2. contiene la f´ormula (p∧q)→(p∧q), 3. contiene la f´ormula p↔ ¬♦¬p,
4. es cerrado bajo modus ponens, bajo sustituci´on y bajo la regla: si φ↔ψ ∈L
entonces φ↔ψ ∈L.
A la menor l´ogica modal mon´otona se la conoce como la l´ogica EM. Todo teorema de la menor l´ogica modal mon´otonaEM es v´alido en todo marco y en todo modelo de entornos mon´otono.
La clase de las ´algebras mon´otonas, es decir, ´algebras de Boole dotadas con un operador mon´otono, es la sem´antica algebraica de las l´ogicas modales mon´otonas.
Observaci´on 1.3.6. La notaci´on que nosotros adoptamos para este trabajo sigue la propuesta en [12]. En la mayor´ıa de la literatura, el operador mon´otono se interpreta al rev´es de como lo definimos en esta secci´on, es decir, M, w φ
sii existe X ∈ N(w) tal que para todo v ∈ X, M, v φ. Tradicionalmente, el s´ımbolotiene un car´acter universal, sin embargo, la interpretaci´on de la modalidad mon´otona tiene un componente universal y otro existencial, por la presencia de ambos cuantificadores, que es lo que genera esta ambig¨uedad en la notaci´on. Lo mismo ocurre para el operador ♦. Adem´as, siguiendo la l´ınea de trabajo de [12], utilizaremos la relaci´on de entornos en vez de la funci´on de entornos.
1.4
Extensi´on Can´onica
El estudio de las extensiones can´onicas se origin´o con los trabajos [40],[41] de J´onsson y Tarski para las ´algebra de Boole con operadores. La contribuci´on m´as impor- tante de este trabajo es que provey´o una forma de transportar los beneficios y la metodolog´ıa de trabajo de la dualidad para las ´algebras de Boole a distintas clases de ´algebras con operaciones adicionales. Luego, Gehrke, J´onsson, Priestley y Palmigiano, entre otros, generalizaron estos resultados a varios tipos de expansiones de ret´ıculos y m´as adelante para conjuntos ordenados. En este apartado vamos a estudiar las extensiones can´onicas de un conjunto parcialmente ordenado. Las definiciones y demostraciones est´an basadas en [20], [23] y [22].
Definici´on 1.4.1. Dado un conjunto parcialmente ordenado X una extensi´on es un isomorfismo de orden e: X → Y. Para simplificar la notaci´on, suprimimos al isomorfismo e y directamente decimos que Y es una extensi´on de X, asumiendo a
1.4 Extensi´on Can´onica Preliminares
Definici´on 1.4.2. Una extensi´on Y de un conjunto parcialmente ordenado X es llamada unacompleci´on si es un ret´ıculo completo.
Ejemplo 1.4.1. La compleci´on de Dedekind-MacNeille de un conjunto parcial- mente ordenadoX es el menor ret´ıculo completo que extiendeX. La compleci´on de Dedekind-MacNeille es ´unica.
Definici´on 1.4.3. Sea X un conjunto parcialmente ordenado.
• Un filtro de X es un subconjunto no vac´ıoF deX que satisface: 1. F es creciente, es decir, si x∈F, y∈X, y x≤y, entoncesy ∈F; 2. F es dualmente dirigido, es decir, si x, y ∈ F, entonces existe z ∈ F tal
quez ≤x y z ≤y.
• Un ideal de X es un subconjunto no vac´ıoI de X que satisface:
1. I es decreciente, es decir, six∈I, y∈X, e y≤x, entoncesy∈I; 2. I es dirigido, es decir, si x, y ∈ I, entonces existe z ∈ I tal que x ≤ z e
y≤z.
Es claro que en un semirret´ıculo los conceptos coinciden con los de filtro de semirret´ıculo e ideal de orden.
