3. Funciones Spline en la soluci ´on de sistemas EDR de segundo orden
3.3. Estabilidad del M´etodo
Para estudiar las propiedades de estabilidad del m´etodo que se indica, hacemos un peque ˜no cambio del valor inicial y estudiamos los cambios en la soluci ´on num´erica producida por el m´etodo. Se define la aproximaci ´on de funciones splineW4(x),W˜4(x)
W4(x)≡Wk(x) = Wk−1(xk) +Wk0−1(xk)(x−xk) + r X i=0 Nk(i)(x−xk) i+2 (i+ 2)! (3.26) ˜ W4(x)≡W˜k(x) = W˜k−1(xk) + ˜Wk0−1(xk)(x−xk) + r X i=0 ˜ Nk(i)(x−xk) i+2 (i+ 2)! (3.27) donde Nk(i) = f1 xk, Wk−1,W˜k−1(xk), Wk−1(g(xk)) (3.28) ˜ Nk(i) = f2 xk, Wk−1, Wk−1(xk),W˜k−1(g(xk)) (3.29) con W−1(x0) =y∗0, W˜−1(x0)=z0∗, W−1(g(x0))=φ(g(x0)), W˜−1(g(x0))=˜φ(g(x0)), W−01(g(x0)) =φ0(g(x0)), W˜−01(g(x0)) = ˜φ0(g(x0)).
Por otro lado, utilizaremos la siguiente notaci ´on:
e∗ =|S4(x)−W4(x)|, e∗k =|S4(xk)−W4(xk)| (3.30)
˜
e∗ =|S4(x)−W4(x)|, e˜k∗ =|S˜4(xk)−W˜4(xk)| (3.31)
En el siguiente lema, damos la forma para la cota superior del error absoluto entre dos soluciones aproximadas.
Lema 3.3.1 ([7]) Sean e∗(x),e˜∗(x) definidos como en la ecuaci´on (3.30) y (3.31), entonces existen constantesd1, d2 de manera que cumplen las siguientes desigualdades:
e∗ ≤ (1 +hd1)e∗k+he ∗0 k e∗ 0 ≤ hd2e∗k+e ∗0 k ˜ e∗ ≤ (1 +hd˜1)˜e∗k ˜ e∗ 0 ≤ (hd˜2e˜∗k+ ˜e ∗ k+hd˜2e∗k Prueba
Usando las ecuaciones (3.2)-(3.5), (3.7)-(3.10), (3.27)-(3.31), la prueba del Lema se realiza
en forma similar a la prueba del Lema (3.2.1)
Usando la definici ´on (2.2.2) y la notaci ´on matricial E∗(x) = [e∗(x) e∗ 0 (x) e˜∗(x) ˜e∗ 0 (x)]T, E∗ k = [e ∗ e∗0 ˜e∗ e˜∗0]T
y de las desigualdades sealadas en lema (3.3.1), se obtiene:
E∗(x)≤(I+hB)Ek∗ (3.32)
dondeI yBson matrices definidas como en la ecuaci ´on (3.24). Aplicando norma se tiene:
kE∗(x)k ≤(1 +hkBk)kEk∗k
Como esta inecuaci ´on se cumple para cualquierx[a, b], estableciendox = xk+1, se
obtiene:
kEk+1∗ k ≤(1 +hkBk)kEk∗k
Usando el Lema (2.2.1) se obtiene:
kEk+1∗ k ≤(1 +hkBk)k+1kE∗ 0k ≤(1 +hkBk (b−a) n ) n ≤(ekBk(b−a)−1)kE∗ 0k=d6kE0∗k
Donded6 =ekBk(b−a)−1es una constante. Usando la definici ´on (2.2.2), las desigual-
dades del lema 3.3.1 se reescriben de la siguiente manera:
e∗(x)≤d6kE0∗k, e∗
0
(x)≤d6kE0∗k, e˜∗(x)≤d6kE0∗k, ˜e∗
0
As´ı de todo lo visto anteriormente llegamos al siguiente teorema:
Teorema 3.2 ([7]) sean S4(x),S˜4(x) dadas por las ecuaciones (3.7) y (3.8), las so-
luciones aproximadas del sistema (3.1) con las condiciones iniciales y(x0) = y0,
z(x0) = z0 y sean W4(x),W˜4(x), dadas por las ecuaciones (3.27) y (3.27), las
soluciones aproximadas para el mismo problema con las nuevas condiciones inicia- les y∗(x0) = y0∗, z∗(x0) = z0∗ entonces se cumplen las siguientes inecuaciones:
|S4(q)(x)−W4(q)(x)| ≤d7kE0∗k |S˜4(q)(x)−W˜4(q)(x)| ≤d8kE0∗k
para todox ∈ [a, b], q = 0,1, . . . , r+ 1, E0∗ = max{|y0 −y0∗|,|z0 −z0∗|} y d7, d8 son
constantes.
