La evolución de los Esquemas en APOE

De ninguna manera hay que considerar que el esquema se mantiene fijo, sino al contrario, éste se encuentra en constante evolución y se reestructura dependiendo de las nuevas situaciones problemáticas a las que se enfrenta el individuo. Logrando establecer relaciones con otros esquemas involucrados con el concepto que se ha construido, la noción de esquema y los mecanismos de su evolución “permiten dar cuenta de las relaciones que se establecen entre

los distintos conceptos, y la forma en la que estas relaciones evolucionan cuando un individuo se enfrenta a conceptos complejos, y a situaciones en las que requiere utilizar conjuntamente conceptos que provienen de distintas ramas de la matemática o distintos conceptos que antes no se consideraban relacionados unos con otros. De esta manera permite incluir otros objetos matemáticos de la misma rama de las matemáticas, que para un individuo no tenían que ver unos con otros, antes de encontrar dicha relación” (Trigueros,

2005, ampliado de acuerdo a una comunicación personal).

En el mismo artículo citado, Trigueros menciona que al hablar de esquemas dentro de la teoría APOE no basta con especificar las acciones y los procesos y los objetos que intervienen en la solución de un problema o de un conjunto de problemas, sino que es necesario tomar en cuenta que estos elementos están interconectados unos con otros. Tal como ella menciona se deben tomar en cuenta las relaciones que puede hacer el individuo al resolver un problema, ya que con ello se pueden identificar en las acciones del individuo distintos grados de formación o de estructuración de los esquemas en estudio, dependiendo de las relaciones que se pueden identificar como construidas.

Esta evolución ha sido tratada en diversas investigaciones que dan cuenta de la construcción del esquema de distintos conceptos por parte de los alumnos como por ejemplo la regla de la cadena para la derivación en cálculo (Clark et al., 1997), la regla de la cadena y su relación con la composición de funciones (Cottrill, 1999), series y sucesiones (McDonald et al., 2000), las

relaciones entre la gráfica de una función y las propiedades de su primera y segunda derivadas (Baker et al., 2000 y Cooley et al., 2007) y, sistemas de ecuaciones diferenciales (Trigueros, 2000).

2.3

Rol de la Tematización en la construcción de

los Esquemas

Cuando un estudiante reflexiona sobre su comprensión del esquema de un concepto, visto como “un todo”, y es capaz de realizar nuevas acciones sobre el esquema, entonces se dice que el esquema ha sido tematizado en un objeto. Es decir, se llega a una nueva estructura mental, que son los esquemas, en esta instancia pueden ser tratados como objetos e incluirse en organizaciones de esquemas de “más alto nivel”. (Asiala, et al., 1996).

Por ejemplo los espacios vectoriales pueden ser concebidos dentro de las transformaciones lineales, se pueden introducir operaciones sobre estas transformaciones, y se pueden examinar propiedades de las operaciones. Finalmente es posible organizar todo lo anterior construyendo un esquema de espacio de funciones, el que puede ser aplicado a conceptos como: espacios duales (este ejemplo también se menciona en Dubinsky, 1997).

2.4 Niveles de Evolución de un Esquema

Según Piaget y García (1989) se pueden considerar distintos niveles de evolución de un esquema: los niveles intra-, inter- y trans-, que a continuación definimos. Más adelante en el capítulo 3, apartado 3.1.3, esta definición será la base para caracterizar los comportamientos de los estudiantes, que servirán como indicadores de que ellos trabajan en uno u otro nivel.

El nivel de esquema Intra- se asocia con la construcción de acciones,

procesos y objetos relacionados con un mismo concepto de manera aislada. En este nivel no hay conexiones entre las diferentes componentes que conforman el esquema; cuando decimos que no hay conexiones, nos referimos a que las

componentes de ese esquema forman estructuras ligadas entre sí por relaciones débiles, y no se han identificado transformaciones que permitan establecer una relación estable entre los componentes del esquema.

El nivel de esquema Inter- se asocia con la existencia de relaciones entre

diferentes acciones, procesos y objetos relacionados con un concepto, es decir, en este nivel se identifica algún tipo de transformación que permite relacionar de manera más fuerte los elementos constitutivos del esquema.

