Los m´etodos vistos se aplican a la soluci´on de la ecuaci´on f(x) = 0. El m´etodo de punto fijo sirve para resolver la ecuaci´on
g(x) =x. (4.8)
Se busca unx∗ tal que su imagen, por medio de la funci´ong, sea el mismo
x∗. Por tal motivo se dice que x∗ es un punto fijo de la funci´ong.
La aplicaci´on del m´etodo es muy sencilla. A partir de unx0 dado, se aplica
varias veces la f´ormula
xk+1=g(xk). (4.9) Se espera que la sucesi´on{xk}construida mediante (4.9) converja hacia x∗. En algunos casos el m´etodo, adem´as de ser muy sencillo, es muy eficiente; en otros casos la eficiencia es muy peque˜na; finalmente, en otros casos el m´etodo definitivamente no sirve.
Ejemplo 4.5. Resolverx3+x2+6x+5 = 0. Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma
x=−x
3+x2+ 5
6 ·
4.7. M ´ETODO DE PUNTO FIJO 139 x0 = -1 x1 = -0.833333 x2 = -0.852623 x3 = -0.851190 x4 = -0.851303 x5 = -0.851294 x6 = -0.851295 x7 = -0.851295 x8 = -0.851295
Entonces se tiene una aproximaci´on de una ra´ız, x∗ ≈ −0.851295. En este caso el m´etodo funcion´o muy bien. Utilicemos ahora otra expresi´on para
x=g(x):
x=−x
3+ 6x+ 5
x ·
Aplicando el m´etodo de punto fijo a partir de x0 = −0.851, muy buena
aproximaci´on de la ra´ız, se tiene:
x0 = -0.8510 x1 = -0.8488 x2 = -0.8294 x3 = -0.6599 x4 = 1.1415 x5 = -11.6832 x6 = -142.0691 x7 = -2.0190e+4
En este caso se observa que, aun partiendo de una muy buena aproximaci´on de la soluci´on, no hay convergencia. 3
Antes de ver un resultado sobre convergencia del m´etodo de punto fijo, ob- servemos su interpretaci´on gr´afica. La soluci´on deg(x) =xest´a determinada por el punto de corte, si lo hay, entre las gr´aficasy=g(x) y y=x.
Despu´es de dibujar las dos funciones, la construcci´on de los puntos x1,x2,
x3... se hace de la siguiente manera. Despu´es de situar el valorx0 sobre el
ejex, para obtener el valorx1, se busca verticalmente la curva y=g(x). El
punto obtenido tiene coordenadas (x0, g(x0)), o sea, (x0, x1). Para obtener
x2 =g(x1) es necesario inicialmente resituar x1 sobre el eje x, para lo cual
y=x
y =g(x)
x∗
Figura 4.4: Punto fijo
(x1, x1). A partir de este punto se puede obtenerx2buscando verticalmente
la curva y = g(x). Se tiene el punto (x1, g(x1)), o sea, (x1, x2). Con
desplazamiento horizontal se obtiene (x2, x2). En resumen, se repite varias
veces el siguiente procedimiento: a partir de (xk, xk) buscar verticalmente
en la curva y = g(x) el punto (xk, xk+1), y a partir del punto obtenido
buscar horizontalmente en la rectay=x el punto(xk+1, xk+1). Si el proceso
converge, los puntos obtenidos tienden hacia el punto (x∗, g(x∗)) = (x∗, x∗). Las figuras 4.5 a 4.8 muestran gr´aficamente la utilizaci´on del m´etodo; en los dos primeros casos hay convergencia; en los otros dos no hay, aun si la aproximaci´on inicial es bastante buena.
En seguida se presentan dos teoremas (demostraci´on en [Atk78]) sobre la convergencia del m´etodo de punto fijo; el primero es m´as general y m´as preciso, el segundo es una simplificaci´on del primero, de m´as f´acil aplicaci´on para ciertos problemas.
Teorema 4.2. Sea g continuamente diferenciable en el intervalo [a, b], tal que
g([a, b]) ⊆ [a, b],
|g′(x)| < 1, para todo x∈[a, b].
Entonces existe un ´unico x∗ en [a, b] soluci´on de x=g(x) y la iteraci´on de punto fijo (4.9) converge a x∗ para todo x
4.7. M ´ETODO DE PUNTO FIJO 141
y=x
y=g(x)
x0 x1 x2x3 x∗
Figura 4.5: M´etodo de punto fijo (a)
y=x
y=g(x)
x0 x2 x∗x3 x1
y=x y=g(x)
x0 x2 x3 x4
x∗
Figura 4.7: M´etodo de punto fijo (c)
y=x y=g(x)
x0
x1 x2
x3 x∗ x4
4.7. M ´ETODO DE PUNTO FIJO 143 Teorema 4.3. Sea x∗ soluci´on de x=g(x), g continuamente diferenciable en un intervalo abierto I tal que x∗ ∈I, |g′(x∗)|<1. Entonces la iteraci´on
de punto fijo (4.9) converge a x∗ para todox
0 suficientemente cerca de x∗.
El caso ideal (la convergencia es m´as r´apida) se tiene cuandog′(x∗)≈0.
