Estudio comparativo

A continuación se pretende demostrar prácticamente las características del método NRAR planteadas de forma teórica en el punto Principales Características del epígrafe 2.1.4. Para esto

se realiza un estudio comparativo del mismo con los restantes métodos de flujo de carga basados en las técnicas de Newton-Raphson.

En el capítulo 1 se hace un análisis teórico de los métodos de flujo de carga más empleados en la práctica y se mencionan las características más ventajosas y desventajosas de los mismos. De este análisis se llega a la conclusión que el método que se busca tiene que estar basado en las técnicas de NR por su característica y velocidad de convergencia, su eficiente manejo de la memoria computacional, no verse afectada su convergencia por la relación X/R del SEP y por resolver SEP fuertemente cargados. De aquí que baste solamente hacer el análisis comparativo con NRF y NRDR para demostrar las potencialidades del NRAR.

Existen un sin número de elementos por los cuales se pueden comparar los algoritmos como son: los requerimientos de eficiencia y almacenamiento computacional, afectación del algoritmo a causa de los estimados iniciales, velocidad de convergencia, número de iteraciones, tiempo por

iteraciones, etc. Después de realizar el análisis teórico de los métodos de NRF, NRDR y NRAR se decide realizar la comparación práctica sobre las siguientes bases:

(i). Velocidad de convergencia (ii). Número de iteraciones

(iii). Tiempo de cálculo y tamaño del sistema

También se analizará la incidencia de la relación X/R del SEP, así como el incremento paulatino de la carga.

El ejemplo escogido para realizar las pruebas se muestra en la figura 4.8

Figura 4.8: Sistema de tres nodos para el estudio comparativo.

De la figura 4.8 se puede observar que el sistema tiene tres nodos: Barra 1, es el nodo de balance del sistema (B); Barra 2, es un nodo de generación (PV) y Barra 3 es un nodo de carga (PQ). Los estimados iniciales de voltaje y ángulo que se utilizaron para todas las pruebas fue de 1.1∠0^opu. Los datos de las líneas se darán en cada estudio pues ellos se modificaron para estudiar el efecto de la relación X/R.

Para la realización de las pruebas se implementan los tres algoritmos de flujo de carga en el laboratorio matricial MathLab. Estos algoritmos no emplean técnicas para el manejo de matrices. Esto será detallado en la prueba de velocidad de convergencia. El procedimiento que se siguió para la realización de todas las pruebas fue chequear el comportamiento del parámetro a estudiar cuando la carga se incrementa paulatinamente.

Barra 3 Barra 1 Barra 2

50 + j24.2

100 + j62

4.3.1.1 Velocidad de convergencia.

Debido a que los algoritmos fueron programados en MathLab y no emplean técnicas para el tratamiento eficiente de matrices porosas, no se puede utilizar como parámetro en la prueba de velocidad de convergencia el tiempo de cálculo sino que se usará la relación de tiempo respecto al NRF, o sea se comparará el tiempo relativo entre los métodos, tomando el NRF como tiempo unitario. Al igual, se hace con la demanda total del sistema, donde se escoge como carga unitaria la carga base (150 MW) y se multiplica esta por un factor; obteniéndose de esta forma diversos estados de carga. También se multiplica por este factor la potencia activa generada en la máquina de la Barra 2. En todos los estudios se utilizó una tolerancia de 0.001 pu.

Las pruebas de velocidad de convergencia se realizan en la red de la figura 4.8 para tres tipos de relaciones X/R, con vistas a analizar el efecto de este factor.

1. Prueba del sistema con todas las líneas X>>R

La red utilizada en este estudio constituye el caso base u original, donde todas las líneas presentan una X>R. Los estimados iniciales de voltajes se toman como 1.1∠0^o pu y los datos de las líneas se muestran en la tabla 4.1. En este estudio los tipos de nodos se mantienen según la figura 4.8 donde la Barra 1 es balance, la Barra 2 es PV y la Barra 3 es PQ.

Tabla 4.1: Datos de las líneas para el estudio 1 de velocidad de convergencia.

