Experiencias vinculadas al proyecto nacional Conectar Igualdad

Orismìc 5.1. 'Estw X topologikìc q¸roc kai K ⊆ X.

(i) O X kaleÐtai sumpag c, an kˆje anoiktì kˆlumma {Ui}i∈I tou X èqei peperasmèno

upokˆlumma, dhlad  upˆrqei F peperasmèno uposÔnolo tou I, ¸ste X = Si∈FUi.

(ii) To K kaleÐtai sumpagèc uposÔnolo tou X, an eÐnai sumpag c wc topologikìc q¸roc efodiasmènoc me th sqetik  topologÐa.

Parat rhsh 5.2. EÐnai eÔkolo na elègxete ìti to K eÐnai sumpagèc, an, kai mìno an, kˆje anoiktì kˆlumma tou K èqei peperasmèno upokˆlumma. Dhlad , an, kai mìno an, gia kˆje {Ui}i∈I oikogèneia anoikt¸n uposunìlwn tou X me K ⊆ S_i∈IUi, upˆrqei F

peperasmèno uposÔnolo tou I, ¸ste K ⊆ Si∈F Ui.

Autìc o isodÔnamoc orismìc eÐnai pio qrhstikìc, kaj¸c den emplèkei th sqetik  to- pologÐa. EntoÔtoic, sth sunèqeia ja qrhsimopoi soume kai touc dÔo orismoÔc.

ParadeÐgmata 5.3.

(i) An ènac diakritìc topologikìc q¸roc eÐnai sumpag c, tìte eÐnai peperasmènhc plhji- kìthtac (|X| < ∞). (Upìdeixh: jewr ste to anoiktì kˆlumma pou apoteleÐtai apì ìla ta monosÔnola.)

(ii) An ènac topologikìc q¸roc eÐnai peperasmènhc plhjikìthtac, tìte eÐnai sumpag c (afoÔ kˆje anoiktì kˆlumma eÐnai peperasmèno).

76 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Prìtash 5.4. 'Estw X sumpag c topologikìc q¸roc kai F ⊆ X kleistì. Tote, to F eÐnai sumpagèc.

Apìdeixh. 'Estw {Vi}i∈I èna anoiktì kˆlumma tou upoq¸rou F . AfoÔ gia kˆje i ∈ I

to Vi eÐnai anoiktì (sth sqetik  topologÐa) uposÔnolo tou F , tìte upˆrqei Ui anoiktì

uposÔnolo tou X, ¸ste Vi = Ui∩ F. 'Eqoume, loipìn, ìti

F =[ i∈I Vi = [ i∈I (Ui∩ F ) = [ i∈I Ui
∩ F.

'Ara, ja prèpei F ⊆ Si∈IUi. Autì shmaÐnei ìti to {Ui}i∈I ∪ {X r F } eÐnai anoiktì

kˆlumma tou X, afoÔ to X r F eÐnai anoiktì. Epomènwc, lìgw sumpˆgeiac, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma {Ui}i∈G∪ {X r F }, kai ˆra F ⊆Si∈GUi, ìpou G peperasmèno

uposÔnolo tou I. (Parathr ste ìti sto peperasmèno upokˆlumma tou X to sÔnolo X r F eÐnai aparaÐthto, diìti to {Ui}i∈I den kalÔptei kat' anˆgkh to X.) Sunep¸c,

upˆrqei peperasmèno upokˆlumma tou {Vi}i∈I, afoÔ

F = [ i∈G Ui
∩ F = [ i∈G (Ui∩ F ) = [ i∈G Vi,

kai to G eÐnai peperasmèno uposÔnolo tou I.

Prìtash 5.5. Kˆje topologikìc q¸roc Hausdorff kai sumpag c eÐnai T3.

Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q¸roc Hausdorff kai sumpag c. Epilègoume èna x ∈ X kai èna F ⊆ X kleistì me x 6∈ F . Epeid  o X eÐnai Hausdorff, gia kˆje y ∈ F upˆrqoun Uy, Vy ⊆ X xèna, anoiktˆ, ¸ste x ∈ Uy kai y ∈ Vy. ParathroÔme ìti h

oikogèneia {Vy : y ∈ F } eÐnai èna anoiktì kˆlumma tou F . EpÐshc, to F eÐnai sumpagèc

wc kleistì uposÔnolo sumpagoÔc q¸rou. 'Ara, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma {Vyi :

i = 1, . . . , n}, ìpou n ∈ N. Jètoume V = n [ i=1 Vyi kai U = n \ i=1 Uyi,

ta opoÐa eÐnai anoiktˆ uposÔnola tou X (sto shmeÐo autì faÐnetai o katalutikìc rìloc thc sumpˆgeiac; to U eÐnai anoiktì). EpÐshc, isqÔei ìti x ∈ U kai F ⊆ V . Mènei na deÐxoume ìti ta U kai V eÐnai xèna. 'Estw z ∈ U ∩ V . Tìte, upˆrqei i0 ∈ {1, . . . , n},

5.1. SUMPAGEŸIS QŸWROI KAI BASIKŸES IDIŸOTHTES 77 ¸ste z ∈ Vy_i0. EpÐshc, z ∈ Uyi gia kˆje i ∈ {1, . . . , n}. Autì, ìmwc, eÐnai ˆtopo, diìti

ta Ui0 kai Vi0 eÐnai xèna. Sunep¸c, U ∩ V = ∅, kai ˆra o X eÐnai T3.

Je¸rhma 5.6. Kˆje topologikìc q¸roc Hausdorff kai sumpag c eÐnai T4.

Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q¸roc Hausdorff kai sumpag c. Epilègoume F1, F2⊆ X

xèna, kleistˆ. Apì thn prohgoÔmenh prìtash, o X eÐnai T3. Sunep¸c, gia kˆje x ∈ F1

upˆrqoun Ux, Vx⊆ X xèna, anoiktˆ, ¸ste x ∈ Ux kai F2⊆ Vx. 'Ara,

F1⊆

[

x∈F1

Ux,

kai epeid  (to F1) eÐnai sumpagèc wc kleistì uposÔnolo sumpagoÔc, èpetai ìti upˆrqei

n ∈ N, ¸ste F1 ⊆ n [ i=1 Uxi. Jètoume U = n [ i=1 Uxi kai V = n \ i=1 Vxi,

ta opoÐa eÐnai anoiktˆ uposÔnola tou X. Tèloc, parathroÔme ìti F1 ⊆ U, F2 ⊆ V kai

U ∩ V = ∅.

Prìtash 5.7. 'Estw X sumpag c topologikìc q¸roc, Y topologikìc q¸roc kai f : X → Y suneq c sunˆrthsh. Tìte, h eikìna f(X) eÐnai sumpagèc uposÔnolo tou Y . Apìdeixh. 'Estw {Vi}i∈I anoiktì kˆlumma tou f(X). H oikogèneia {f−1(Vi)}i∈I eÐnai

anoiktì kˆlumma tou X. Prˆgmati, kˆje stoiqeÐo thc {f−1_(V

i)}i∈I eÐnai anoiktì, diìti h

f eÐnai suneq c. Epiplèon eÐnai kˆlumma, diìti X = f−1 f (X)
⊆ f−1 [ i∈I Vi
⊆ [ i∈I f−1(Vi).

Lìgw sumpˆgeiac tou X, upˆrqei {i1, . . . , in} peperasmèno uposÔnolo tou I, ¸ste

X = n [ k=1 f−1(Vin). Sunep¸c, f (X) = f n [ k=1 f−1(Vin)
= n [ k=1 f f−1(Vi)
⊆ n [ k=1 Vi.

