Espectro de potencia

De los exponentes complejos de FourierX[k] _{de la Ecuación (4) podemos definir el}

periodograma como:

[k] =|X[k]|2=X[k]·X∗[k] . (10)

Considerando que la señal es un proceso estocástico estacionario, el periodograma es una estimación cruda de ladensidad de potencia espectral _{de la señal (el espectro}

de potencia). En la Sección 3.1.2 se enfatizó que la FT es no redundante. Esto significa que si se tiene una señal real con N _{puntos, la FT entrega} N _{valores independientes}

(o N/_{2 coeficientes complejos) desde los que se puede obtener la señal original de}

regreso. No se gana o pierde información. Esto es cierto tanto para señales lineales, como no lineales. Sin embargo, es bien conocido que la FT sólo es adecuada para señales lineales y no puede caracterizar patrones no lineales.

De acuerdo a la Ecuación (6) donde se muestra que los coeficientes de Fourier pue- den ser escritos en forma polar en términos de amplitud y fase. Una señal estacionaria no lineal, por ejemplo, una secuencia de picos epilépticos, es representada en el domi- nio de Fourier como una suma de senoidales, cada una de ellas sumado con una fase particular para reproducir las formas de pico no lineales. Pero si ignoramos las fases, perdemos información crítica que caracteriza el patrón no lineal de la señal original (i.e. los picos). Ahora, de acuerdo a la Ecuación (10), que es únicamente el cuadrado de la amplitud de los coeficientes de Fourier definidos en la Ecuación (6). El problema es que usualmente miramos el espectro de potencia de la señal y descartamos la fase. Es esta la razón por la que perdemos información sobre las estructuras no lineales con la FT. Pero incluso si mantenemos la información de la fase, la representación de los patrones no lineales como sumas de senoidales con fases particulares, parece algo incómodo. En la práctica, la FT es utilizada para extraer las características lineales de las señales y se recurre a métodos alternativos para estudiar los procesos no lineales.

3.1.6. Fuga y ventanas

Anteriormente se mencionó que el periodograma es una estimación cruda del es- pectro de potencia. En el ejemplo de la Figura 24, la senoidal (a) presenta un número exacto de ciclos en el período de 0.5 s de la señal y su periodograma (b) muestra un pico exacto a los 6Hz. La senoidal (c), por otro lado, tiene un número no entero de ci- clos en el período considerado y su periodograma (d) muestra una actividad esparcida entre los 2 y 8 Hz. Este efecto de la estimación del espectro de potencia es conocido como fuga. 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Tiempo (s) 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 a) 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Tiempo (s) 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 c) 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Frecuencia (Hz) 20 0 5 10 15 b) 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Frecuencia (Hz) 20 0 5 10 15 d)

Figura 24. Ejemplo del efecto de fuga: a) La senoidal presenta un número entero de ciclos y b) su espectro de potencia presenta un sólo pico en 6 Hz. c) La senoidal presenta un número no entero de ciclos y d) su espectro de potencia es esparcido alrededor de 5 Hz.

Para entender de dónde viene el efecto de fuga, primeramente es necesario notar que cada señal real tiene una duración limitada y que cuando calculamos la transfor- mada discreta de Fourier, así mismo, se asume de manera implícita que la señal se repite a si misma periódicamente fuera del rango de tiempo en el que fue registrada. La idea básica es que el discretizar la señal (como se hace al muestrearla) impone que

la FT será periódica, y discretizar las frecuencias (como también se hace, debido a que no podemos obtener una distribución contínua de frecuencias para datos reales) im- pone periodicidad en el dominio del tiempo (Oppenheim y Schaffer, 1999). Si la señal senoidal de la esquina superior izquierda de la Figura 24 es repetida una y otra vez, resultará en una senoidal suave, debido a que para este caso el punto de inicio es exactamente la continuación del punto final. Por el contrario, si la señal de la esquina superior derecha de la Figura 24 es repetida, se introducirán discontinuidades, mismas que causan el efecto de fuga. En otras palabras, si se pretende sintetizar la señal de la esquina superior derecha de la Figura 24, incluyendo las discontinuidades causadas por la repetición, es necesario utilizar en principio todas las componentes del espectro y especialmente aquellas entre 2 y 8 Hz.

0 2 4 6 8 Rectangular Bartlett Hanning Hamming Blackman

Figura 25.Ventanas comúnmente utilizadas para disminuir el efecto de fuga.

Una manera simple de evitar que ocurra tal efecto, sería tomando un número en- tero de ciclos. Sin embargo, las señales reales tienen actividad a frecuencias distintas y es en general imposible definir una sola periodicidad. Una alternativa para evitar tales discontinuidades es mediante el recorte de los bordes de la señal utilizando una función ventana apropiada. Sin embargo, al aplicar ventanas para disminuir el efecto de fuga, se sacrifica la resolución en frecuencia. Una formulación matemática precisa se encuentra fuera del campo de este documento (ver (Oppenheim y Schaffer, 1999;

Jenkins y Watts, 1968)) pero intuitivamente podemos ver que un recorte excesivo de la señal disminuye la duración efectiva de la misma en la que distintas fecuencias es- tán definidas y, como se muestra en la Ecuación (8), la longitud de la señal determina su resolución en frecuencia. Varias ventanas han sido propuestas para optimizar este sacrificio y sus ventajas y desventajas dependiendo de la aplicación. Entre ellas, las ventanas más populares son Barlett, Hanning, Hamming y Blackman, como se muestra en la Figura 25. Para una revisión a profundidad de las mismas, referirse a (Oppenheim y Schaffer, 1999; Jenkins y Watts, 1968).