Envío Recibo R (pu) X (pu) Bc (pu)

Barra 1 Barra 2 0.01 0.05 0.004 Barra 2 Barra 3 0.06 0.10 0.024 Barra 1 Barra 3 0.02 0.04 0.006

Con toda esta información se realizan las corridas brindando los resultados mostrados en la tabla 4.2 y graficados en la figura 4.9. Como se puede apreciar en la tabla 4.2 se muestra el tiempo de cálculo medido en segundos, llamado tiempo absoluto y el tiempo consumido respecto al empleado por el algoritmo NRF, llamado tiempo relativo.

Tabla 4.2: Resultado de la prueba de velocidad de convergencia del SEP

original.

NRF NRDR NRAR

Pc/Pbase Tpo

abs ^Tpo. Rel ^Tpo abs ^Tpo. Rel ^Tpo abs ^Tpo. Rel 1.0000 0.10 1.00 0.06 0.60 0.04 0.40 1.2000 0.10 1.00 0.06 0.60 0.04 0.40 1.4400 0.10 1.00 0.06 0.60 0.04 0.40 1.7280 0.10 1.00 0.06 0.60 0.04 0.40 2.0736 0.10 1.00 0.06 0.60 0.04 0.40 4.0000 0.12 1.00 0.07 0.58 0.05 0.46 8.0000 0.12 1.00 0.08 0.63 0.06 0.54 16.000 0.20 1.00 0.01 0.48 0.13 0.65 18.000 0.31 1.00 0.25 0.81 0.35 1.13 18.150 0.26 1.00 0.60 2.31 0.76 2.92 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1.00 1.20 1.44 1.73 2.07 4.00 8.00 16.00 18.00 18.15 Pc/Pbase t/Tbase NRF NRDR NRAR

Figura 4.9: Velocidad de convergencia del SEP original.

De la figura 4.9 se puede apreciar que el método NRAR exhibe muy buena velocidad de convergencia de forma general. Cuando la carga es superior a 8 veces la base se comporta ligeramente más lento que el NRDR. Después del múltiplo de carga 18, se aprecia un aumento considerable del tiempo de ejecución del NRDR y del NRAR. De aquí se concluye que cuando el sistema se acerca al límite superior de cargabilidad la velocidad de convergencia de estos dos métodos se ve seriamente afectada, convirtiéndose, en este caso, para el NRAR en casi tres veces más lento que el NRF. Es de destacar que en esta zona el voltaje en el nodo tres es inoperante en el orden práctico (0.7691). No obstante, este comportamiento se nota cuando el SEP presenta altas relaciones X/R (figura 4.10) no así para bajas relaciones X/R.

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 1.00 2.07 4.00 8.00 16.00 25.00 25.20 Pc/Pbase t/Tbase NRF NRDR NRAR

2. Prueba del sistema con la línea 1-2 con relación R>>X

En este caso solo se modifica la relación X/R de una sola línea y se realiza la misma prueba anterior. Los datos se muestran en la tabla 4.3.

Tabla 4.3: Datos de las líneas para el estudio 2 de velocidad de convergencia.

Envío Recibo R (pu) X (pu) Bc (pu)

Barra 1 Barra 2 0.05 0.01 0.00 Barra 2 Barra 3 0.06 0.10 0.00 Barra 1 Barra 3 0.02 0.04 0.00

Los resultados arrojados de la corrida de los programas se muestran en la tabla 4.4 y en la figura 4.11. Con el objetivo de aumentar el límite de cargabilidad del sistema se pasa la Barra 2 a PQ y se le añade una generación de reactivo fija de 45 MVAr. Esta generación, al igual que la generación de potencia activa en dicho nodo es multiplicada por el factor para elevar la carga total del SEP.

Tabla 4.4: Resultados del estudio de velocidad de convergencia.

