Frobenius en categorías tensoriales), con lo cual CΓ tiene
|Γ||K| objetos simples no isomorfos. Tales objetos son pares (k,(uγ)γ∈Γ), para algunos escalares
uγ ∈ k× que satisfacen uγ1uγ2 = ψ(γ1, γ2)(k)uγ1+γ2. Luego dos objetos simples (k,(uγ)γ∈Γ) y (k,(vγ)γ∈Γ) están relacionados por un elemento f ∈ Γb tal que vγ = uγf(γ) para todo γ ∈ Γ,
y son isomorfos si y sólo si f = 1. Luego podemos identicar objetos simples en CΓ como pares (k, f)∈K×Γb.
Para cadak jo, existen |Γ|elementos (k,(uγ)γ∈Γ), y
ψ(γ1, γ2)(k) =uγ1uγ2u
−1
γ1+γ2 =ψ(γ2, γ1)(k).
Asíψ(γ1, γ2) =ψ(γ2, γ1)para todo parγi ∈Γ, y por [T] se tiene queξ(k1, k2) =ξ(k2, k1)para todo
parki ∈K. Los elementos deH2(K,Γ)b parametrizan extensiones centrales deK porΓb, y siL es la
extensión correspondiente aξ,Les abeliano. Más aún, podemos identicarCΓ = Vec
L,ωe para algún e
ω ∈H3(L,k×), dado que el producto tensorial enCΓ satisface, bajo las consideraciones anteriores: (k1, f1)⊗(k2, f2) = (k1+k2, f1+f2+ξ(k1, k2)), ki ∈K, fi ∈bΓ.
Más aún, ωe es el pullback deω bajo la proyecciónπ :L→K que corresponde a la extensión, dado
que el funtor de olvido CΓ→ C es tensorial, lo cual también puede obtenerse de [N].
Notar queψ∈H2(Γ,Kb)es el elemento correspondiente a la extensión dualLb de Γpor Kb.
Además, dado un morsmoT :Γb→Lb tal que para todo par f1, f2 ∈Γb,
la funciónω :K3 →k× dada por
ω(k1, k2, k3) =hT(ξ(k2, k3)),(k1,0)i, ki∈K,
dene un elemento en H3(K,k×), que también denotaremos por ω. El pullback
e
ω es trivial en H3(L,k×). De hecho, si consideramos la funciónα:L×L→k× dada por
α((k1, f1),(k2, f2)) =hT(f2),(k1, f1)i=hT(f2),(k1,0)i,
entonces δ2(α) =ωe. Así,C
Γ∼= Vec
L, y tenemos una inclusión Rep Γ∼= VecbΓ,→ Z(VecL)∼= VecL⊕Lb,
la cual, al componer con el funtor de olvidoCΓ = Vec
L, da lugar a la inclusión canónica Rep Γ,→ VecL, de modo que tenemos una inclusión de gruposbΓ,→L⊕Lb, que compuesta con la proyección
en la primer componente da lugar a la inclusiónΓb,→L.
Ejemplo 5.1.15. Recíprocamente consideramos la de-equivariantización de D= VecL, jada una
inclusiónRep Γcomo subcategoría Tannakiana deZ(VecL)∼= VecL⊕Lb, donde nuevamenteΓyLson
grupos abelianos. Sea K el correspondiente cociente, donde también asumimos queK es abeliano. En consecuencia tenemos una inclusión ι:Γb→L, y un morsmoT :bΓ→Lb, tal que para todo par
f1, f2 ∈ bΓ, hT(f1),(0, f2)i = 1. Tal T parametriza los morsmos naturales c•,V : • ⊗V → V ⊗ •
para cadaV ∈Rep Γ, visto como elemento deD.
ConsideramosL como una extensión deK porΓb, de manera que ιes la inclusión canónica, y es la
extensión correspondiente a ξ ∈ H2(K,bΓ). El álgebra A = Fun Γes la suma directa A= ⊕f∈ b
Γkf
visto como elemento de Vec b
Γ, con el producto canónico, y podemos considerar A = ⊕f∈bΓk(0, f)
dentro deD. De acuerdo a las consideraciones anteriores, DΓ∼= VecK,ω para algún ω∈H3(K,k×).
El funtor F : D → DΓ, F(X) = A⊗X es monoidal, donde los isomorsmos naturales JX,Y :
F(X)⊗F(Y) → F(X ⊗Y) corresponden a los isomorsmos naturales inducidos por T más la multiplicación enA. Por el axioma (1.1) se tiene que
ω(k1, k2, k3) =hT(ξ(k2, k3)),(k1,0)i. (5.9)