El nivel de esquema Trans- Se identifica alguna conservación que permite

darle coherencia al esquema en el sentido de que el estudiante puede determinar en qué situaciones el esquema se puede utilizar como un todo y en cuáles no. En las etapas previas, aun cuando el individuo puede evocar las componentes del esquema e incluso establecer relaciones entre ellas, no lo utiliza de manera coherente, como un todo. Esto no implica que el esquema se haya tematizado pues para tematizarlo el individuo requiere poder hacer acciones sobre el esquema como objeto. También conviene aclarar ya que esto tampoco está totalmente claro en la teoría APOE: el esquema como un todo o sea en el nivel trans es lo que en la descomposición genética se establece como la estructura objetivo a construir y en un momento dado a tematizar, si es necesario.

2.5 Una Descomposición Genética del concepto

Espacio Vectorial

El proceso de investigación en la teoría APOE conlleva el tener en cuenta una descomposición genética del concepto con el que se trabaja (en este caso el de espacio vectorial) que consiste en plasmar las construcciones que se consideran necesarias para aprender un concepto, en otras palabras “una descomposición genética… es una primera aproximación para modelar el aprendizaje del concepto matemático en cuestión” (Trigueros y Oktaç, 2005).

Esta descomposición genética “está basada en un marco teórico de aprendizaje general, la totalidad de nuestras observaciones y experiencias, y nuestra propia comprensión de las matemáticas implicadas” (Glosario de la teoría APOE, RUMEC).

Trigueros y Oktaç (2005) presentan de una manera breve la teoría APOE (Acción – Proceso – Objeto - Esquema) y explican su uso en el caso de proyectos de investigación que envuelven construcciones mentales que los estudiantes hacen cuando aprenden álgebra lineal. Ellas presentan una descomposición genética del concepto de espacio vectorial mencionando que la construcción del concepto de espacio vectorial se da a través de comenzar con la verificación de los axiomas que satisface un conjunto para ser llamado espacio vectorial. Una vez que estas verificaciones se han hecho, se tiene la construcción del esquema de espacio vectorial. Para que este esquema sea consistente el sujeto debe trabajar con espacios vectoriales particulares, con el fin de que cada caso específico ayude al sujeto a descubrir una estructura general llamada espacio vectorial. En términos generales las autoras más que describir la descomposición genética del concepto de espacio vectorial como objeto (sin tomar en consideración las relaciones que se establecen con otros conceptos), hablan de la construcción de un esquema para espacio vectorial que incluye todas las propiedades y características que dichos espacios tienen: bases que los generan, dimensión, la construcción de combinaciones lineales o la idea de independencia lineal, etc. Así, podemos intuir que además de los axiomas hay otros elementos que entran en la estructura de espacio vectorial como esquema, que se está considerando aquí.

En Trigueros y Oktaç (2005) las autoras exponen que:

“para construir el concepto de espacio vectorial, un sujeto debe hacer

acciones sobre los elementos de un conjunto utilizando la definición de una operación binaria. El sujeto debe partir entonces de los esquemas de conjunto y de operación binaria. El estudiante realiza acciones para verificar si cada uno de los diez axiomas que definen un espacio vectorial se verifica… Los diez procesos individuales son coordinados en un solo proceso de verificación de todos los axiomas, esto quiere decir que la construcción de un esquema de

espacio vectorial implica la coordinación de cuatro esquemas: axioma, operación binaria, función y conjunto. En el momento de proceso de construcción del esquema de espacio vectorial, el sujeto trabaja sobre una colección de espacios vectoriales particulares. Cada caso específico ayuda al sujeto a darse cuenta de las diferentes propiedades que la estructura posee, que corresponde a la interiorización de acciones de verificación en procesos. Después el sujeto puede encapsular estos procesos en un objeto y darse cuenta de la existencia de una estructura general. El sujeto puede percibir entonces las propiedades invariantes de un espacio particular para construir un nuevo objeto llamado espacio vectorial”.

Descomposición genética del concepto de Espacio Vectorial (Trigueros y Oktaç, 2005)

Cabe aclarar que el concepto de función forma parte de esta descomposición genética, debido a que según el acercamiento de RUMEC, el estudiante debe construir una función en términos de un programa (ISETL)

coordinación Conjunto Conjunto de n-uplas Espacio vectorial Operación _Axiomas Función Coordinación de procesos particulares Conjunto

que arroja verdadero en caso de que el conjunto en consideración sea un espacio vectorial y falso si no lo es.