PruebaSe procede en forma similar que el teorema 2.2
Esto muestra que un peque ˜no cambio en la condici ´on inicial genera peque ˜nos cambios en las soluciones, lo cual indica que el m´etodo es estable.
3.4.
Algoritmo
Algoritmo 2Algoritmo Spline para la EDR de segundo orden
Entrada: Un entero positivo n, el intervalo [a, b], los valores iniciales y0, z0, histy0, histz0, derivhisty0, derivhistz0y el gradordel spline;
Salida: los vectores soluci ´on y, z del sistema (2.3), correspondientes al vector nodox de la partici ´on[a, b]
1: h←(b−a)/n; x[0]←a; y[0]←y0; z[0]←z0
2: yd[0] ← derivhisty0; zd[0] ← derivhistz0 #derivadas de los hist ´oricos en las variablesy, z
3: yr[0]←histy0; zr[0]←histz0 #retardos en las variablesy, z 4: k←0 5: mientrask ≤(n−1)hacer 6: y[k+ 1]←y[k] +yd[k]; z[k+ 1]←z[k] +zd[k]; i←0 7: yr[k+ 1] ←yr[k]; zr[k+ 1]←zr[k] 8: x[k+ 1]←x[k] +h∗(k+ 1) 9: mientrasi≤rhacer 10: M Y[k, i]←f1(i)(x[k], y[k], z[k], yr[k]) 11: y[k+ 1]←y[k+ 1] +M Y[k, i]∗(x[k+ 1]−x[k])i+2/f act(i+ 2) 12: yr[k+ 1]←yr[k+ 1] +M Y[k, i]∗(g(x[k+ 1])−x[k])i+1/f act(i+ 1) 13: M Z[k, i]←f2(i)(x[k], y[k], z[k], zr[k])) 14: z[k+ 1] ←z[k+ 1] +M Z[k, i]∗(x[k+ 1]−x[k])i+2/(i+ 2)! 15: zr[k+ 1]←zr[k+ 1] +M Z[k, i]∗(g(x[k+ 1])−x[k])i+1/f act(i+ 1) 16: i←i+ 1 17: fin mientras
18: yd[k + 1] = Sk0−1(x[k])(x[k + 1] − x[k]) # derivada del segmento del spline obtenido
19: zd[k+ 1] =Sek0−1(x[k])(x[k+ 1]−x[k])
20: k ←k+ 1
3.5.
Aplicaci ´on num´erica
A continuaci ´on, se muestra un ejemplo num´erico para ilustrar la exactitud y estabi- lidad del m´etodo propuesto, considerando el sistema de segundo orden de ecuaciones diferenciales de retardo:
y00(x) = y(x)−z(x) +y(x−0,21)−ex−0,21+e−x,0≤x≤1
z00(x) = −y(x) +z(x) +z(x−0,21)−e−x+0,21+ex
y(x) = ex, z(x) = e−x, x≤0, y(0) = 1, z(0) = 1, y0(x) = 1, z0(0) =−1. La soluci ´on exacta esy=ex, z =e−x.
En los cuadros 3.1 y 3.2 la exactitud as´ı como la estabilidad del m´etodo propuesto usan- do una funci ´on Spline de forma polinomial dada en las ecuaciones (3.7) y (3.8). La se- gunda columna de la tabla representa el grado de la funci ´on polinomial spline (r=0,1,2 corresponde a un lineal, cuadr´atico y c ´ubico respectivamente). La tercera columna es la soluci ´on aproximada al punto correspondiente mientras que la cuarta columna mues- tra el error absoluto entre la soluci ´on exacta.