78 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Epomènwc, to {Vik}

n

k=1 eÐnai peperasmèno upokˆlumma tou {Vi}i∈I, kai ˆra to f(X) eÐnai

sumpagèc.

Pìrisma 5.8. H sumpˆgeia eÐnai topologik  idiìthta.

Apìdeixh. ArkeÐ na parathr soume ìti, lìgw thc prohgoumènhc prìtashc, h sumpˆgeia diathreÐtai mèsw omoiomorfism¸n.

Prìtash 5.9. 'Estw X topologikìc q¸roc Hausdorff kai G ⊆ X sumpagèc. Tìte, to GeÐnai kleistì.

Apìdeixh. Ja deÐxoume ìti to X r G eÐnai anoiktì. Proc toÔto, arkeÐ na deÐxoume ìti gia kˆje x ∈ X r G upˆrqei U anoiktì uposÔnolo tou X, ¸ste x ∈ U ⊆ X r G (opìte to X r G ja grˆfetai wc ènwsh anoikt¸n).

'Estw x ∈ X r G. Tìte, kˆje y ∈ G ja eÐnai diaforetikì apì to x. Sunep¸c, epeid  o X eÐnai Hausdorff, gia kˆje y ∈ G ja upˆrqoun Uy, Vy ⊆ X xèna, anoiktˆ, ¸ste

x ∈ Uy kai y ∈ Vy. Me autì ton trìpo ftiˆqnoume èna anoiktì kˆlumma {Vy : y ∈ G}

tou G. T¸ra, afoÔ to G eÐnai sumpagèc, ja upˆrqei peperasmèno upokˆlumma, dhlad  ja upˆrqei {y1, . . . , yn} peperasmèno uposÔnolo tou G, ¸ste

G ⊆ n [ i=1 Vyi. Jètoume V = n [ i=1 Vyi kai U = n \ i=1 Uyi,

ta opoÐa eÐnai anoiktˆ. EpÐshc, parathroÔme ìti G ⊆ V , x ∈ U kai V ∩ U = ∅. AfoÔ ta U kai V eÐnai xèna kai to V kalÔptei to G, èpetai ìti ta U kai G eÐnai xèna, dhlad  ìti to U perièqetai sto X r G. Sunep¸c, x ∈ U ⊆ X r G, kai ˆra èqoume to zhtoÔmeno. Je¸rhma 5.10. 'Estw X sumpag c topologikìc q¸roc, Y topologikìc q¸roc Haus- dorffkai f : X → Y suneq c sunˆrthsh 1-1 kai epÐ. Tote, h f eÐnai omoiomorfismìc. Apìdeixh. To mìno pou prèpei na deÐxoume eÐnai ìti h f−1 _{eÐnai suneq c. 'Estw, loipìn,}

F ⊆ X kleistì. ArkeÐ na deÐxoume ìti to (f−1)−1(F ) = f (F ) eÐnai kleistì (prìtash 2.7(ii)).

5.1. SUMPAGEŸIS QŸWROI KAI BASIKŸES IDIŸOTHTES 79 To F eÐnai sumpagèc wc kleistì uposÔnolo sumpagoÔc. 'Ara, epeid  h f eÐnai suneq c, to f(F ) eÐnai sumpagèc uposÔnolo tou Y . Tèloc, efìson o Y eÐnai Hausdorff, apì thn teleutaÐa prìtash èpetai ìti to f(F ) eÐnai kleistì, opìte èqoume to zhtoÔmeno.

Parat rhsh 5.11. H upìjesh ìti o Y eÐnai Hausdorff eÐnai aparaÐthth gia na isqÔei to je¸rhma.