Tal como se presenta en los párrafos anteriores, se observa que la construcción del concepto de espacio vectorial comienza con la verificación de los axiomas que satisface un conjunto para ser llamado espacio vectorial. La acción de estas verificaciones tiene que interiorizarse y luego coordinarse en un proceso de verificación. El sujeto debe trabajar con espacios vectoriales particulares con el fin de que cada caso específico ayude al sujeto a encapsular este proceso en un objeto, o sea, descubrir una estructura general llamada espacio vectorial.

Es importante aclarar que no puede hablarse dentro de esta teoría de, sólo una descomposición genética de un concepto, pues ésta depende de la formulación que ha hecho el investigador. Pueden coexistir varias descomposiciones genéticas de un mismo concepto. Lo que es importante es que cualquier descomposición genética de un concepto sea un instrumento que dé cuenta del comportamiento observable del sujeto (Trigueros y Oktaç, 2005). La descomposición genética presentada en Trigueros y Oktaç (2005) hace hincapié en la construcción del concepto de espacio vectorial como un objeto, aunque se dan algunos elementos de la construcción de un esquema.

Vargas (2007) explicitó algunos elementos de la descomposición genética de espacio vectorial presentada en Trigueros y Oktaç (2005), haciendo hincapié en la construcción de este concepto como proceso y objeto.

Descomposición genética del concepto de Espacio Vectorial Vargas (2007)

Los resultados obtenidos en Vargas (2007) dan cuenta que los alumnos presentan dificultades con la coordinación de los esquemas de: cuerpo, operaciones binarias, conjunto y axioma que son indispensables para construir el esquema de espacio vectorial.

En nuestra investigación planteamos una descomposición genética, enfocándonos en el concepto en cuestión como un esquema. También ponemos especial énfasis en algunos aspectos como la coordinación de los procesos asociados a las dos operaciones binarias involucradas y el papel que juega el cuerpo de escalares.

2.6 Ciclo de Investigación

La teoría APOE proporciona un ciclo de investigación compuesto por tres componentes: el análisis teórico, el diseño y aplicación de instrumentos y el análisis y verificación de datos.

Ciclo de Investigación (Asiala et al., 1996)

Este ciclo de investigación determinado por las tres componentes permite obtener una descripción más detallada, de las acciones que realizan los estudiantes sobre los objetos, que permiten hacer nuevas construcciones mentales, mediante su repetición. Así tanto el análisis teórico como los instrumentos se refinan y mejoran como resultado del análisis de los datos empíricos obtenidos en el desarrollo de la tercera componente. Veamos qué se busca lograr en cada una de estas componentes y la manera como están relacionadas.

¾ Análisis teórico: Este ciclo de investigación parte de un análisis teórico sobre el concepto matemático donde se tiene en cuenta el análisis de libros de texto y la experiencia de los investigadores para determinar un camino viable para la construcción de un concepto. Este análisis permite mediante la descripción de las construcciones mentales, modelar la epistemología y cognición del concepto matemático estudiado. Análisis teórico Análisis y Verificación de datos Diseño y aplicación de instrumentos

Asiala et al. (1996) plantean dos preguntas que deben guiar el trabajo en esta componente: ¿Qué significa comprender un concepto matemático? y ¿Cómo esa comprensión puede ser alcanzada por un individuo? Este planteamiento promueve la reflexión sobre qué es comprender un concepto determinado y las implicaciones que dicha reflexión tiene en la forma como un estudiante lo concibe. Esto va mucho más allá de la representación mecánica de algoritmos o de la supuesta construcción de un concepto aislado. Desde esta perspectiva el objetivo principal del análisis teórico es definir una descomposición genética viable para que los estudiantes construyan un concepto determinado, mediante la descripción explícita de las construcciones mentales por las cuales puede acceder a la construcción adecuada de un concepto. Cabe mencionar que no existe una única descomposición genética de un concepto, ya que éstas dependen de los caminos de construcción del concepto y las estructuras definidas en los estudiantes. Cada descomposición genética debe ser el resultado de la aplicación completa de las tres componentes de este ciclo de investigación lo que permite documentarla con los datos empíricos. Si una descomposición genética pasa por este ciclo en varias ocasiones tal vez tendremos una mucho más elaborada que pueda abordar con más detalle y profundidad la construcción de un concepto determinado.

