Capítulo 3. Configuraciones de espirales
3.4. Espiral de Fermat
La espiral de Fermat es una variante de la espiral de Arquímedes y en coordenadas polares puede ser expresada como (Lekkaset al., 2013) :
donde aes una constante y se considera que a>0. El caso de la espiral de Fermat es un caso interesante por sus características presentadas a continuación. Considerando que=1 y tomando únicamente la parte positiva de la ecuación 12, cuando se elige una distancia angular entre elementos consecutivos igual aπ(3−p5)radianes, se ob- tiene una configuración como la que se muestra en la figura 21. El ánguloπ(3−p5) radianes es conocido como ángulo dorado y al emplearlo se obtiene una distribución eficiente en donde no existen elementos con la misma posición angular respecto al origen. Esta configuración sigue un patrón similar a las semillas de girasol y ha sido objeto de atención en varias áreas de investigación (Martinez-Graulleraet al., 2009).
Figura 21.Espiral de Fermat en versión continua y muestreada, N=32
Con esta espiral, es posible ubicar a los elementos a distancias mínimas entre sí mientras se mantiene una distribución eficiente. En este caso, las coordenadas polares del enésimo elemento en la espiral de Fermat pueden ser expresadas como (Gabrielli y Hernandez-Figueroa, 2016): r(n) = d d14 p n (13) θ(n) =nπ(3−p5) (14)
en donde θ(1) = π(3− p5) es el ángulo dorado y d14 = p5−4cosθ(3) es un factor normalizado elegido a fin de que d sea la distancia mínima entre elementos. Se usa n =1,2....N, dejando fuera al elemento n =0. Una distribución de 32 elementos en espiral de Fermat empleando las ecuaciones 13 y 14 se puede observar en la figura 22 en donde se eligió unadmn =0.5λ.
Figura 22.Espiral de Fermat condmn=0.5λ, N=32
Es posible observar que los elementos se distribuyen en el plano de una manera eficiente, es decir, mantienen una distancia entre vecinos no uniforme y los espacios vacíos no son demasiado grandes ni en el centro ni en las orillas de la espiral.
Como se mencionó, las coordenadas polares de cada elemento en la configuración de la figura 22 fueron obtenidas con las ecuaciones 13 y 14 y se muestran en la tabla 5.
Tabla 5.Coordenadas polares de 32 elementos en la espiral de Fermat condmn=0.5λ Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas
r/λ θ(rad) r/λ θ(rad) r/λ θ(rad) r/λ θ(rad) 1 0.31 2.40 9 0.93 21.59 17 1.28 40.79 25 1.56 59.99 2 0.44 4.79 10 0.98 23.99 18 1.32 43.19 26 1.59 62.39 3 0.54 7.19 11 1.03 26.39 19 1.36 45.59 27 1.62 64.79 4 0.62 9.59 12 1.08 28.79 20 1.39 47.99 28 1.65 67.19 5 0.69 11.99 13 1.12 31.19 21 1.43 50.39 29 1.68 69.59 6 0.76 14.39 14 1.16 33.59 22 1.46 52.79 30 1.70 71.99 7 0.82 16.79 15 1.20 35.99 23 1.49 55.19 31 1.73 74.39 8 0.88 19.19 16 1.24 38.39 24 1.52 57.59 32 1.76 76.79
Para calcular el factor de arreglo se puede emplear la ecuación 3 de la sección 2.2, al igual que con las otras dos espirales. En este caso, se necesitan las coordenadas rectangulares de cada elemento las cuales pueden ser obtenidas a partir de las coor- denada polares de la tabla 5 y utilizando las ecuaciones 9 y 10.
Dichas coordenadas rectangulares para cada elemento se presentan en la tabla 6. Tabla 6.Coordenadas rectangulares de 32 elementos en la espiral de Fermat condmn=0.5λ
Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas
x/λ y/λ x/λ y/λ x/λ y/λ x/λ y/λ 1 -0.23 0.21 9 -0.86 0.35 17 -1.28 0.05 25 -1.48 -0.47 2 0.03 -0.43 10 0.41 -0.89 18 0.93 -0.93 26 1.44 -0.66 3 0.32 0.42 11 0.30 0.98 19 -0.06 1.35 27 -0.62 1.49 4 -0.61 -0.10 12 -0.93 -0.54 20 -0.89 -1.07 28 -0.55 -1.55 5 0.58 -0.37 13 1.09 -0.24 21 1.41 0.19 29 1.48 0.78 6 -0.19 0.73 14 -0.67 0.95 22 -1.20 0.83 30 -1.65 0.43 7 -0.38 -0.73 15 -0.15 -1.19 23 0.32 -1.46 31 0.93 -1.46 8 0.82 -0.30 16 0.95 0.80 24 0.76 1.32 32 0.29 1.74
Considerando que todos los elementos son alimentados con la misma amplitud y fase y empleando una configuración con 32 elementos en donde sus posiciones se obtienen de la tabla 6, se obtuvo el patrón de radiación del factor de arreglo mostrado a continuación.
