II. Representaciones topol´ ogicas de ´ algebras con implicaci´ on
8.3. Espacios implicativos 3-valuados
En esta secci´on asociamos a cada ´algebra ∆-implicativa de Lukasiewicz trivalente un espacio topol´ogico enriquecido con ciertos objetos distinguidos, que llamamos espacio implicativo 3-valuado. Definimos la noci´on de funci´on entre dos espacios implicativos 3-valuados y demostramos que para todo homomorfismo entre ´algebras ∆-implicativas de Lukasiewicz trivalentes, existe una funci´on entre los respectivos espacios implicativos 3-valuados asociados. Con estos resultados, definimos un funtor contravariante de la categor´ıa de las ´algebras ∆-implicativas de Lukasiewicz trivalentes a la categor´ıa cuyos objetos son los espacios implicativos 3-valuados.
Consideremos en primer lugar un ´algebra de Lukasiewicz trivalente L. La siguiente relaci´on entre los filtros implicativos de L y los subconjuntos cerrados del espacio de Stone del ´algebra de BooleB(L) de los elementos complementados de L, se deduce en forma inmediata de la Proposici´on 8.1.3 y el Lema 6.1.3, definiendo κ=ϑ◦η.
Lema 8.3.1. Sea L∈ L3. La transformaci´on
κ: F(L)→C(St(B(L)))
definida por κ(D) = C∆D = {U ∈St(B(L)) : ∆D⊆U} es un isomorfismo de orden
dual del conjunto F(L) de todos los filtros implicativos de L en el conjunto C(St(B(L))) de todos los subconjuntos cerrados del espacio de Stone St(B(L)), ordenados ambos conjuntos por inclusi´on.
Sea A un ´algebra ∆-implicativa de Lukasiewicz trivalente. Consideremos su clausura trivalenteCL3(A), el filtro generado por A en CL3(A), Fg(A), y la familia de filtros maximales M(A) del Lema 8.2.8. Para cada D∈M(A), consideremos el cerradoκ(D) =
C∆D definido en el Lema 8.3.1, y sea
C(A) = {C∆D :D∈M(A)}.
Definimos
F(A) :=hSt(B(CL3(A))), VCL3(A),∆ Fg(A),C(A)i,
donde VCL3(A) = {U ∈ St(B(CL3(A))) : CL3(A)/Fg(U) ∼= L2}. Observemos que las
siguientes propiedades se satisfacen en el espacio F(A):
(1) del Teorema 8.1.8 tenemos que hSt(B(CL3(A))), VCL3(A)i es un espacio booleano
3-valuado,
(2) del Teorema 8.2.4 tenemos que ∆ Fg(A)∈VCL3(A),
(3) del Lema 8.2.8 y del Lema 8.3.1 sabemos quehSt(B(CL3(A))),∆ Fg(A),C(A)ies un espacio implicativo (§6.2.2).
Las propiedades verificadas por F(A) motivan la definici´on de espacio implicativo
3-valuado.
Definici´on 8.3.2. Llamaremos espacio implicativo 3-valuado a una 4-upla hX, V, u,Ci
tal que:
(1) hX, Vi es un espacio booleano 3-valuado, (2) u es un elemento fijo deX tal que u∈V, (3) hX, u,Ci es un espacio implicativo, esto es,
(a) C es una anticadena, con respecto a la inclusi´on, de cerrados de X tales que
T
C ={u},
(b) si C es un cerrado deX tal que para cada N ∈Clop(X), que verifique C⊆N
implica que existeD∈ C tal que D⊆N, entonces existe D0 ∈ C tal que D0 ⊆C. De las observaciones realizadas antes de la definici´on, tenemos el siguiente resultado.
Proposici´on 8.3.3. SiAes un ´algebra∆-implicativa de Lukasiewicz trivalente, entonces
F(A) es un espacio implicativo 3-valuado.
Ejemplo 8.3.4. El espacio implicativo 3-valuado del ejemplo 8.2.6 es
VCL3(A) F g(A) C∆F g(A) y el del ejemplo 8.2.7 es VCL3(A) F g(A) C∆D1 C∆D2
Ahora definiremos la noci´on de morfismo entre dos espacios implicativos 3-valuados. El siguiente resultado, que es conocido en la literatura, sobre homomorfismos de ´algebras de Lukasiewicz trivalentes ser´a necesario.
Lema 8.3.5. Si L y L0 son ´algebras de Lukasiewicz trivalentes y h: L
→ L0 es un homomorfismo, entonces h(B(L)) ⊆ B(L0) y la restricci´on h0: B(L) → B(L0) de h a
B(L) es un homomorfismo booleano.
