Estudio numérico de la ley de control propuesta

Para inferir la estabilidad de las leyes de control propuestas, ecuaciones (4.12) y (4.13); se hará un estudio numérico auxiliado por gráficas. Para esto se variará el coeficiente α, el valor del retardo τ , y la prehistoria; la cual complementa a la condición inicial de cualquier ecuación diferencial funcional retardada.

Se variara un parámetro a la vez sobre intervalos predefinidos.

Lo que se pretende con el estudio numérico de las ecuaciones (4.12) y (4.13) es el de inferir los intervalos del retardo τ, del coeficiente α , y de la prehistoria41 para lo cuales (4.12) y (4.13) son estables. Los intervalos de estos parámetros definirán las regiones de estabilidad de las leyes de control propuestas, en los planos correspondientes; basándose en lo cual se podrán diseñar los controles digitales o analógicos correspondientes para lograr la minimización de las vibraciones en la chumacera.

Se visualizarán gráficamente cada estudio numérico de las leyes de control propuestas (4.12) y (4.13) en un sistema de ejes x (posición) contra t (tiempo) encontrándose la estabilidad cuando la gráfica de las vibraciones disminuya conforme aumenta el tiempo, en caso contrario el sistema se considerará inestable. La razón de este proceder ( gráficas) es que es la forma más eficiente y asequible de hallar la estabilidad de un sistema; ya que el ya que el análisis de series de datos o resultados numéricos ordinariamente es muy complicado. En la siguiente figura (4.4) se muestra una típica gráfica de una ley de control que es inestable:

Fig. 4.4 Gráfica de una ley de control inestable

Como se puede apreciar, las oscilaciones crecen indefinidamente, tal como en el

movimiento resonante, fig. (2.13) capítulo 2. Por tanto cuando se grafique la ley de control y se obtenga una gráfica como la de la figura (4.4) se puede afirmar que para esos

parámetros42 el controlador es inestable.

Por otro lado, un sistema marginalmente estable, o sea que está en la frontera entre lo inestable y lo estable; tiene una gráfica como la del la figura (4.5):

Fig. 4.5 Ley de control marginalmente estable

Nótese como la amplitud de las oscilaciones no incrementa ni decrementa conforme aumenta el tiempo, esto es lo que se conoce en la teoría del control como un sistema marginalmente estable. También es la gráfica de un sistema de frecuencia natural tal como se presentó en la figura (2.8a) del capítulo 2. Por tanto cuando se grafique la ley de control propuesta (4.12) y adquiera la gráfica el aspecto de a figura (4.5) se puede afirmar que estamos en la frontera entre un controlador estable y uno inestable.

42

Por último, un sistema estable tiene una típica gráfica como la que se muestra a continuación, figura 4.6:

Fig. 4.6 Típica gráfica de un control estable

Obsérvese como la amplitud de las oscilaciones decrece conforme transcurre el tiempo y eventualmente tiende a cero. Por tanto cuando se simule numéricamente el control propuesto y se obtenga una gráfica de este tipo (fig. 4.6) se afirmará que para los valores de los parámetros

τ

y

α

el control es estable. Es de destacar como la gráfica de la figura (4.6) es muy parecida a la gráfica que corresponde a un sistema subamortiguado, discutido en la sección 2.2.

Fig. 4.7 Control inestable

Fig.4.9 Transición a estabilidad

Fig. 4.11 Intervalo de estabilidad

Fig. 4.13 Intervalo de estabilidad

Fig. 4.15 Transición de estable a inestable

En la serie de gráficas de la figura 4.7 se varía el coeficiente

α

desde el valor 2.6 hasta 0.01, se puede observar en la escala vertical (eje

y

) y dado que el paquete (MATLAB) bajo el que está hecho el programa ajusta automáticamente la escala, que la escala de la primera gráfica tiene un alcance hasta de 5×104 y conforme el parámetro

α

va disminuyendo hasta llegar a 0.01 donde la escala del eje

y

en la gráfica correspondiente solo tiene un alcance de 100. Lo que dice, en otras palabras, que a pesar de que todas las gráficas indican que el control para esos parámetros es inestable, hay una tendencia a que se estable ya que para el mismo intervalo de tiempo el máximo de las oscilaciones va siendo cada vez menor.

En la figura 4.8 la serie de gráficas se obtiene variando el coeficiente

α

desde el valor –4.6 hasta –2.6, y se observa que del valor

α

=−2.61 al valor

α

=−2.60 (últimas dos gráficas de la serie) hay una transición de inestable a marginalmente estable, ya que en la última gráfica (

α

=−2.60 ) las oscilaciones no crecen ni decrecen.

Por otro lado, en la serie de gráficas de la figura 4.9 en donde el parámetro

α

varía en el intervalo −3.6 a −2.5 se observa que hay una transición a estabilidad en

α

=−2.9 (donde es marginalmente estable) a

α

=−2.7 donde ya es estable o sea que las oscilaciones del control decrecen con el tiempo.

En la figura 4.10 la serie de gráficas correspondientes se obtuvo variando el parámetro

α

en el intervalo comprendido de −2.9 hasta −0.1 inclusive. Se puede apreciar que cuando

α

pasa del valor −2.1 al valor −1.6 hay transición de inestable a estable continuando la estabilidad hasta

α

=−0.6 (marginalmente estable) y cuando α alcanza el valor −0.4 nuevamente el control se vuelve inestable.

En la figura 4.11 igualmente para obtener la serie de gráficas se varió el parámetro α en el intervalo que va de −3.9 a +1.91 y se puede observar que primeramente el control es inestable y en el paso que va de

α

=−2.0 a

α

=−1.25 hay una transición a la estabilidad

continuando hasta el paso que va de

α

=−0.15 a

α

=+0.7 donde nuevamente el control pasa de estable a inestable.

