Estimaciones de la PSF

Transformada de Radon

Este método de estimación está dirigido a las degradaciones por movimiento lineal uniforme (véase Sección 2.2.1), cuya PSF se modela por los siguientes parámetros:

 : inclinación de movimiento  : longitud de movimiento.

Analizando el espectro de la imagen degradada y, en particular, el módulo

del mismo se demuestran las bases para estimar los parámetros anteriores.

Definición 3.6. Sea la transformada de Fourier de la imagen degradada , entonces se define el espectro real como

cuyo objetivo es representar el módulo de pero modificado por el logaritmo, dado que

mejora el rango dinámico y evita valores negativos.

La Figura 3.7(b) muestra el espectro de la imagen emborronada Barbara con condiciones periódicas, obtenido tras aplicar la definición sobre la Figura

de degradación que permiten estimar el ángulo del movimiento. El motivo de estas líneas rectas es la forma de función sinc11 _{que adopta la PSF en el dominio de}

Fourier, como se comprueba en la Figura 3.7(a). Para calcular numéricamente el ángulo , se hace uso de la transformada de Radon [61] aplicada sobre el espectro

, i.e.

Gracias a esta transformada, se obtiene la proyección del espectro sobre líneas rectas inclinadas un ángulo . Como presenta líneas paralelas precisamente

sobre el ángulo de emborronamiento, la estimación se corresponderá con aquella

línea donde se haga máximo. La Figura 3.7(c) visualiza el resultado de la

transformada de Radón en un rango de 0 a 180º y demuestra que el mayor valor de intensidad se alcanza sobre la vertical de .

Para estimar la longitud de movimiento se recurre a las propiedades de la función sinc en . Concretamente, se puede demostrar que [61]

donde simboliza la distancia entre dos líneas de ceros en el espectro y se asume una imagen cuadrada tal que .

La sencillez de este método para estimar la PSF tiene sin embargo la contrapartida en la robustez frente al ruido. A medida que la imagen emborronada se hace más ruidosa, los errores en las estimaciones de y son mayores y su influencia en los resultados de restauración es muy acusada.

Valores propios

La estimación de la PSF en este caso se basa en aplicar la descomposición en valores singulares (SVD) de la Definición 2.10 directamente sobe la matriz de la imagen degradada ( ). Así pues,

donde y el subíndice se ha añadido tanto a los valores como a

los vectores singulares , para asociarlos a la imagen

degradada. Por otro lado, se realiza la descomposición de la matriz

asociada a la máscara de la PSF (no confundir con la matriz de convolución , sino que ). Dado que la dimensión de las máscara suele ser pequeña comparada con el tamaño total de la imagen y se trata de un filtro

paso bajo con valores singulares descendentes, se realiza la siguiente aproximación

(a)

(b) (c)

Figura 3.7: Espectro degradado de la imagen Barbara (b) según un filtro de

degradación por movimiento uniforme de inclinación 45º (a). Las líneas paralelas producidas por los ceros de la PSF producen un máximo en la transformada de Radón (c).

es decir, que sólo se considera el primer vector singular, tanto izquierdo como derecho. En este caso, y

En la referencia [24] se puede encontrar una demostración más detallada sobre cómo se relacionan los vectores singulares de las expresiones y .

Concretamente, asumiendo condiciones frontera periódicas, se obtiene los siguientes resultados en el dominio de la frecuencia

Por un lado, los vectores y son las

transformadas de Fourier de los vectores singulares y para la PSF y la imagen degradada. Conviene destacar que al realizar la transformada inversa de los vectores

y y quedarse con la parte real, las dimensiones son y

respectivamente. En consecuencia, la PSF estimada tendría un tamaño equivalente a la imagen original y es necesario identificar dónde están los límites de la

máscara. Este método de estimación suele trabajar con emborronamientos Gaussianos como los de la Sección 2.2.4, por lo que la búsqueda de las fronteras supone encontrar el valor máximo del filtro y, a partir de él, se definen los límites donde la PSF toma valores muy pequeños o negativos.

En la expresión aparece un parámetro que identifica el número de

valores singulares de la imagen degradada que son considerados en el proceso. Tal y como se explicaba en la Sección 2.3.1, cuanto mayor es el número de valores singulares, mayor será la influencia del ruido pero menor cantidad de componentes de altas frecuencias serán usadas. Por ello, la elección del valor de es una relación de compromiso resuelta de modo experimental en función de la cantidad de ruido.

Por último, indicar que las ecuaciones de este método requieren una estimación respecto a los valores singulares de la imagen original y . En particular, se suele asumir un modelo de covarianza exponencial tal que [24]

donde el parámetro es el valor promedio de los primeros coeficientes de correlación de la imagen original. La elección por tanto de estará en conexión con el valor del parámetro .

Si bien este método de estimación de la PSF, tiene un mejor comportamiento frente al ruido respecto al anterior, mantiene unas probabilidades de error que provocan desviaciones notables en los resultados de restauración.

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