Jewr ste, gia parˆdeigma, to {0, 1} me diaforetikèc topologÐec: th diakrit  topolo- gÐa Tdkai thn topologÐa Ts= {∅, {0, 1}, {0}}. H tautotik  apeikìnish Id : ({0, 1}, Td) →

({0, 1}, Ts) eÐnai suneq c, 1-1 kai epÐ. H antÐstrofh, ìmwc, Id−1 : ({0, 1}, Ts) →

({0, 1}, Td)den eÐnai suneq c, diìti (Id−1)−1({1}) = Id({1}) = {1} 6∈ Ts.

'Askhsh 5.12. 'Estw (X, T ) topologikìc q¸roc Hausdorff kai sumpag c. JewroÔme dÔo topologÐec T1 kai T2 tou X me T1 $ T $ T2.

(i) DeÐxte ìti o (X, T2) den eÐnai sumpag c, allˆ eÐnai Hausdorff.

(ii) DeÐxte ìti o (X, T1) den eÐnai Hausdorff, allˆ eÐnai sumpag c.

Apìdeixh.

(i) An o (X, T2)  tan sumpag c, tìte, apì to prohgoÔmeno je¸rhma, h tautotik  apeikì-

nish Id : (X, T2) → (X, T ) ja  tan omoiomorfismìc. Autì, ìmwc, eÐnai ˆtopo, diìti h

antÐstofh Id−1 _{: (X, T ) → (X, T}

2) den eÐnai suneq c, afoÔ T $ T2.

O (X, T2) paramènei Hausdorff katˆ tetrimmèno trìpo, afoÔ diaqwrÐzei ta shmeÐa tou

X qrhsimopoi¸ntac ta anoiktˆ thc T .

(ii) An o (X, T1) tan Hausdorff, pˆli me efarmog  tou idÐou jewr matoc, h Id : (X, T ) →

(X, T1) ja  tan omoiomorfismìc; ˆtopo, diìti h antÐstrofh den eÐnai suneq c, efìson

T_{1$ T .}

O (X, T1) paramènei, ìmwc, sumpag c, diìti h Id : (X, T ) → (X, T1) eÐnai suneq c,

kai ˆra h eikìna Id(X) = X ja eÐnai sumpag c.

'Enac deÔteroc trìpoc eÐnai o ex c: kˆje T1-anoiktì kˆlumma tou X eÐnai kai T -

anoiktì kˆlumma tou X. Opìte, afoÔ o (X, T ) eÐnai sumpag c, ja upˆrqei peperasmèno upokˆlumma tou T -anoiktoÔ kalÔmmatoc, pou telikˆ ja eÐnai kai peperasmèno upokˆlumma tou T1-anoiktoÔ kalÔmmatoc.

80 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Ac doÔme mÐa sunj kh metrikopoihsimìthtac gia sumpageÐc topologikoÔc q¸rouc, pou eÐnai sunèpeia tou parapˆnw jewr matoc.

Prìtash 5.13. 'Estw X sumpag c topologikìc q¸roc, {fn}n∈N akoloujÐa suneq¸n

sunart sewn pou diaqwrÐzei ta shmeÐa tou X, me fn : X → R gia kˆje n ∈ N. Tìte,

h sunˆrthsh ektÐmhshc e : X → RN eÐnai omoiomorfik  emfÔteush, kai ˆra o X eÐnai

metrikopoi simoc.

Apìdeixh. Apì to l mma 4.7, h sunˆrthsh ektÐmhshc e : X → RN eÐnai suneq c, ˆra,

apì ˆskhsh 2.4, h e : X → e(X) eÐnai suneq c. Epiplèon, epeid  h {fn}n∈N diaqwrÐzei

ta shmeÐa tou X, h e eÐnai 1-1. Tèloc, o R wc metrikìc q¸roc eÐnai Hausdorff, opìte o RN eÐnai Hausdorff wc ginìmeno q¸rwn Hausdorff, kai ˆra o e(X) eÐnai Hausdorff wc

upìqwroc q¸rou Hausdorff. Epomènwc, apì to je¸rhma 5.10, èpetai ìti h e : X → e(X) eÐnai omoiomorfismìc. Sunep¸c, ìpwc prokÔptei apì thn ˆskhsh 4.47, o X eÐnai metrikopoi simoc.