NRF NRDR NRAR

Pc/Pbase Tpo

abs ^Tpo. Rel ^Tpo abs ^Tpo. Rel ^Tpo abs ^Tpo. Rel 1.0000 0.11 1.00 0.16 1.45 0.05 0.45 2.0736 0.11 1.00 0.11 1.00 0.05 0.45 4.0000 0.11 1.00 0.16 1.45 0.05 0.45 8.0000 0.11 1.00 0.16 1.45 0.06 0.54 12.00099 0.31 1.00 0.40 1.21 0.16 0.49 12.500 0.32 1.00 0.49 1.53 0.21 0.66 12.75 0.38 1 ∞ ∞ 0.28 0.74 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1.00 2.07 4.00 8.00 12.00 12.50 12.75 Pc/Pbase t/Tbase NRF NRDR NRAR

Figura 4.11: Velocidad de convergencia con una línea de R>X.

De estos resultados se evidencia que el algoritmo NRAR es el de mayor velocidad de convergencia. El NRDR se ha visto grandemente afectado por la relación X/R de una sola línea del sistema ya que resultó ser el de menor velocidad de convergencia para todas las cargas analizadas, además de no brindar solución ante la carga impuesta por la relación 12.75. Cuando se trata de aumentar la carga por encima 12.75 veces de la carga base ninguno de los algoritmos alcanza solución. En este caso no se observa afectación del NRAR por un estado de carga en la

vecindad del límite de cargabilidad. Es de notar que el voltaje para una carga de 12.75 veces la base es de 0.6285, más bajo que en la prueba 1.

Se puede apreciar, también, como el NRDR tiene un comportamiento inestable ante el incremento de la carga, incluso diverge en el ultimo punto analizado donde convergen los restantes métodos.

3. Prueba del sistema con todas las líneas con relación R>>X

Con las mismas condiciones que en el caso 2 se realizan las corridas de los flujos pero en este caso con los siguientes datos de líneas.

Tabla 4.5: Datos de las líneas para el estudio 3 de velocidad de convergencia.

Envío Recibo R (pu) X (pu) Bc (pu)

Barra 1 Barra 2 0.05 0.01 0.00 Barra 2 Barra 3 0.10 0.06 0.00 Barra 1 Barra 3 0.04 0.02 0.00

Los resultados arrojados con esta prueba se muestran en la figura 4.12.

0 1 2 3 4 5 6 1.00 2.07 4.00 8.00 12.00 12.50Pc/Pbase t/Tbase NRF NRDR NRAR

Figura 4.12: Velocidad de convergencia para R>X en todas las líneas.

De estos resultados es concluye que el algoritmo NRAR no se ve afectado por la relación X/R del sistema y su velocidad de convergencia es mayor que la del formal. El NRDR se muestra mucho mas afectado que en la prueba anterior.

• Conclusiones

A modo de conclusiones de la prueba de velocidad de convergencia se puede plantear que el NRAR muestra muy buena velocidad de convergencia en todos los casos. La relación X/R del sistema solo influye en la cercanía del límite de cargabilidad del SEP en redes de alta X/R mostrándose más lento pero siempre logrando convergencia. El incremento de la carga del SEP prácticamente no afecta la velocidad de convergencia del método.

4.3.1.2 Número de iteraciones.

El propósito de esta prueba está en determinar el número de iteraciones totales que hacen los diversos métodos para llegar a la convergencia. Para la realización de la misma se toma el mismo ejemplo del subepígrafe 4.3.2.1 con las mismas condiciones de arrancadas y de parámetros de la red.

1. Prueba del sistema con todas las líneas X>>R

En esta prueba los datos de las líneas son los expuestos en la tabla 4.1 y la barra 2 es PV.

Se comprueba, del análisis de la figura 4.13, que el algoritmo de menor número de iteraciones es el NRF, a pesar de no ser el de menor velocidad de convergencia. El NRAR en el intervalo entre el múltiplo de carga 1 y el 8 hace menos iteraciones que el NRDR, pero cuando sigue aumentando la carga el NRDR realiza menos iteraciones que el NRAR, lo que indica que en redes de X>R cuando la carga está en la vecindad del límite de cargabilidad el NRDR se comporta mejor, aunque ambos método convergen. Cuando un método basado en NR diverge los restantes, también basados en NR, tampoco convergen.

0 10 20 30 40 50 60 Pc/Pbase NRF 2 2 2 2 2 3 3 6 10 8 NRDR 3 3 3 3 3 4 5 7 23 61 NRAR 2 2 2 2 2 3 4 11 33 77 1 1.2 1.44 1.73 2.07 4 8 16 18 18.2

Figura 4.13: Número de iteraciones para R<X en todas las líneas.

