Estados de borde

Consideraremos, ahora, una propiedad interesante de las subvariedades de Cayley en relaci´on con la existencia de estados de borde [5].

En primer lugar, se˜nalemos que el operador ∆ = −d†_AdA definido sobre C∞0 (M, E) es positivo definido. No obstante una extensi´on autoadjunta ∆U, caracterizada por un operador unitario U /∈ C−, puede no ser positiva definida. Consideremos el producto

interno de dos funciones ψ(1), ψ(2) ∈ D(∆U),

(dAψ(1), dAψ(2)) = ( ˙φ(1), φ(2)) + (∆Uψ(1), ψ(2)) = (B−· φ(1), φ(2)) + (∆Uψ(1), ψ(2)).

(109) En consecuencia, para todo vector ψ ∈ D(∆U),

(∆U_{ψ, ψ) = (d}

Aψ, dAψ) − (B−· φ, φ) . (110)

De modo que el operador ∆ puede no resultar positivo definido si el segundo t´ermino del miembro derecho de la ecuaci´on anterior es suficientemente grande. El siguiente Teorema relaciona esta posibilidad con la “proximidad” del operador U a la subvariedad de Cayley

C−.

Teorema II.3.3 U ∈ C− entonces Ut := eitU define una extensi´on autoadjunta ∆t que tiene un “estado de borde” de energ´ıa negativa para t suficientemente peque˜no. La energ´ıa de este estado tiende a −∞ cuando t tiende a cero.

Demostraci´on: Daremos indicaciones para una demostraci´on constructiva omitiendo los detalles t´ecnicos. El estado de borde ψξ,t est´a dado por,

ψξ,t := ξ(y) exp µ − tan (x) tan (t/2) ¶ , (111)

siendo y la coordenada sobre el borde ∂M , x la coordenada normal al borde y ξ(y) un estado de L2(∂M, E) que satisface

Uξ(y) = −ξ(y). (112)

El estado ξ(y) existe puesto que U ∈ C−. El estado de borde ψξ,t, por su parte, pertenece

a la extensi´on autoadjunta caracterizada por el operador unitario eitU, como puede verifi- carse sin dificultad. Asimismo, es f´acil ver que el estado ψξ,tse concentra en el borde ∂M

a medida que t tiende a cero.

Finalmente, puede calcularse el miembro derecho de la ecuaci´on (110) para el estado de borde ψξ,ty probar que tiende a −∞ a medida que t tiende a cero.

¤

En conlusi´on, podemos construir extensiones autoadjuntas caracterizadas por un o- perador eitU, con U ∈ C− (e.g., condiciones Dirichlet19), cuyos estados fundamentales

tienen energ´ıas que tienden a −∞ cuando t tiende a cero. Estas extensiones contienen, adem´as, estados de borde cuyas normas tienden a cero con√t.

Ejemplo

Consideremos el operador laplaciano en una dimensi´on −∂_x2 con dominio de defini- ci´on D(−∂_x2) = C∞₀ ((0, 1)). Como el conjunto de funciones de borde L2(∂M, C) es iso- morfo a C2, el conjunto de extensiones autoadjuntas est´a en correspondencia biun´ıvoca con U (2).

Construiremos un estado de borde a partir de una extensi´on en C−. Sea entonces,

U = µ −1 0 0 eiβ ¶ , (113)

que define condiciones de contorno Dirichlet en el origen y condiciones de contorno Ro- bin en 1 caracterizadas por el par´ametro β. El autovector correspondiente ξ est´a dado por, ξ = µ ξ(0) ξ(1) ¶ = µ 1 0 ¶ . (114)

19_{Si hubier´amos realizado el mismo an´alisis a partir de extensiones caracterizadas por operadores en C}

+

(e.g., condiciones Neumann) habr´ıamos obtenido estados con energ´ıas arbitrariamente grandes que tienden, en el l´ımite t → 0 a modos ceros del operador ∆t.

De acuerdo con el Teorema II.3.3, el estado de borde est´a entonces dado por,

ψξ,t =

(

exp³−²tan (x/²)_{tan (t/2)}´ si 0 ≤ x ≤ ²π

2

0 si ²π

2 ≤ x ≤ 1 ,

(115)

donde 0 < ² < 1.