Orismìc 5.14. 'Estw X sÔnolo kai {Ai}i∈I oikogèneia uposunìlwn tou X. Lème ìti h

{Ai}i∈I èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c, an gia kˆje F peperasmèno uposÔnolo

tou I isqÔei

\

i∈F

Ai6= ∅.

Je¸rhma 5.15. 'Estw X topologikìc q¸roc. Ta epìmena eÐnai isodÔnama: (i) O X eÐnai sumpag c.

(ii) Kˆje {Gi}i∈I oikogèneia kleist¸n uposunìlwn tou X me thn idiìthta thc peperasmè-

nhc tom c èqei mh ken  tom , dhlad  isqÔei \

i∈I

Gi 6= ∅.

Apìdeixh.

(i)⇒(ii) 'Estw {Gi}i∈I oikogèneia kleist¸n uposunìlwn tou X me thn idiìthta thc pepe-

rasmènhc tom c. Upojètoume proc apagwg  se ˆtopo ìti Ti∈IGi = ∅. Tìte, Si∈I(X r

Gi) = X. To X rGi eÐnai anoiktì gia kˆje i ∈ I, ˆra to {(X rGi)}i∈I eÐnai èna anoiktì

5.1. SUMPAGEŸIS QŸWROI KAI BASIKŸES IDIŸOTHTES 81 ¸ste Si∈F(X r Gi) = X. Apì ed¸ sunepˆgetai ìti Ti∈F Gi = ∅, to opoÐo eÐnai ˆtopo,

diìti h {Gi}i∈I èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c.

(ii)⇒(i) 'Estw {Ui}i∈I anoiktì kˆlumma tou X. Autì shmaÐnei ìti X = Si∈IUi, kai ˆra

T

i∈I(X r Ui) = ∅. H oikogèneia {(X r Ui)}apoteleÐtai apì kleistˆ uposÔnola tou X,

ˆra, ex upojèsewc, de mporeÐ na èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c. Epomènwc, upˆrqei F peperasmèno uposÔnolo tou I, ¸ste Ti∈F(X r Ui) = ∅. SumperaÐnoume,

loipìn, ìti X = Si∈FUi, ap' ìpou sunepˆgetai ìti o X eÐnai sumpag c.

Parat rhsh 5.16. To (ii) tou parapˆnw jewr matoc mporeÐ na diatupwjeÐ isodÔnama wc ex c: Gia kˆje {Ai}i∈Ioikogèneia uposunìlwn tou X me thn idiìthta thc peperasmènhc

tom c isqÔei Ti∈IAi 6= ∅.

'Askhsh 5.17. 'Estw X topologikìc q¸roc Hausdorff kai {Kn}n∈N fjÐnousa ako-

loujÐa sumpag¸n, mh ken¸n uposunìlwn tou X. (i) DeÐxte ìti T∞_n=1Kn6= ∅.

(ii) An K = T∞_n=1Kn, deÐxte ìti to K eÐnai sumpagèc uposÔnolo tou X.

(iii) DeÐxte ìti gia kˆje U ⊆ X anoiktì me K ⊆ U upˆrqei n0 ∈ N, ¸ste Kn ⊆ U gia

kˆje n ≥ n0.

Apìdeixh.

(i) 'Estw ìti T∞_n=1Kn = ∅. Tìte, S∞_n=1(X r Kn) = X. Gia kˆje n ∈ N, to Kn eÐnai

kleistì wc sumpagèc uposÔnolo q¸rou Hausdorff. Epomènwc, to {(X r Kn)}n∈N eÐnai

anoktì kˆlumma tou X.