En la figura 4.12 se puede apreciar que toda la serie de gráficas nos muestra que el control es estable para todos los valores en los que se está variando el retardo

τ

que va de

τ

=0.075 seg. a

τ

=0.675 seg.; empero en la última gráfica

τ

=0.675 comparada con las demás se aprecia que el control tarda mas tiempo en estabilizarse, ya que en las anteriores la estabilización ocurre muy rápidamente.

En las serie de gráficas correspondientes a la figura 4.13 se varió el retardo

τ

en el intervalo comprendido de 0.9 segundos hasta 2.1 segundos y es destacable la transiciones de

τ

=1.35 seg. a

τ

=1.50 seg. donde el controlador pasa de estable a inestable y de ahí en adelante al aumentar el valor del retardo

τ

el sistema se vuelve cada vez mas inestable como se puede inferir de la escala del eje

y

que en la última gráfica de la serie llega incluso hasta amplitudes de 10×108.

Por su parte en la serie de gráficas de la figura 4.14 obsérvese como al variar el retardo τ de 0.90 seg. a 2.1 seg. el control primeramente es inestable (

τ

=0.9 seg.) pasa rápidamente a estable en

τ

=1.05 continuando así hasta

τ

=1.50 seg. y al pasar a

τ

=1.65 seg. nuevamente se vuelve inestable continuando así hasta el final de la serie de gráficas de la mencionada figura, siendo cada vez mas inestable conforme aumenta el retardo

τ

.

En la figura 4.15 la serie de gráficas se obtuvo variando el retardo

τ

desde el valor 0.600 seg. hasta el doble, o sea 1.2 seg. y se observa que las primeras cuatro gráficas el control rápidamente se vuelve inestable pero debido a que la escala del eje

y

va disminuyendo en alcance, se espera que conforme aumenta el retardo eventualmente se obtiene un control estable, lo que sucede cuando

τ

pasa de 0.900 seg. a 0.975 seg. continuando estable para los siguientes valores del retardo

τ

de la serie de gráficas.

Por último en las gráficas de la figura 4.16 igualmente el parámetro que se varía es el

gráficas de la figura 4.15, se nota que primeramente el controlador es estable pero con tendencia a la inestabilidad, ya que cada vez tarda mas en alcanzar la estabilidad;, en

τ

=0.945 seg. el control se hace marginalmente estable y a partir de ahí se vuelve mas y mas inestable.

5.1 Conclusiones

En todos los sistemas tecnológicos de control existe siempre un retardo, tanto en los sistemas retroalimentados o de lazo cerrado, como en los de lazo abierto o no retroa- limentados.

Las causas de estos retardos son que los elementos físicos del sistema de control (sensores, actuadores, microprocesador, amplificadores operacionales) no tienen una velocidad de respuesta instantánea.

Por lo anterior pero dependiendo de la magnitud de los retardos y de la fineza o robusticidad del sistema de control que se esté diseñando, deben ser tomados en cuenta dichos retardos o bien puede haber ocasiones en que su influencia sea pequeña o prácticamente nula, por lo que se pueden despreciar.

En la mayoría de diseños de sistemas de control los retardos no afectan la estabilidad del sistema.

Sin embargo en el presente caso se ensayaron una amplio intervalo de magnitudes de los retrasos y se estudió la influencia de estos en el desempeño del sistema de control y principalmente la influencia de aquellos en la propiedad mas importante de un sistema de control: la estabilidad.

Los sistemas de control se modelan en general promedio de ecuaciones diferenciales, en el caso de que se involucre retardo en el modelado, la ecuación diferencial correspondiente será una ecuación diferencial funcional.

Como se dijo en el primer capítulo, solo en contados casos existe o se puede desarrollar una solución analítica para la ecuación diferencial funcional.

Por lo anterior, es factible y práctico43 estudiar leyes de control que se expresan por ecuaciones diferenciales funcionales, por medio de estudios y métodos numéricos.

Las leyes de control propuestas en este trabajo solo se pueden expresar por medio de ecuaciones diferenciales funcionales con retraso.

Se encontró, precisamente por medio de estudios numéricos, que el control con retraso en la posición es estable dentro de ciertas regiones, siendo éstas los intervalos de las variables τ (retraso) y α (coeficiente del valor del retraso) graficados en 2 dimensiones.

Cuando la ley de control es estable para los valores correspondientes de los parámetros

τ

y

α

, su comportamiento se asemeja al del sistema subamortiguado discutido en el capítulo 2, sección 2.2.

La “prehistoria” prácticamente no afecta la estabilidad o inestabilidad de las leyes de control propuestas.

La ley de control propuesta (4.12) puede ser implementada por medio de electrónica analógica o bien digital, el diagrama a bloques del control sería:

entrada +₋ Planta (chumacera) x´=A x + B u y = C x

y

sensor de velocidad Integrador en el tiempo Memoria Base de tiempo o temporizador ACTUADOR

A pesar de que la ley que se emplea usa la posición actual y las pasadas (que se almacenan en la memoria o bien por medio de una línea de retardo implementada con amplificadores operacionales), se usa sensor de velocidad ya que es mas fácil de implementar y de medir la velocidad, y se pone un integrador en el tiempo porque como es bien sabido la posición es la velocidad integrada con respecto al tiempo.

Los valores recomendados de los parámetros basados en los estudios hechos en este trabajo son:

A continuación se presenta la región en la que son estables las leyes de control propuestas:

alfa

Fig. 5.1 Región de estabilidad tau vs alfa

[

]

[ ]

seg

3.000

al

adimension

1.5

=

−

=

τ

α

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