Definici´on 1.4.4. Sea X un conjunto parcialmente ordenado e Y una extensi´on. Un elementocdeY es llamadocerrado si es el ´ınfimo enY de alg´un filtroF deX, es decir,c=V
Y F. Dualmente, un elementoadeY es llamadoabiertosi es el supremo en Y de alg´un ideal I de X, es decir a=W
Y I. Denotaremos por K(Y) y O(Y) a los conjuntos de todos los elementos cerrados y abiertos de Y respectivamente.
Definici´on 1.4.5. Una extensi´on Y de un conjunto parcialmente ordenado X es
densa si para todo y ∈Y se cumple que
y =_
Y {c:c≤y y ces cerrado}=
^
Y {a:y≤a y a es abierto}.
Definici´on 1.4.6. Una extensi´on Y de un conjunto parcialmente ordenado X es llamadacompacta si dadosD, U ⊆Xdos conjuntos no vac´ıos,Ddualmente dirigido y U dirigido tales que V
Y D≤
W
Y U,existen x∈D e y∈U tales quex≤y.
Definici´on 1.4.7. Una compleci´onY de un conjunto parcialmente ordenadoX que es densa y compacta es llamada extensi´on can´onica.
1.4 Extensi´on Can´onica Preliminares
La anterior definici´on coincide exactamente con las dadas anteriormente para ret´ıculos acotados, ret´ıculos distributivos acotados y ´algebras de Boole. Se puede hacer una construcci´on simple y directa de las extensiones can´onicas utilizando conexiones de Galois entre filtros e ideales de un conjunto ordenado. Como las necesitaremos m´as adelante damos su definici´on a continuaci´on.
Definici´on 1.4.8. SeanXeY dos conjuntos parcialmente ordenados. Unaconexi´on de Galois entre X e Y consiste en un par de aplicaciones que invierten el orden
f:X →Y y g: Y →X tales que para todo x∈X e y∈Y cumplen:
y≤f(x) si y s´olo si x≤g(y).
Proposici´on 1.4.9. Todo conjunto parcialmente ordenado X tiene una extensi´on can´onica que es ´unica salvo isomorfismos. Por lo tanto, denotaremos a la extensi´on can´onica de X como Xσ.
Enunciamos algunas propiedades de las extensiones can´onicas.
Proposici´on 1.4.10. Sean P y Q dos conjuntos parcialmente ordenados. Deno- taremos con P∂ al conjunto P con el orden parcial dual. Entonces:
1. P∂σ = (Pσ)∂ . 2. K P∂σ =O(Pσ) y O P∂σ =K(Pσ). 3. (P ×Q)σ =Pσ×Qσ. 4. K((P ×Q)σ) =K(Pσ)×K(Qσ) yO((P ×Q)σ ) =O(Pσ)×O(Qσ).
Una caracter´ıstica clave de las extensiones can´onicas es que las podemos utilizar para estudiar operaciones adicionales sobre el ´algebra a extender. Este hecho ha sido utilizado para estudiar su representaci´on en los espacios topol´ogicos duales y para estudiar sem´anticas relacionales de varias l´ogicas correspondientes a ´algebras de Boole con operadores y a expansiones de ret´ıculos distributivos acotados, ya que en estos casos la extensi´on can´onica es (salvo isomorfismos) un ´algebra que puede ser vista como el ´algebra compleja de alguna estructura relacional.
Dada una funci´on f: X → Y mon´otona creciente, podemos considerar dos extensiones, la extensi´on can´onica fσ: Xσ → Yσ y la extensi´on can´onica dual
1.4 Extensi´on Can´onica Preliminares
Definici´on 1.4.11. SeanX eY conjuntos parcialmente ordenados y seaf: X →Y
una aplicaci´on mon´otona. Definimos las aplicaciones fσ, fπ: Xσ →Yσ mediante:
fσ(u) = _ n^{f(x) : c≤x∈X}: u≥c∈K(Xσ)o, fπ(u) = ^ n_{f(x) : y≥x∈X}:u≤y ∈O(Xσ)o.