¾ Diseño y aplicación de instrumentos: Una vez definida la descomposición genética preliminar es necesario documentarla, es decir, tener alguna certeza de la viabilidad del camino señalado en ella. Para esto es necesario diseñar y aplicar instrumentos que permitan identificar las construcciones mencionadas en la descomposición genética. Estos diseños construidos con base en la descomposición genética deben reflejar las construcciones expuestas en ella mediante los cuales los estudiantes pueden construir dichos conceptos.

¾ Análisis y verificación de datos: Esta componente lleva al análisis de los datos empíricos obtenidos en la componente anterior. Los resultados obtenidos con la aplicación de los instrumentos deben ser analizados

desde la descomposición genética preliminar detectando qué elementos no han sido considerados o cuáles de las construcciones dadas hipotéticamente no se perciben. Esto lleva a una reformulación de la descomposición genética y a la determinación de una versión refinada de la descomposición genética para este ciclo.

Como resultado de la aplicación de este ciclo de investigación determinaremos una descomposición genética refinada para esta etapa de investigación que sin duda aún podrá ser mejorada mediante la repetición de este ciclo.

Capítulo 3

Análisis teórico, intención de

los instrumentos y análisis

hipotético sobre las

construcciones

Capítulo 3

Análisis teórico, intención de los

instrumentos y análisis

hipotético sobre las

construcciones

La metodología que usaremos en esta investigación está fundamentada en el ciclo de investigación dado por la teoría APOE (Asiala et al., 1996). Considerando las tres componentes de dicho ciclo (análisis teórico, diseño y aplicación de instrumentos, e implementación y recolección de datos) diseñamos una descomposición genética hipotética, como resultado del análisis teórico; ésta a su vez fundamentó el diseño de los instrumentos (cuestionario diagnóstico y entrevista).

Para cada instrumento presentamos un análisis a priori basado en el análisis teórico donde presentamos una reflexión sobre las posibles soluciones que los estudiantes pueden dar y la manera como éstas se relacionan con las construcciones mentales descritas en la descomposición genética preliminar.

3.1 Análisis Teórico

Como ya mencionamos en los antecedentes, existen diferentes investigaciones relacionadas con la enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal. Algunos investigadores como Duval, Hillel y Sierspinska se han centrado en el análisis de los registros de representación, la diversidad de lenguajes y los modos de pensamiento a través de los cuales los objetos del

álgebra lineal pueden ser representados (Duval, 1995; Hillel, 2000; Sierpinska, 2000; citados en Dorier y Sierpinska, 2001). Ellos han detectado que esta diversidad de representación de los objetos causa grandes dificultades en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, ya que deben distinguir entre los diferentes caminos de representación de los objetos y el tránsito entre un registro y otro (Dorier, 2002). Partiendo de este hecho y teniendo en cuenta que sobre la evolución cognitiva del concepto espacio vectorial no existen estudios previos con base en la teoría APOE, hemos decidido centrar nuestra investigación en la construcción formal del concepto.

Veamos la definición que algunos textos dan de este concepto:

I. Un espacio vectorial (o espacio lineal) consta de lo siguiente:

1. un cuerpo F de escalares

2. un conjunto V de objetos llamados vectores;

3. una regla (u operación) llamada adición que asocia a cada par de

vectores ,α β de V un vector α β+ de V, que se llama suma de y

α β, de tal modo que:

(a) la adición es conmutativa, α β β α+ = + ;

(b) la adición es asociativa, α +

(

β γ+

) (

= α β+

)

+γ ;

(c) existe un único 0 de V, llamado vector nulo, tal que α+ =0 α,

para todo α de V;

(d) para cada vector α de V, existe un único vector α− de V, tal

que α + −

( )

α =0;

4. una regla (u operación), llamada multiplicación escalar, que asocia a

cada escalar c de F y a cada vector α de V un vector cα en V, llamado producto de c y α de tal modo que:

(a) 1α α= para todo α de V; (b)

(

c c_{1 2}

)

α =c c₁

(

₂α

)

;

(c) c

(

α β+

)

=cα +cβ

(d)

(

c₁+c₂

)

α =c₁α +c₂α

II. Un espacio vectorial V sobre el campo K (los elementos se K se

llamarán números) es un conjunto de objetos que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por elementos de K, de tal manera que la suma de dos elementos de V es, de nuevo, un elemento de V, el producto de un elemento de V por un elemento de K es un elemento de V y, además se satisfacen las siguientes propiedades:

EV 1. Dados los elementos u,v,w de V, se tiene: (u + v ) + w = u + ( v + w).