Sean A1, A2 ∈ L{→3 ,∆} y
h: A1 →A2
un homomorfismo de ´algebras ∆-implicativas de Lukasiewicz. Consideremos el homomor- fismo de ´algebras de Lukasiewicz trivalente
ˆ
h: CL3(A1)→CL3(A2)
definido en el Corolario 8.2.5. Sabemos del Lema 8.3.5, que la restricci´on h0 de ˆh a
B(CL3(A1)), esto es,
h0:B(CL3(A1))→B(CL3(A2)) es un homomorfismo booleano. Definimos
F(h) :F(A2)→F(A1)
Proposici´on 8.3.6. Sea h: A1 →A2 un homomorfismo de ´algebras ∆-implicativas de Lukasiewicz trivalentes. La funci´on F(h)
hSt(B(CL3(A2))), VCL3(A2),∆ Fg(A2),C(A2)i → hSt(B(CL3(A1))), VCL3(A1),∆ Fg(A1),C(A1)i
satisface las siguientes condiciones: (1) F(h) es i-continua, esto es,
(a) F(h) es continua,
(b) F(h)(∆ Fg(A2)) = ∆ Fg(A1),
(c) para todo C ∈ C(A1) existe D∈ C(A2) tal que D⊆F(h)−1[C],
(2) F(h)(VCL3(A2))⊆VCL3(A1).
Demostraci´on. De la dualidad de Stone es sabido que F(h) es continua.
En el Corolario 8.2.5 vimos que ˆh−1[Fg(A2)] = Fg(A1). Luego,
F(h)(∆ Fg(A2)) =h0−1(∆ Fg(A2)) = ˆ hB(CL3(A1)) −1 (∆ Fg(A2)) = ∆ Fg(A1).
Consideremos ahora C∆F ∈ C(A1). Luego,F ∈M(A1). Veamos en primer lugar que
F(h)−1[C∆F] =C∆ Fg(h0(∆F)), esto es, el cerrado perteneciente a la familia C(A2) que le
corresponde al filtro implicativo generado por h0(∆F) en CL3(A2). En efecto,
U ∈F(h)−1[C∆F] si y s´olo siF(h)(U)∈C∆F si y s´olo si
∆F ⊆F(h)(U) si y s´olo si ∆F ⊆h0−1(U) si y s´olo si h0(∆F)
⊆U.
Veamos ahora que Fg(h0(∆F))
⊆A2. Para ello consideremos el subconjunto
D={a∈A2: a ≥b para alg´un b∈h0[∆F]} ⊆A2.
Veamos que D es un filtro implicativo de CL3(A2). Es claro que 1 ∈ D y que D es creciente. Seana, c∈D. Luego existen f1, f2 ∈F tales que
a≥h0(∆f1) yc≥h0(∆f2).
Luego,a∧c≥h0(∆f
1)∧h0(∆f2) =h0(∆f1∧∆f2). Como F es un filtro implicativo de CL3(A1) entonces ∆f1 ∧∆f2 ∈F, y por lo tanto, a∧c∈ D. Seaa ∈D. Luego existe
f ∈F tal que a≥h0(∆f). Entonces,
∆a ≥∆h0(∆f) =h0(∆f),
y por lo tanto ∆a ∈D.
Luego, D es un filtro implicativo de CL3(A2). Adem´as, Fg(h0[∆F])⊆D. En efecto, seax∈Fg(h0[∆F]). Luego, existeny
i ∈h0(∆D), 1≤i≤r∈N, tales que x≥ r ^ i=1 yi = r ^ i=1 h0(∆fi) =h0 ∆ r ^ i=1 fi ! ,
dondefi ∈ F, para todo i. Como F es un filtro implicativo de CL3(A1), tenemos que
Vr
i=1fi ∈F. Por lo tanto, x∈D.
En consecuencia, Fg(h0[∆F])
⊆ A2. Del Lema 8.2.8, m´as espec´ıficamente, de la
propiedad (3) deM(A2) establecida en ese lema, sabemos que existe H ∈M(A2) tal que Fg(h0[∆F])
⊆H. De donde resulta que
C∆H ⊆C∆ Fg(h0(∆F))=F(h)−1[C∆F].
Hemos probado que F(h) es una funci´on i-continua.