3.2. Distribuciones de datos

Los instrumentos de medición son utilizados para llevar a cabo el monitoreo de pro- piedades físicas cuya naturaleza es continua, ya que el mundo que nos rodea también lo es. Sin embargo, cuando se utilizan instrumentos de medición digitales, es necesa- rio discretizar las mediciones tanto en magnitud como en tiempo, con la finalidad de que estas puedan ser registradas.

Existen propiedades físicas que por su naturaleza presentan fluctuaciones en seg- mentos cortos de tiempo, lo cual puede resultar inconveniente al llevar a cabo medi- ciones. Esto ocurre especialmente cuando el instrumento de medición digital cuenta con una resolución temporal lo suficientemente alta para detectar tales fluctuaciones, y además, el fenómeno bajo estudio no requiere detalle en cuanto a las variaciones de la propiedad medida en segmentos de tiempo cortos, sino que, por lo contrario, se pre- tende estudiar la evolución de dicho fenómeno, en segmentos de tiempo extendidos definidos de acuerdo a la aplicación.

Una alternativa para tal escenario, es guardar un conjunto de lecturas entregadas por el instrumento digital, y posteriormente calcular una serie de valores, que puedan arrojar información del comportamiento del grupo de datos, contenidos en el segmento de tiempo analizado. Tales valores son conocidos como momentos de una distribución.

Cuando un conjunto de valores presenta una tendencia central alta. Es decir, una tendencia a agruparse alrededor de un valor particular, entonces puede resultar útil caracterizar el conjunto por sus momentos estadísticos.

3.2.1. Parámetros de localización

En los análisis estadísticos, resulta una tarea fundamental estimar parámetros de localización para la distrubución de datos, por ejemplo encontrar un valor típico o central que describa de mejor manera el conjunto de datos.

El parámetro de localización mejor conocido es la media de los valores ₁, ..., N,

que se calcula como sigue:

¯ = 1 N N X j=₁ j , (11)

que estima el valor alrededor del cual el agrupamiento central ocurre. Cabe mencio- nar que la media no es el único estimador disponible de esta cantidad, y tampoco necesariamente el mejor. Para valores tomados de una distribución con “colas” muy anchas, la media puede converger pobremente o no converger, conforme los datos se incrementan.

Existen estimadores alternativos como la mediana, que se calcula a partir de los valores ₁, ..., _{N encontrando el valor} _{ que presenta la misma cantidad de valores}

mayores y menores que él. Por supuesto, esto resulta imposible cuandoN _{es par. En}

ese caso, convencionalmente la mediana se estima como la media de los dos valores centrales únicos. Si los valores _j, j = ₁, ..., N _{se encuentran ordenados en orden}

ascendente (o descendente), entonces la mediana se calcula de acuerdo a la siguiente Ecuación: _med=      ₍N₊₁₎/₂, N impar 1 2(N/2+(N/2)+1), N par . ₍₁₂₎

Si una distribución presenta una fuerte tendencia central, de tal forma que la mayor parte de su área se encuentra debajo de un pico, la mediana es un estimador del valor central.

3.2.2. Parámetros de dispersión

En los análisis estadísticos, resulta útil estimar parámetros de dispersión, ya que son indicadores de la cantidad de variación esperada e indirectamente expresan el rango de valores posibles en la medición.

Una vez caracterizado el valor central de una distribución, convencionalmente se caracteriza su variabilidad alrededor de tal valor. De igual manera en este caso, más de una medición se encuentra disponible. El parámetro de dispersión más común es la varianza, que se calcula mediante la Ecuación:

V r(₁, ..., N) = 1 N₋₁ N X j=₁ (j−¯)2 , (13)

o su raíz cuadrada, la desviación típica, que se calcula como sigue:

σ(₁, ..., _N) =ÆV r(₁, ..., _N) . ₍₁₄₎

La Ecuación (13) estima la desviación cuadrática media de _{a partir de la media.}

3.2.3. Parámetros de forma

Los parámetros de forma nos muestran cómo la dispersión se encuentra distribuida con respecto a la localización. Estos nos indican si nuestra variación es simétrica o asimétrica con respecto a la media.