x r Soluci ´on aproximada del
problema
Error absoluto soluci ´on aproximada para el problema modificado Diferencia absoluta entre las soluciones aproximadas 0.1 0 y=1.1050000000000000 1,7×10−4 1.105110000000000 1,1×10−5 1 y=1.1051666666666666 4,3×10−6 1.1051776666666666 1,1×10−5 2 y=1.1051708333333332 8,5×10−8 1.1051818333333332 1,1×10−5 0.2 0 y=1.22052418709018 8,8×10−4 1.2205361970901798 1,2×10−5 1 y=1.2213750489098592 2,8×10−5 1.221387058909859 1,2×10−5 2 y=1.2214004871220177 2,3×10−6 1.2214124971220177 1,2×10−5 0.3 0 y=1.3476712066984284 2,2×10−3 1.3476875717988253 1,6×10−5 1 y=1.3497782211035054 8,1×10−5 1.3497912712035054 1,3×10−5 2 y=1.3498411221877589 1,7×10−5 1.349856884775791 1,6×10−5 0.4 0 y=1.4876459209419695 4,1×10−3 1.4876667248937672 2,1×10−5 1 y=1.4915229294447871 3×10−4 1.4915972566840554 7,4×10−5 2 y=1.491767879531681 5,7×10−5 1.4917820534826853( 1,4×10−5 0.5 0 y=1.6417712158514486 7×10−3 1.6417934781085166 2,2×10−5 1 y=1.6479901758843924 7,3×10−4 1.6481270887251283 1,3×10−5 2 y=1.648564184373467 1,8×10−4 1.6485765018661878 1,2×10−5
Soluci ´on aproximada Diferencia absoluta Soluci ´on aproximada Error para el problema entre las dos
x r para el problema absoluto perturbado soluciones aproximadas
0.1 0 z=0.9050000000000000 1,6x10−4 0.9050090000000000 9,0×10−6 1 z=0.9048333333333334 1,6×10−6 0.9048423333333334 9,0×10−6 2 z=0.9048375000000001 8,2×10−6 0.9048465000000001 9,0×10−6 0.2 0 z=0.8195258545903783 8,0×10−4 0.8195338445903783 8,0×10−6 1 z=0.8187083816873723 2,2×10−5 0.8187163716873722 8,0×10−6 2 z=0.8187329851766141 2,2×10−6 0.818740975176614 8,0×10−6 0.3 0 z=0.7426795858994366 1,9×10−3 0.7426832207990397 3,6×10−6 1 z=0.7407732391618996 4,5×10−5 0.7407801890618996 7,9×10−6 2 z=0.7408352968908741 1,7×10−5 0.7408399512195798 4,7×10−6 0.4 0 z=0.6736596752706818 3,3×10−3 0.6736588713188840 8,0×10−6 1 z=0.6701833337679433 1,4×10−6 0.6702308474606580 4,7×10−6 2 z=0.6703763164472594 5,6×10−5 0.6703821424962553 5,8×10−6 0.5 0 z=0.6117532928356620 5,2×10−3 0.6117510305785940 2,3×10−6 1 z=0.6062688889695302 2,6×10−4 0.6063573455860383 8,8×10−6 2 z=0.6066865535820576 1,6×10−4 0.6066942363261801 7,7×10−6
Cuadro 3.2: Precisi ´on y estabilidad del m´etodo paraz(para h=0.1).
La soluci ´on num´erica mostrada es la que se obtiene con las condiciones iniciales y(0) = z(0) = 1 yy0(0) = 1, z0(0) = −1. Con un peque ˜no cambio en las condiciones iniciales y∗(0) = 1,00001yz∗(0) = 1,00001yy∗(0) = 1,00001, z∗(0) = −0,99999, la so- luci ´on aproximada es calculada como se muestra en la quinta columna. Los resultados presentados en los cuadros 3.3 y 3.4 muestran la precisi ´on y la estabilidad mediante el cual se corroboran los resultados te ´oricos.
De los resultados obtenidos en los cuadros 3.1 y 3.2 de la aplicaci ´on num´erica em- pleada se puede ver que el m´etodo trabajado, usando las funciones spline en la forma polin ´omica, proporciona una aceptable precisi ´on. Tambi´en se puede ver de los cuadros 3.3 y 3.4, que usando peque ˜nas longitudes de pasohse mejora la precisi ´on.
Soluci ´on aproximada Diferencia absoluta Soluci ´on aproximada Error para el problema entre las dos
x r para el problema absoluto perturbado soluciones aproximadas
0.01 0 y=1.010055241870902 5,1×10−6 1.010060100000002 5,1×10−6 1 y=1.0100501666666668 4,2×10−10 1.01006026666667 10,1×10−6 2 y=1.0100501670833335 8,3×10−13 1.01006026666667 10,1×10−6 0.02 0 y=1.020257448617556 4,4×10−6 1.0202107025016878 2,5×10−6 1 y=1.0202013538526735 1,4×10−8 1.0202115533635072 10,2×10−6 2 y=1.0202013405034027 4,8×10−10 1.0202115533635072 10,2×10−6 0.03 0 y=1.0304577613263437 3,2×10−6 1.0304628175087283 2,5×10−6 1 y=1.0304546070978735 7,3×10−8 1.0304649051511596 10,3×10−6 2 y=1.0304545358017985 1,8×10−9 1.0304649051511596 10,3×10−6 0.04 0 y=1.040812222196235 1,4×10−6 1.0408164648661118 2,5×10−6 1 y=1.040810857333836 8,3×10−8 1.040820341874614 9,5×10−6 2 y=1.0408106890196411 1,4×10−6 1.040820341874614 9,7×10−6 0.05 0 y=1.0512699794439722 1,1×10−6 1.0512716743221313 2,5×10−6 1 y=1.051270956533103 1,4×10−7 1.0512796183704165 8,7×10−6 2 y=1.0512706572903756 4,4×10−7 1.0512796183704165 9,0×10−6