Demostremos ahora que F(h) VCL3(A2)
⊆VCL3(A1). SeaU ∈F(h) VCL3(A2)
, esto es,
U =h0−1(V) para alg´unV ∈V
CL3(A2). Consideramos los homomorfismos
CL3(A1) πU ˆ h // CL3(A2) πV // CL3(A2)/Fg(V)∼= L2 CL3(A1)/Fg(U) 2 2 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
donde πU y πV son los epimorfismos can´onicos. Observemos que los homomorfismos
πV ◦ˆh y πU son epiyectivos. Vamos a ver ahora que Fg(U) = Nuc(πV ◦ˆh). Notemos
quea∈CL3(A1) verifica que a∈Nuc(πV ◦hˆ) si y s´olo si a∈ˆh−1(Fg(V)). Observemos
adem´as que Fg(U) = Fg(h0−1(V)). Luego, lo que vamos a ver es que
Fg(h0−1(V)) = ˆh−1(Fg(V)).
Sabemos de serh0−1(V) un ultrafiltro del ´algebra de BooleB(CL3(A
1)), que Fg(h0−1(V))
es un filtro implicativo maximal deCL3(A1). Por otro lado, ˆh−1(Fg(V)) es un filtro im-
plicativo propio, ya que tambi´en Fg(V) es maximal enCL3(A2). Adem´as, Fg(h0−1(V))⊆
ˆ
h−1(Fg(V)). En efecto, si x∈Fg(h0−1(V)) entonces existen y
i ∈h0−1(V) tales que x≥ r ^ i=1 ∆yi.
Como todos los elementos deh0−1(V) son booleanos, sabemos que ∆y
i =yi. Entonces, ˆ h(x)≥ r ^ i=1 ˆ h(yi) = r ^ i=1 h0(yi), pues h0 = ˆh B(CL3(A1)). Adem´as, h 0(y
i) ∈ V, para todo i. Luego, ˆh(x) ∈ Fg(V), y en
consecuencia,x∈ˆh−1(Fg(V)).
Luego, Fg(h0−1(V)) = ˆh−1(Fg(V)). Por lo tanto, CL3(A1)/Fg(U) ∼= L2, esto es,
U ∈VCL3(A1).
La proposici´on anterior motiva la definici´on de morfismo entre dos espacios implicativos 3-valuados.
(1) f es i-continua, esto es, (a) f es continua, (b) f(u1) =u2,
(c) para todo C∈ C2 existeD∈ C1 tal que D⊆f−1[C],
(2) f(V1)⊆V2.
Si f es i3-continua y adem´as es un homeomorfismo tal que su inversa tambi´en es una funci´on i3-continua, entonces diremos que f es un i3-homeomorfismo.
La siguiente proposici´on es inmediata del Lema 8.3.6.
Proposici´on 8.3.8. SiA1,A2 ∈ L3{→,∆} yh: A1 →A2 es un homomorfismo de ´algebras
∆-implicativas de Lukasiewicz trivalentes, entonces la aplicaci´on F(h) :F(A2)→F(A1) es una funci´on i3-continua.
Corolario 8.3.9. Si f: hX1, V1, u1,C1i → hX2, V2, u2,C2i es i3-continua tal que f es un
homeomorfismo. Entoncesf es un i3-homeomorfismo si y s´olo si f verifica que para todo
D∈ C1 se tiene que f[D]∈ C2 y si f(V1) =V2.
Demostraci´on. Supongamos quef esi3-homeomorfismo, y seaD∈ C1. Comof−1: X2 → X1 es un funci´on i3-continua, sabemos que existe C∈ C2 tal que
C ⊆(f−1)−1[D] =f[D].
Por la maximalidad de los elementos deC2, tenemos que C =f[D] y en consecuencia
f[D]∈ C2.
Supongamos ahora que f verifica que para todo D ∈ C1 se tiene que f[D]∈ C2 y si
f(V1) = V2. Notemos que si f es un homeomorfismo entonces trivialmente se verifica
f−1(V
2) = V1. Consideremos D ∈ C1. Buscamos C ∈ C2 tal que C ⊆ f[D]. Pero por
hip´otesis podemos tomar C =f[D]∈ C2 que verifica la condici´on trivialmente.
De la Proposici´on 8.3.3, de la Proposici´on 8.3.8 y del hecho que St es un funtor, obtenemos la siguiente proposici´on.
Proposici´on 8.3.10. Sea D3 la categor´ıa cuyos objetos son ´algebras ∆-implicativas de
Lukasiewicz trivalentes y E3 la categor´ıa de los espacios implicativos 3-valuados cuyos
morfismos son las funciones i3-continuas. Entonces F: D3 →E3, A1 /o F/o /o // h hSt(B(CL3(A1))), VCL3(A1)),∆ Fg(A1),C1i A2 F / / /o /o /o hSt(B(CL3(A2))), VCL 3(A2)),∆ Fg(A2),C2i. F(h)=St(h0) O O es un funtor contravariante.
El objetivo de las pr´oximas secciones ser´a probar que F es una equivalencia natural