Figura 23.Factor de arreglo en configuración de espiral de Fermat, N=32,dmn=1λ,ϕ=0◦
El nivel de lóbulo lateral es de -17.1 dB y el ancho de haz presenta un valor de 16.8◦. En esta configuración, el tamaño de la apertura depende de la cantidad de elementos y dicha apertura se hace más grande conforme aumenta el número de elementos a fin de mantener la distancia mínima establecida. Para establecer una apertura predefini- da, se pueden emplear las expresiones que se muestran a continuación.
A fin de ubicar a los elementos dentro de una área predefinida, las coordenadas polares del enésimo elemento pueden ser expresadas como (Martinez-Graulleraet al., 2009):
r(n) =R0Ænθ(n) (15)
θ(n) =nπ(3−p5) (16)
donde R0 es un valor constante, que permite lograr un tamaño de apertura deseado, y está definido por (Graullera et. al., 2009):
R0=
D
2q(N−1)π(3−p5)
(17) en donde Des el diámetro de la apertura y N es el número de elementos. Una con- figuración en espiral de Fermat empleando las expresiones 15 y 16 se muestra en la figura 24 en donde se eligióD=3λ y N=32.
Figura 24.Espiral de Fermat con D=3λy N=32
Se puede notar que todos los elementos se encuentran dentro del diámetro de aper- tura requerida (3λ) aunque los elementos no mantienen una distancia mínima como en el caso anterior. De este modo, en esta sección han sido presentadas dos confi- guraciones de tipo espiral de Fermat en donde una permite establecer una distancia mínima entre elementos y la otra permite obtener un diámetro de apertura requerido. Las coordenadas polares de cada elemento se presentan en la tabla 7.
Tabla 7.Coordenadas polares de 32 elementos en la espiral de Fermat con diámetro de aperturaD=3λ
Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas r/λ θ(rad) r/λ θ(rad) r/λ θ(rad) r/λ θ(rad) 1 0.26 2.40 9 0.80 21.59 17 1.11 40.79 25 1.34 59.99 2 0.38 4.79 10 0.85 23.99 18 1.14 43.19 26 1.37 62.39 3 0.46 7.19 11 0.89 26.39 19 1.17 45.59 27 1.40 64.79 4 0.53 9.59 12 0.93 28.79 20 1.20 47.99 28 1.42 67.19 5 0.60 11.99 13 0.97 31.19 21 1.23 50.39 29 1.45 69.59 6 0.66 14.39 14 1.00 33.59 22 1.26 52.79 30 1.47 71.99 7 0.71 16.79 15 1.04 35.99 23 1.29 55.19 31 1.50 74.39 8 0.76 19.19 16 1.07 38.39 24 1.32 57.59 32 1.52 76.79
las coordenadas rectangulares de cada elemento para así obtener el factor de arreglo a partir de la ecuación 3 de la sección 2.2. Las coordenadas rectangulares de cada elemento se presentan en la tabla 8, las cuales se obtuvieron a partir de la tabla 7 y aplicando las expresiones 9 y 10.
Tabla 8.Coordenadas rectangulares de 32 elementos en la espiral de Fermat con diámetro de apertura
D=3λ
Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas Elemento Coordenadas
x/λ y/λ x/λ y/λ x/λ y/λ x/λ y/λ 1 -0.19 0.18 9 -0.74 0.30 17 -1.10 0.04 25 -1.28 -0.40 2 0.03 -0.37 10 0.36 -0.77 18 0.80 -0.80 26 1.24 -0.58 3 0.28 0.37 11 0.26 0.85 19 -0.05 1.17 27 -0.53 1.29 4 -0.53 -0.09 12 -0.80 -0.46 20 -0.77 -0.92 28 -0.48 -1.33 5 0.50 -0.3 13 0.94 -0.21 21 1.22 0.16 29 1.28 0.67 6 -0.17 0.63 14 -0.57 0.82 22 -1.03 0.72 30 -1.42 0.38 7 -0.32 -0.63 15 -0.13 -1.03 23 0.27 -1.26 31 0.80 -1.26 8 0.71 0.26 16 0.82 0.69 24 0.66 1.14 32 0.26 1.50
Considerando que todos los elementos son alimentados con la misma amplitud y fase y empleando una configuración con 32 elementos en donde sus posiciones se obtienen de la tabla 8, se obtuvo el patrón de radiación del factor de arreglo mostrado en la figura 25. En este caso, el nivel de lóbulo lateral obtenido es de -17 dB y el ancho de haz presenta un valor de 19.6◦.