'Estw m ∈ N. Tìte, èqoume Km ⊆S∞n=1(X r Kn). Epeid  to Km eÐnai sumpagèc,

upˆrqei {n1, . . . , nk} ⊆ N, ¸ste Km ⊆Sk_i=1(X r Kni). Jètoume n0= min{n1, . . . , nk}.

Tìte, Km ⊆ (X r Kn0).

DiakrÐnoume tic ex c dÔo peript¸seic: An m ≤ n0, tìte Kn0 ⊆ Km, kai ˆra Kn0 ⊆

(X r Kn0); ˆtopo. An m > n0, tìte Km⊆ Kn0, kai ˆra Km∩ (X r Kn0) = ∅; ˆtopo.

(ii) 'Estw m ∈ N. Tìte, K ⊆ Km. O Km eÐnai sumpag c topologikìc q¸roc (me th

82 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA 'Ara, to K eÐnai kleistì uposÔnolo tou topologikoÔ q¸rou Km. Sunep¸c, to K eÐnai

sumpagèc uposÔnolo tou Km.

Ja deÐxoume ìti to K eÐnai sumpagèc kai ston X. 'Estw {Ui}i∈I kˆlumma tou K apì

anoiktˆ uposÔnola tou X. Epeid  K ⊆ Km, parathroÔme ìti K ⊆ Si∈I(Ui∩ Km). To

{(Ui∩ Km)}i∈I eÐnai kˆlumma tou K apì anoiktˆ uposÔnola tou topologikoÔ q¸rou Km.

Epeid  o Km eÐnai sumpag c, upˆrqei F ⊆ I peperasmèno, ¸ste K ⊆ Si∈F(Ui∩ Km).

Tìte, K ⊆ Si∈FUi, kai ˆra to K eÐnai sumpagèc uposÔnolo tou X.

(iii) 'Estw proc apagwg  se ˆtopo ìti upˆrqei U ⊆ X anoiktì me K ⊆ U, ¸ste gia kˆje n ∈ N na isqÔei Kn* U (elègxte ìti eÐnai prˆgmati h ˆrnhsh tou isqurismoÔ pou jèloume na apodeÐxoume). ParathroÔme ìti

X r U ⊆ X r K = [

n∈N

(X r Kn).

'Ara, h oikogèneia {(X r Kn) : n ∈ N} ∪ {U } eÐnai èna anoiktì kˆlumma tou X, ˆra kai

kˆje uposunìlou tou X.

'Estw m ∈ N. Tìte, Km ⊆ S_n∈N(X r Kn) ∪ U. Epeid , Km * U , shmaÐnei ìti den arkeÐ to U gia na kalÔyei to Km. Epiplèon, epeid  to Km eÐnai sumpagèc, upˆrqei

{n₁. . . , nk} ⊆ N, ¸ste Km⊆Ski=1(X r Kni) ∪ U. 'Estw n0 = min{n1, . . . , nk}. Tìte,

Km⊆ (X r Kn0) ∪ U.

DiakrÐnoume tic ex c peript¸seic: An n0 ≤ m, tìte katal goume se ˆtopo, diìti ta

Km kai Kn0 eÐnai xèna kai, ìpwc èqoume upojèsei, Km * U . An n0 > m, tìte, epeid 

Kn0 ⊆ Km, èqoume ìti to Km mporeÐ na grafeÐ sth morf  Km = (Kmr Kn0) ∪ Kn0.

'Eqoume, loipìn, ìti

(Kmr Kn0) ∪ Kn0 ⊆ (X r Kn0) ∪ U.

Autì, ìmwc, eÐnai ˆtopo, diìti to X r Kn0 kalÔptei mìno to Kmr Kn0, opìte ja èprepe

to U na kalÔptei to Kn0, pou eÐnai adÔnato ex upojèsewc.

In document Análisis de experiencias y estrategias educativas con TIC para el desarrollo del pensamiento computacional en estudiantes de secundaria y primeros años de universidad en Iberoamérica (página 33-38)