Tal como se mencion´o en la Sec. 1 (p´ag. 21) los par´ametros provenientes de la soluci´on orbital espectrosc´opica que inciden directamente en el c´alculo te´orico de la velocidad del mov. apsidal son: M1sen3i, e, q, a1sen i, a2sen i, v1sen i y v2sen i. Para cuantificar como se propagan las incertezas en estos par´ametros en los c´alculos te´oricos de ˙ω y en el c´alculo de las masas de los sistemas, se utiliz´o el m´etodo de Montecarlo. Se describe a continuaci´on detalladamente c´omo se aplic´o este m´etodo en el caso del sistema HD 165052.
En primer lugar se gener´o un conjunto de 1000 valores artificiales aleatorios con una dis- tribuci´on normal, para cada uno de los par´ametros apenas mencionados, con un valor medio y una desviaci´on est´andar iguales a las obtenidas en el ajuste de la soluci´on orbital. Combinando tambi´en de manera aleatoria esos valores, se generaron 1000 vectores de la forma
dn = (M1sen3in, en, qn, a1sen in, a2sen in, v1sen in, v2sen in)
con 1 ≤ n ≤ 1000. Luego, se eligi´o un valor de M1 y una edad t para el sistema que estuvieran dentro de los rangos considerados m´as probables para el mismo. Concretamente, en este caso se tom´o 20 ≤ M1 ≤ 25 M y 1 ≤ t ≤ 2 Ma (recu´erdese que para determinar las masas de este sistema se supuso que la edad fuera 1.5 Ma, valor que llamaremos aqu´ı t0).
Despu´es, se obtuvieron de la grilla de modelos te´oricos calculados con masa inicial M1 y con edades ligeramente menores o mayores que t, los valores de la constante de estructura interna k2,1, la luminosidad total L y la temperatura efectiva Tef f para cada modelo. Luego se interpol´o linealmente entre dichos modelos para obtener los valores de estas variables para la edad t. Debe notarse que el c´odigo de evoluci´on estelar calcula internamente k2,1, L y Tef f para cada modelo. Las interpolaciones que mencionamos fueron necesarias simplemente porque no siempre hab´ıa modelos que tuvieran exactamente la edad t. La diferencia de edades entre modelos consecutivos en este rango de edades era del orden de 0.03 Ma.
Usando los valores de L y Tef f hallados para t, el radio R1 se calcul´o simplemente a partir de la expresi´on
L = 4πR21σTef f4
A continuaci´on se sigui´o un procedimiento an´alogo para la masa M2= qM1, del cual se obtuvo k2,2 y R2 para la edad t.
Luego, con esos datos de entrada se realizaron, para cada uno de los vectores dn, las siguientes operaciones:
1. usando M1sen3in y qn se calcul´o la funci´on de masa fn;
Figura B.1: Histograma de los valores te´oricos de la velocidad del mov. apsidal en HD 165052 para
M1 = 21.5 M y una edad de 1.5 Ma. L´ınea de trazos azules: gaussiana ajustada con valor medio
2.551 × 10−4 y desviaci´on est´andar 0.066 × 10−4.
3. con fn, la masa M1escogida, a sen iny ense calcul´o el segundo t´ermino (t´ermino relativista) en la suma del lado derecho de la ec. (1.13);
4. se evaluaron las funciones f2(en) y g2(en) de la ec. (1.6);
5. utilizando los valores de k2,1, k2,2, R1 y R2 determinados en los p´arrafos anteriores se evalu´o el tercer t´ermino (de marea) de la ec. (1.13);
6. con las velocidades de rotaci´on proyectadas v1,2sen iny los radios R1,2se estim´o la raz´on de las velocidades angulares de rotaci´on de las estrellas: (Ω2/Ω1)n≈ (v2sen in/v1sen in)(R1/R2);
7. se calcul´o el cuarto t´ermino (rotacional) de la ec. (1.13);
8. sumando los t´erminos relativista, de marea y rotacional de la ec. (1.13) se obtuvo el valor te´orico de la velocidad el movimiento apsidal, relativa a la velocidad angular orbital, o sea
˙ ω Ω
n para dn.
A modo de ejemplo, los resultados de este c´alculo se representan en la Fig. B.1 para el caso M1 = 21.5 M , t = t0 = 1.5 Ma. All´ı se grafican, en forma de un histograma, los Ωω˙
n obtenidos. Como cab´ıa esperarse, se observa una distribuci´on que es bien representada por una gaussiana, para la cual se calcul´o una desviaci´on est´andar σt= 0.066 × 10−4. Consideramos que esta dispersi´on es una estimaci´on razonable de la incerteza en el c´alculo te´orico de la velocidad del mov. apsidal.