En los dos ejemplos num´ericos anteriores, para resolverx3+x2+ 6x+ 5 = 0,
se tiene: x = g(x) = −(x3 +x2 + 5)/6, g′(−0.8513) = −0.0786. Si se considera x = g(x)−(x3 + 6x+ 5)/x, g′(−0.8513) = 8.6020. Estos resultados num´ericos concuerdan con el ´ultimo teorema.
Dos de los ejemplos gr´aficos anteriores muestran justamente que cuando |g′(x∗)|<1 el m´etodo converge.
Ejemplo 4.6. Resolver x2 = 3, o sea, calcular√3.
x2 = 3, x2+x2 = x2+ 3, x = x 2+ 3 2x , x = x+ 3/x 2 · x0 = 3 x1 = 2 x2 = 1.75000000000000 x3 = 1.73214285714286 x4 = 1.73205081001473 x5 = 1.73205080756888 x6 = 1.73205080756888
Se observa que la convergencia es bastante r´apida. Este m´etodo es muy utilizado para calcular ra´ıces cuadradas en calculadoras de bolsillo y com- putadores.
Aplicando el teorema 4.3 y teniendo en cuenta queg′(x∗) =g′(√3) = 1/2− 1.5/x∗2 = 0, se concluye r´apidamente que si x0 est´a suficientemente cerca de √3, entonces el m´etodo converge.
La aplicaci´on del teorema 4.2 no es tan inmediata, pero se obtiene infor- maci´on m´as detallada. La soluci´on est´a en el intervalo [2,3]; consideremos
un intervalo a´un m´as grande: I = [1 +ε,4] con 0< ε <1. g(1) = 2, g(4) = 2.375, g′(x) = 1 2− 3 2x2, g′(√3) = 0, g′(1) = −1, g′(4) = 13 32, g′′(x) = 3 x3·
Entonces g′′(x) > 0 para todo x positivo. Luego g′(x) es creciente para
x >0. Como g′(1) = −1, entonces −1< g′(1 +ε). De nuevo por ser g′(x) creciente, entonces −1 < g′(x) ≤ 13/32 para todo x ∈ I. En resumen, |g′(x)|<1 cuandox∈I.
Entre 1 +ε y √3 el valor de g′(x) es negativo. Entre √3 y 4 el
valor deg′(x) es positivo. Luegog decrece en [1 +ε,√3] y crece en [√3,4]. Entoncesg([1 +ε,√3]) = [g(1 +ε),√3]⊆[2,√3] yg([√3,4]) = [√3,2.375]. En consecuencia g(I) = [√3,2.375] ⊆ I. Entonces el m´etodo de punto fijo converge a x∗ =√3 para cualquier x
0 ∈]1,4]. Este resultado se puede
generalizar al intervalo [1 +ε, b] conb >√3.
Si se empieza conx0 = 1/2, no se cumplen las condiciones del teorema; sin
embargo, el m´etodo converge. 3
4.7.1 Modificaci´on del m´etodo de punto fijo
La convergencia del m´etodo de punto fijo se puede tratar de mejorar re- tomando las ideas del m´etodo de la secante. Consideremos la ecuaci´on
x = g(x) y los puntos (xi, g(xi)), (xj, g(xj)), sobre la gr´afica de g. Es- tos puntos pueden provenir directamente o no del m´etodo de punto fijo. es decir, se puede tener quexi+1 =g(xi) y que xj+1 =g(xj), pero lo anterior
no es obligatorio.
La idea consiste simplemente en obtener la ecuaci´on de la recta que pasa por esos dos puntos y buscar la intersecci´on con la recta y =x. La abcisa del punto dar´a un nuevo valor xk.
4.7. M ´ETODO DE PUNTO FIJO 145 y =mx+b m= g(xj)−g(xi) xj−xi (4.10) g(xi) =mxi+b b=g(xi)−mxi (4.11) xk =mxk+b xk = b 1−m. (4.12)
Ahora se usan los puntos (xj, g(xj)), (xk, g(xk)), para obtener un nuevoxm, y as´ı sucesivamente. Usualmente, j=i+ 1 yk=j+ 1.
4.7.2 M´etodo de punto fijo y m´etodo de Newton
Supongamos quec6= 0 es una constante y quex∗ es soluci´on de la ecuaci´on
f(x) = 0. ´Esta se puede reescribir 0 = cf(x),
x = x+cf(x) =g(x). (4.13) Si se desea resolver esta ecuaci´on por el m´etodo de punto fijo, la convergencia es m´as r´apida cuando g′(x∗) = 0, o sea,
1 +cf′(x∗) = 0,
c = − 1
f′(x∗).
Entonces al aplicar el m´etodo de punto fijo a (4.13), se tiene la f´ormula
xk+1=xk−
f(xk)
f′(x∗). (4.14)
Para aplicar esta f´ormula se necesitar´ıa conocer f′(x∗) e impl´ıcitamente el
valor de x∗, que es precisamente lo que se busca. La f´ormula del m´etodo
de Newton, (4.1), puede ser vista simplemente como la utilizaci´on de (4.14) reemplazando f′(x∗) por la mejor aproximaci´on conocida en ese momento:
f′(x