Hasta este punto ha sido posible notar que las configuraciones en espiral de Fermat tienen una apertura menor en comparación con la espiral logarítmica y la espiral de Arquímedes cuando se utiliza la misma cantidad de elementos. Esto se logra gracias a la mejor distribución de elementos que la caracteriza. De este modo, para obtener una distribución aperiódica eficiente con la espiral de Fermat, únicamente se ha requerido establecer una distancia angular entre elementos igual al ángulo dorado y la distancia de cada elemento al origen se obtiene por una simple expresión. Esto es algo que no puede realizarse con los otros dos tipos de espirales presentadas en esta sección.
Figura 25.Factor de arreglo en configuración de espiral de Fermat, D=3λ, N=32,ϕ=0◦
3.5. Discusión
Tres tipos distintos de espirales fueron presentadas en este capítulo. Se pudo ob- servar que la espiral logarítmica es inadecuada en el diseño de un arreglo de antenas bidimensional aperiódico debido a la naturaleza exponencial que presenta en cada gi- ro. La espiral de Arquímedes presenta una mejor distribución con respecto a la espiral logarítmica, sin embargo, es necesario utilizar algún método adicional para ubicar a los elementos de forma que éstos no compartan la misma posición angular mientras se mantiene una distribución eficiente. Esto causa que la sencillez disminuya en dicha configuración y que el método se vuelva más complejo conforme se incluyen más ele- mentos en el arreglo. El presente trabajo pretende utilizar una distribución eficiente en donde no se requiera algún método adicional en la ubicación de los elementos más que las coordenadas polares de cada elemento. La espiral de Fermat presenta una dis- tribución eficiente cuando se trabaja con el ángulo dorado. De esta forma, únicamente se necesita calcular las coordenadas de cada elemento de acuerdo a las ecuaciones mostradas en esta sección, las cuales son sencillas y no aumentan su complejidad cuando se requiere trabajar con más elementos de antena. En comparación con la espiral logarítmica y la espiral de Arquímedes, la espiral de Fermat tiene la principal ventaja de que se puede fijar una distancia mínima entre elementos o determinar un diámetro de apertura requerido mientras se mantiene una distribución eficiente,. Ade-
más, los valores obtenidos en el factor de arreglo muestran que la espiral de Fermat presenta un mejor desempeño en nivel de lóbulo lateral. De esta manera, la espiral de Fermat es la configuración más adecuada para un arreglo de antenas práctico y será la configuración empleada en el estudio de las prestaciones de radiación de un arreglo en configuración en espiral que comprende el siguiente capítulo.
Capítulo 4.
Diseño de arreglos de antenas en configura-
ción tipo Espiral
4.1. Introducción
En los capítulos anteriores se señalaron las restricciones en ancho de banda, direc- cionamiento del haz principal y distancia mínima en arreglos de antenas bidimensio- nales periódicos. Se mencionó que un arreglo con configuración tipo espiral de Fermat podría eliminar estas restricciones. Se mostró el fundamento teórico de algunos pa- rámetros y conceptos en el área de arreglos de antenas y se comparó a la espiral de Fermat con otras espirales de modo que se pudiera conocer por qué la espiral de Fermat presenta mejores características para el diseño de un arreglo de antenas ape- riódico.
En esté capítulo se presentará el diseño y los resultados obtenidos en arreglos de antenas en configuración tipo espiral de Fermat. Se analizarán las prestaciones obtenidas con el objetivo de conocer si esta configuración es útil para eliminar las res- tricciones presentes en un arreglo bidimensional periódico. El patrón de radiación es analizado inicialmente a nivel de factor de arreglo. Esto es útil para conocer las presta- ciones de radiación obtenidas con la configuración en espiral, independientemente del elemento de antena. Posteriormente se utiliza el software CST, un simulador de onda completa en donde se incluye el elemento de antena y se calcula así el patrón total de un arreglo con 32 elementos. En todos los casos, el corte del patrón de radiación es en ϕ=0◦, barriendo en el ángulo de elevación θ.
Debido a que el elemento de antena determinado para el presente trabajo tiene su máximo dirigido a 180◦ en el ángulo de elevaciónθ, el factor de arreglo será analizado en todos los casos en el intervalo 90◦≤θ≤270◦ recordando la propiedad de simetría que éste presenta.