EV 2. Existe un elemento de V, denotado por O, tal que:

O + u = u + O = u

Para todos los elementos u de V.

EV 3. Dado un elemento u de V, el elemento −u en V es tal que:

u + (−u) = O.

EV 4. Para todos los elementos u,v de V se tiene que:

U + v = v + u

EV 5. Si c es un número, entonces c(u+v) = cu + cv.

EV 6. Si a y b son números, entonces (a+b)v = av + bv.

EV 7. Si a y b son números, entonces (ab)v = a(bv).

EV 8. Para todos los elementos u de V se tiene que 1 ⋅ u = u (en donde 1 es el número uno).

(Lang, 1970)

III. Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a

continuación:

i. Si x∈ y y VV ∈ , entonces x y V+ ∈ (cerradura bajo la suma).

ii. Para todo x y, y en ,z V

(

x+y

)

+ = +z x

(

y+z

)

(ley asociativa de la suma de vectores).

iii. Existe un vector 0 V∈ tal que para todo x∈V x, + = + = 0 0 x x

iv. Si x∈ , existe un vector V −x en V tal que x+ −

( )

x =0

(−x se llama inverso aditivo de x).

v. Si x y y están en V, entonces x+ = +y y x

(ley conmutativa de la suma de vectores). vi. Si x∈ y α es un escalar, entonces V αx∈V

(cerradura bajo la multiplicación por un escalar) vii. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces

(

x y

)

x y

α + =α +α (primera ley distributiva). viii. Si x∈ están en V y y V α β son escalares, entonces

(

α β+

)

x=αx+βx (segunda ley distributiva).

ix. Si x∈ y y V α β son escalares, entonces α β

( ) ( )

x = αβ x

(ley asociativa de la multiplicación por escalares) x. Para cada vector x∈V,1x = x.

(Grossman, 1992)

IV. Un conjunto V de objetos llamados vectores, junto con las operaciones

binarias suma de vectores y multiplicación por escalar se dice que va a ser un espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares K, si para todo

, , en

u v w V y para todo ,k j en K se cumplen los siguientes axiomas:

Axioma 1: u+ ∈v V (cerrado para la suma de vectores)

Axioma 2: u+ = +v v u (conmutatividad para la suma de vectores)

Axioma 3:

(

u+v

)

+w = +u

(

v+w

)

(asociatividad)

Axioma 4: Existe un vector 0 V∈ tal que v+ =0 v (vector cero)

Axioma 5: Para cada v∈V hay un único elemento

( )

− ∈v V tal que

( )

+ − = 0

v v (vector inverso)

Axioma 6: kv∈V (cerrado para la multiplicación escalar)

Axioma 7:

( )

kj v =k jv

( )

(asociatividad de la multiplicación por

escalar)

Axioma 9:

(

k+ j v

)

=kv + jv (segunda ley distributiva)

Axioma 10: Existe un elemento 1 K∈ tal que para todo ven V, 1v v =

(identidad escalar)

(Weller et al., 2002)

Decidimos considerar las definiciones presentadas en estos textos, ya que las tres primeras corresponden a la bibliografía utilizada por los estudiantes que serán parte de esta investigación, en sus cursos de álgebra lineal (ver anexo 1 y 2). La cuarta definición, la hemos considerado por ser la que presenta RUMEC.

Como podemos apreciar todas las definiciones presentan a un espacio vectorial, digamos E sobre un cuerpo, digamos Γ , como un conjunto con la siguiente estructura algebraica:

ƒ Hay una función fija de E E× →E, anotada por

(

x y,

)

→ +x y y que

satisface axiomas.

ƒ Hay una función fija de Γ × →E E anotada por

( )

λ, x →λx y que

también satisface axiomas, pero axiomas diferentes a los del punto

In document Evolución Cognitiva del Concepto Espacio Vectorial. (página 48-200)