La oblicuidad caracteriza el grado de asimetría de una distribución alrededor de su media. Mientras la media y desviación típica son mediciones dimensionales, es decir, tienen las mismas unidades que las cantidades medidas _{j, la oblicuidad está}

definida convencionalmente de tal forma que es adimensional. Es un número puro que caracteriza únicamente la forma de la distribución. La definición usual está dada por la siguiente Ecuación:

Ske(₁, ..., N) = 1 N N X j=_{1 } j−¯ σ 3 , ₍₁₅₎

donde σ = σ(₁, ..., _N) _{es la desviación típica de la distribución, representada por}

la Ecuación (14). Un valor positivo de oblicuidad significa una distribución con una cola asimétrica extendiendose hacia _{más positivas; por otro lado, un valor negativo}

significa una distribución cuya cola se extiende hacia _{más negativas (ver Figura 26,}

izquierda). Oblicuidad Positiva Negativa Kurtosis Positiva (leptokurtica) Negativa (platykurtica)

Figura 26.Tipos de oblicuidad y kurtosis.

Por supuesto, cualquier conjunto de N_{valores medidos es muy probable que tenga}

un valor diferente de cero para la Ecuación (15), incluso si la distribución subyacente es de hecho simétrica (presenta oblicuidad cero). Para que la Ecuación (15) sea sig- nificativa, es necesario tener una idea de su desviación típica como un estimador de la oblicuidad de la distribución subyacente, sin embargo, desafortunadamente esto depende de su forma.

La kurtosis es también una cantidad adimensional. Esta mide la tendencia de la distribución a ser plana, o por lo contrario presentarse en forma de pico con respec- to a una distribución normal. Una distribución con kurtosis positiva es denominada

leptokurtica_{, mientras que si la distribución presenta kurtosis negativa se denomina} platykurtica_{(ver Figura 26, derecha).}

La kurtosis se calcula utilizando la siguiente Ecuación: K r t(₁, ..., _N) = ( 1 N N X j_{=1 } j−¯ σ 4) −3 , ₍₁₆₎

donde el término −3 origina que su valor sea cero cuando es calculada para una dis- tribución normal.

3.3. Técnicas de proyección 3D-2D

Las técnicas de proyección 3D-2D son representaciones sistemáticas de toda o par- te de la superficie de un cuerpo redondo en un plano, es decir, una reubicación de puntos de un espacio tridimensional a uno bidimensional. Debido a que no es posible llevar a cabo este proceso sin introducir distorsión al mapa resultante, quien requie- re hacer la proyección, debe elegir la característica o características a conservar de manera precisa, con el costo de sacrificar otras.

Existen una gran cantidad de técnicas de proyección, sin embargo, no es posible establecer que existe una técnica que genere mejores mapas que el resto, incluso resulta riesgoso establecer que existe una proyección que genere los mejores mapas para una aplicación específica.

Las siguientes características son comúnmente consideradas al elegir una técnica de proyección dependiendo de la aplicación:

Área: Muchas técnicas de proyección están diseñadas para conservar las áreas, por ejemplo, al colocar una moneda de cualquier tamaño en el mapa resultan- te, esta cubre exactamente la misma área en cualquier otra parte del mapa. En este tipo de proyecciones, las formas, ángulos y escala se encuentran conse- cuentemente distorsionadas, aunque usualmente existen algunas partes de estos mapas que conservan tales características correctamente o casi correctamente.

Forma: Muchas de las más comunes e importantes proyecciones son ortomór- ficas, en estas normalmente los ángulos locales relativos sobre cada punto del mapa resultante son mostrados correctamente. Aunque un área grande podría

encontrarse distorsionada en forma, sus pequeñas características son conserva- das. En este tipo de mapas las áreas son generalmente amplificadas o reducidas en ciertas partes del mapa, pero pueden ser correctas a lo largo de ciertas líneas, dependiendo de la proyección. Se dice que ningún mapa puede conservar las áreas y ser ortomórfico a la vez (Snyder, 1987).

Escala: Ninguna técnica de proyección genera un mapa que muestre la escala co- rrectamente en todas partes, sin embargo, existen usualmente una o más líneas en el mapa a lo largo de las cuales la escala se conserva. Mediante la selec- ción apropiada de la ubicación de tales líneas los errores de escala en cualquier otro lugar pueden ser minimizados, aunque algunos errores pueden seguir siendo grandes, dependiendo del tamaño del área proyectada y la técnica de proyección. Son llamadas proyecciones equidistantes.

Dirección: Mientras los mapas ortomórficos muestran las direcciones locales rela- tivas correctamente en cualquier punto dado, existe un grupo de proyecciones de mapas llamado azimutal (o zenital), en el que las direcciones de todos los puntos del mapa se muestran correctamente respecto al centro. Una de estas proyec- ciones también conserva las áreas, otra es ortomórfica, y otra es equidistante. También hay proyecciones en las cuales las direcciones desde dos puntos son correctas, o en las que las direcciones desde todos los puntos hacia uno o dos puntos seleccionados son correctas, pero estas son raramente utilizadas.

Características especiales: Varias proyecciones de mapas proveen características especiales que ninguna otra proyección ofrece. En la proyección gnomónica, to- dos los caminos circulares que representan las rutas más cortas entre puntos de una esfera, son mostrados como líneas rectas. En las estereográficas, todos los circulos, pequeños o grandes, son mostrados como círculos en el mapa. Algu- nas otras proyecciones fueron diseñadas especialmente para mostrar la esfera completa en un cuadro, elipse, triángulo o alguna otra figura geométrica.