0 15 30 45 Pc/Pbase NRF NRDR NRAR NRF 2 2 3 3 4 8 8 NRDR 3 3 4 4 5 27 46 NRAR 2 3 3 4 6 36 58 1 2.07 4 8 16 25 25.2

Figura 4.14: Número de iteraciones para red sin resistencia.

La figura 4.14 muestra el número de iteraciones de una red sin resistencia o de reactancia pura. La misma corrobora los criterios emitidos de la figura 4.13. Se nota una afectación del número de iteraciones en la cercanía del límite de cargabilidad con la relación X>R del SEP. A pesar de esta afectación se nota que el algoritmo siempre converge al igual que los demás.

2. Prueba del sistema con la línea 1-2 de relación R>>X

Esta prueba es igual a la número 2 del subepígrafe 4.3.1.1 y se toman las mismas condiciones. La única diferencia es que aquí recogemos el número de iteraciones.

0 10 20 30 40 50 Pc/Pbase iter NRF NRDR NRAR NRF 2 2 2 3 8 10 11 NRDR 12 8 11 10 37 46 500 NRAR 2 2 3 5 13 18 25 1 2.07 4 8 12 12.5 12.8

De la figura 4.15 se interpreta que el NRAR necesita un menor número de iteraciones para la convergencia que el NRDR y un poco más que el NRF. Esto muestra en cierta medida como la relación X/R afecta mucho más al NRDR y no tanto al NRAR.

3. Prueba del sistema con todas las líneas con relación R>>X

Tomando las mismas condiciones de la prueba 3 del subepígrafe 4.3.1.1 obtenemos la siguiente gráfica. 0 10 20 30 40 50 Pc/Pbase iter NRF NRDR NRAR NRF 2 2 2 3 9 12 NRDR 59 18 8 13 457 500 NRAR 1 2 3 5 14 21 1 2.07 4 8 12 12.5

Figura 4.16: Número de iteraciones para red con todas las línea de R>X

Aquí se demuestra más claramente lo que se plantea en la prueba anterior respecto a la influencia de la relación X/R en el NRDR y en el NRAR.

• Conclusiones

A modo de conclusión podemos plantear, sobre esta prueba, que el NRF realiza un menor número de iteraciones que los demás. Tanto el NRF como el NRAR no se ven afectados prácticamente por la cargabilidad del sistema y la relación X/R influye solamente de forma negativa en el NRAR cuando está muy cerca del límite de cargabilidad en redes de alta X/R, mientras que el NRDR siempre exhibe mayor número de iteraciones y en ocasiones no converge.

4.3.1.3 Tiempo de cálculo y tamaño del sistema.

Se pretende analizar con esta prueba el efecto que provoca sobre la velocidad de convergencia del método NRAR el tamaño del sistema. Para esto se tomó un caso del Sistema Eletroenergético Nacional (SEN), el cual consta de 120 nodos, 40 máquinas generadoras, 117 líneas y 59 transformadores. A este sistema se le fueron eliminando nodos y realizando corridas de flujo. Las corridas se realizaron con el paquete de programas PSX, el cual se mostró en el epígrafe 4.2, donde se empleó como tolerancia para la convergencia un error de 1 MVA. En la figura 4.17 se muestra el comportamiento del tiempo de cálculo y número de iteraciones con respecto al número de nodos. 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 15 60 ^Nodos 105 T(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 Iter Tiempo(s) Iter

Figura 4.17: Número de iteraciones y tiempo de ejecución para el caso original

Esta gráfica nos muestra como el tiempo de ejecución del algoritmo NRAR, al igual que el NRF, se ve afectado linealmente con el tamaño del sistema, exhibiendo una pendiente aproximada de 0.00022. El valor de la pendiente nos evidencia que el tamaño del SEP tiene muy poca influencia sobre la velocidad de convergencia. El número de iteraciones muestra características similares, aunque de pruebas realizadas se puede concluir que está influenciado fundamentalmente por condiciones del SEP y valores de arrancada.