Todo el c´alculo anterior se repiti´o para M1 = 20, 21.5, 22.5, 23.5 y 25 M , y para t = 1, 1.5 y 2 Ma, obteni´endose desviaciones comprendidas en el rango 0.045 ≤ σt≤ 0.082 × 10−4, con una mediana de valor σt= 0.069 × 10−4.
N´otese que en el ajuste reportado en la Tabla 3.1, la incerteza en la determinaci´on obser- vacional de ˙ω fue 0.0009° d−1, de donde se desprende que la incerteza observacional en ωΩ˙ fue σo = 0.074 × 10−4. Es decir que ambas incertezas, la te´orica y la observacional, son muy probablemente similares.
Veremos ahora cu´anto afecta al c´alculo de la masa del sistema esta incerteza en los c´alculos te´oricos de la velocidad del mov. apsidal. Una estimaci´on de ello puede realizarse asumiendo que la densidad de probabilidad del valor te´orico de Ωω˙, que denotaremos como y ≡ ω˙
Ω, para un determinado valor de M1, siga una distribuci´on normal y por tanto sea de la forma
z(y, M1) = 1 σy √ 2πexp −(y − ¯y) 2 2σ2 y , (B.1)
donde ¯y y σy son respectivamente el valor medio y la desviaci´on est´andar de y.
Notemos ahora en la Fig. 3.5 que las isocronas trazadas, que se˜nalan la dependencia de ¯y con respecto a M1 para un t fijo, son pr´acticamente lineales si las variaciones de masa corresponden a incrementos en ¯y del orden de algunos σy. Esto nos permite asumir que en la ec. (B.1) podemos poner ¯y en funci´on de M1 usando una relaci´on del tipo
¯
y = aM1+ b (B.2)
donde, para un t fijo, a y b ser´an constantes en un entorno peque˜no de M1. De este modo, la ec. (B.1) se convierte en z(y, M1) = 1 σy √ 2πexp −(y − aM1− b) 2 2σ2 y
Para encontrar ahora la distribuci´on de densidad como funci´on de M1, en una primera aproxima- ci´on, fijamos y en el valor observado de Ωω˙ que aqu´ı llamaremos yo. Realizando luego algunas operaciones algebraicas sencillas, la exponencial de la ´ultima ecuaci´on se transforma en
exp " −[M1− (yo−b) a ] 2 2 σy a 2 #
Recordemos ahora que en nuestro an´alisis de este sistema determinamos la masa de la compo- nente primaria, que aqu´ı denotaremos M1o, a partir de la intersecci´on de la curva isocrona para t = t0 con la recta horizontal y = yo de la Fig. 3.5. Esto implica que en dicha figura, el punto (M1o, yo) debe pertenecer a la recta (B.2), y por lo tanto debe cumplirse (yoa−b) = M1o.
Por otra parte, si adem´as llamamos σM1 al cociente
σy
a, resulta que la ´ultima exponencial puede escribirse como
exp " −[M1− M1o] 2 2σ2 M1 #
Lo cual muestra que corresponde a una gaussiana con valor medio M1o y desviaci´on est´andar
σM1 =
σy
a. (B.3)
Consideraremos a σM1 como una estimaci´on adecuada de la incerteza introducida en el valor
de M1 obtenido por el m´etodo del mov. apsidal, debida a la incerteza en el valor te´orico de ωΩ˙ calculado para esa M1.
Para estimar σM1 tomamos la isocrona te´orica de
˙ ω
Ω para t = t0 = 1.5 Ma, seleccionamos los puntos de la misma pertenecientes al intervalo 21.5 ≤ M1 ≤ 23.5 M , les ajustamos una recta, y obtuvimos a = 0.183 × 10−4. Por otra parte, asumimos σy = 0.069 × 10−4 ≈ σt, reemplazamos estos valores en la ec. (B.3) y encontramos
σM1 = 0.4 M .
Considerando todos los valores hallados para σt, se encuentra que 0.25 ≤ σM1 ≤ 0.45 M .
Cuando se determin´o la masa de este sistema (ver p´ag. 43) se estim´o un error en la masa de ±1 M debido a la incerteza en la edad del sistema. Aqu´ı hemos visto que dicho error es probablemente alrededor del doble del error introducido por los c´alculos te´oricos de la velocidad del mov. apsidal.