Soluci ´on aproximada Diferencia absoluta Soluci ´on aproximada Error para el problema entre las dos
x r para el problema absoluto perturbado soluciones aproximadas
0.01 0 z=0.990045285459038 4,6×10−6 0.9900590000001 1,5×10−5 1 z=0.990049833333333 4,2×10−10 0.99005973333334 9,9×10−6 2 z=0.99004983375 8,3×10−13 0.99005973333334 9,9×10−6 0.02 0 z=0.9801947605550917 3,9×10−6 0.9802093024983544 1,5×10−5 1 z=0.9801986845362849 1,1×10−8 0.980208485054512 9,8×10−6 2 z=0.980199002846681 3,3×10−10 0.9802084850254512 9,5×10−6 0.03 0 z=0.9722253389134221 1,8×10−6 0.9704572174920639 1,5×10−5 1 z=0.9704455948475014 6,1×10−8 0.9704552967942154 9,7×10−6 2 z=0.9704468517664798 1,3×10−9 0.9704552967942154 8,5×10−6 0.04 0 z=0.964352552887687 3,7×10−6 0.9608036651394722 3,5×10−5 1 z=0.9607896733387473 2,3×10−8 0.9608001887979692 10,5×10−6 2 z=0.9607918344408045 2,4×10−6 0.9608001887979692 8,4×10−6 0.05 0 z=0.9722253389134221 5,3×10−6 0.9704572174920639 5,3×10−5 1 z=0.951230128047481 1,4×10−7 0.95124141662101675 11,3×10−6 2 z=0.9512331637512939 3,7×10−7 0.9512414662101675 8,3×10−6
Cap´ıtulo 4
Aplicaci ´on
El m´etodo spline estudiado se emplear´a para obtener soluciones num´ericas aproxi- madas de un modelo matem´atico, que describe una epidemia sobre una poblaci ´on con un retardo de maduraci ´onτ (ver [10]).
4.1.
Modelo Epid´emico SIS
Un modelo epid´emico debido a Cooke ([10]) describe el avance de una infecci ´on sobre una poblaci ´on que es infectada en un tiempo t. Se asume que la enfermedad ha ingresado a la poblaci ´on (N(t)) que esta ha sido dividida en dos grupos: los susceptibles (S(t)) y los infectados (I(t)) de modo queN(t) =S(t) +I(t). La trasmisi ´on de la enfermedad ocurre debido al contacto entre los susceptibles e infectados; la trasmisi ´on vertical es ignorada. La enfermedad se supone que no confiere inmunidad, por lo tanto cuando se recupera un individuo infectado, este vuelve al grupo de los susceptibles, de esto viene nombre del modelo SIS. Este tipo de modelo es adecuado para algunas infecciones bacterianas. Para una enfermedad mortal, la constante de velocidad de recuperacin se considera cero, dando un modelo SI. Las ecuaciones que describen el modelo son:
y10(t) = λ(y2(t)−y1(t)) y1(t) y2(t) −(d++γ) y20(t) = be−ay2(t−τ)y 2(t−τ)e−d1τ−d (4.1) donde: y1(t) = I(t) y2(t) = N(t)
a,b,d,d1,λyson valores param´etricos.
εes la tasa constante de mortalidad inducida por la enfermedad γ es la tasa constante de recuperaci ´on
λes la tasa constante de contacto bes la tasa de natalidad
des la tasa de mortalidad Con valores iniciales no negativos,N(t)>0, N(t)≥I(t)≥0
en [−τ,0] las soluciones existen. Se obtendr´an soluciones aproximadas para este sis- tema en [0,25], considerando que las funciones hist ´oricas respectivas son φ1(t) = 2,
φ2(t) = 3,5parat≤0.
Los valores de los par´ametros a considerar para el procesamiento del m´etodo spline es: a = 1, b = 80, d = 1, d1 = 1, γ = 0,5, = 10, τ = 0,2(retardo considerado). Los
resultados se muestran en el siguiente gr´afico
.
Cap´ıtulo 5
Conclusiones
Los resultados que se obtienen para las aplicaciones num´ericas presentadas mues- tran que los m´etodos spline empleados dan una aproximaci ´on aceptable, lo cual co- rrobora los resultados te ´oricos. Los m´etodos tienen casi la misma precisi ´on para los valores de grados 1, 2 y 3; pueden ser mejorados por el uso de funciones spline polino- miales de mayor grado. Los resultados tambi´en muestran que los m´etodos presentan una estabilidad razonable cuando se perturban las condiciones iniciales. La estructura recursiva de los m´etodos de aproximaci ´on presentados permite implementar compu- tacionalmente en forma sencilla los algoritmos recursivos mostrados. Pero, debe men- cionarse que la mayor desventaja del m´etodo es la obtenci ´on de la derivada de las funciones participantes.
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