Es inmediato verificar que ψξ,tpertenece a la extensi´on caracterizada por eitU y que el

valor de expectaci´on del hamiltoniano con respecto a este estado tiende20a −∞ conforme

t tiende a cero. La norma del estado (115), cuya energ´ıa es arbitrariamente negativa para

valores suficientemente peque˜nos de t, est´a acotada por t, de modo que este estado no existe en el l´ımite t → 0.

N´otese que las extensiones autoadjuntas caracterizadas por operadores unitarios U en la intersecci´on C− ∩ C+ representa un cambio de topolog´ıa en la variedad de base M ,

i.e., en este caso, condiciones de contorno peri´odicas. Eventualmente, una fase en los

elementos de U representa condiciones de contorno pseudoperi´odicas, correspondientes a part´ıculas con estad´ıstica fraccionaria.

Ruptura Espont´anea de SUSY en

Mec´anica Cu´antica.

I have done a terrible thing: I have postulated a particle that cannot be detected. (Wolfgang Pauli.)

III.1.

Introducci´on

La supersimetr´ıa (SUSY) es considerada una extensi´on natural de las teor´ıas de gauge, contribuye a la cancelaci´on de divergencias en la Teor´ıa Cu´antica de Campos y es un ingrediente esencial de la Teor´ıa de Cuerdas. Sin embargo, la degeneraci´on de los niveles de energ´ıa asociada con esta simetr´ıa implica la existencia de compa˜neros supersim´etricos de igual masa que no existen en la naturaleza.

En consecuencia, esta simetr´ıa s´olo puede realizarse bajo un mecanismo de ruptura espont´anea (din´amica). Pero a diferencia de lo que ocurre con las simetr´ıas ordinarias, la ruptura espont´anea de la SUSY es muy dif´ıcil de implementar.

Modelos de mec´anica cu´antica supersim´etrica (SUSYQM) en una dimensi´on fueron estudiados primeramente por H. Nicolai [95] y E. Witten [126, 127, 128]. En este contexto se propuso la ruptura de la SUSY a partir de mecanismos no perturbativos basados en potenciales asociados a soluciones de instantones [126, 127, 109, 36, 37, 38].

M´as recientemente, A. Jevicki y J.P. Rodrigues [80] han sugerido que la SUSY tam- bi´en podr´ıa ser espont´aneamente rota mediante superpotenciales singulares por efecto de condiciones de contorno inusuales en la singularidad. Para ello consideraron un operador diferencial de segundo orden, estudiado previamente por L. Lathouwers [89], correspon- diente a un hamiltoniano supersim´etrico derivado de un superpotencial con una singula- ridad en el origen x = 0 proporcional a x−1. Sin embargo, los autores no han tenido en cuenta si las autofunciones analizadas corresponden a un mismo hamiltoniano autoadjun- to.

Posteriormente, A. Das y S. Pernice [41, 43] han mostrado que una regularizaci´on del superpotencial conduce a una SUSY expl´ıcita, es decir, a un sistema con un estado fundamental de energ´ıa nula y estados excitados doblemente degenerados.

En este cap´ıtulo presentaremos uno de los resultados originales de esta tesis referido a este superpotencial en SUSYQM [55]. En particular, estudiaremos la relevancia de las extensiones autoadjuntas de las supercargas (generadores de la SUSY) y del hamiltonia- no del sistema en relaci´on con la ruptura espont´anea de la SUSY. Mostraremos que, en

general, las extensiones autoadjuntas poseen una SUSY din´amicamente rota por efecto de las condiciones de contorno y, por consecuencia, sus espectros presentan un estado fundamental de energ´ıa no nula y estados excitados no degenerados.

El hamiltoniano y las supercargas de este sistema constituyen, asimismo, ejemplos de inter´es en relaci´on con el objetivo central de esta tesis, referido a las propiedades inusuales de las funciones espectrales correspondientes a operadores singulares. En la secci´on X.2 del Ap´endice calcularemos algunas de las funciones espectrales asociadas a este problema.