Estas definiciones de extensi´on de operadores coinciden con las dadas anterior- mente para ret´ıculos acotados, ret´ıculos distributivos acotados y ´algebras de Boole. En el caso de los ret´ıculos distributivos acotados, se mostr´o en [24] que estas exten- siones satisfacen propiedades universales con respecto a ciertas topolog´ıas sobre las extensiones can´onicas.
Lema 1.4.12. Sea f: X → Y una funci´on mon´otona creciente entre conjuntos parcialmente ordenados. Entonces
1. fσ(c) = V {f(x) : c≤x∈X} para todo c∈K(Xσ). 2. fσ(x) =W {fσ(c) : x≥c∈K(Xσ)} para todo x∈Xσ. 3. fπ(a) =W{ f(x) :a ≥x∈X} para todoa ∈O(Xσ). 4. fπ(x) =V{ fπ(a) : x≤a∈O(Xσ)} para todo x∈Xσ.
Adem´as fσ y fπson mon´otonas crecientes, fσ ≤ fπ, donde la igualdad vale en
K(Xσ)∪O(Xσ). Ambas funciones mandan elementos cerrados a elementos cerrados
y elementos abiertos a elementos abiertos.
En el caso que queramos extender funciones en varias variables y/o que invierta el orden en alguna de ellas, puede realizarse teniendo en cuenta las propiedades de la extensi´on can´onica enunciadas anteriormente.
Sean X, Y, X1, . . . , Xn conjuntos parcialmente ordenados. En caso de que la funci´onf: X →Y sea una aplicaci´on que invierte el orden, la extensi´on can´onica y la can´onica dual de f se definen de la siguiente manera:
• Consideramos la funci´on g: X∂ → Y definida como g(x) = f(x) para todo
x∈X.
• Construimos las extensionesgσ, gπ: X∂σ →Yσ.
• Como X∂σ = (Xσ)∂, definimos fσ, fπ: Xσ → Yσ como fσ(x) = gσ(x) y
1.4 Extensi´on Can´onica Preliminares
Sea f: Qn
i=1Xi → Y una aplicaci´on que preserva el orden en algunas coor-
denadas y lo invierte en otras. Las extensiones fσ, fπ: (Qn
i=1Xi)
σ
→ Yσ se de- finen calculando las respectivas extensiones en cada coordenada y recordando que (Qn i=1Xi) σ =Qn i=1X σ i .
Definici´on 1.4.13. Dada un ´algebra A = A,{fi}i∈I
y ≤ un orden sobre A tal que cada operaci´on fi preserva o invierte el orden en cada coordenada. Definimos dos extensiones del ´algebra A: la extensi´on can´onica Aσ =
Aσ,{fσ i }i∈I
y la ex- tensi´on can´onica dual Aπ =
Aσ,{fπ i }i∈I
. Una clase se ´algebras es σ−can´onica o
π−can´onica si es cerrada bajo extensiones can´onicas o dual can´onicas respectiva- mente.
Cap´ıtulo 2
Semirret´ıculos distributivos con
operadores mon´otonos
Las ´algebras de Boole mon´otonas, es decir, ´algebras de Boole dotadas con un opera- dor que preserva el orden, son una generalizaci´on de las ´algebras de Boole modales normales. Esta clase de ´algebras conforma una variedad que tiene la caracter´ıstica de ser la sem´antica algebraica de las l´ogicas mon´otonas. Trabajos sobre esta variedad pueden encontrarse en [12], [31] y [32], en los que se prob´o que existe una duali- dad entre las ´algebras de Boole mon´otonas y los espacios de Stone dotados con una relaci´on entre puntos del espacio y subconjuntos. Tambi´en, es posible encontrar en la literatura l´ogicas modales mon´otonas definidas sobre l´ogicas no cl´asicas. Por ejem- plo, en [42] y [56] los autores consideran l´ogicas mon´otonas basadas sobre la l´ogica intuicionista. Tanto en el estudio de las ´algebras relacionadas con l´ogicas no cl´asicas como en las cl´asicas, los semirret´ıculos distributivos est´an presentes en muchas de las estructuras. Por ejemplo, la sem´antica algebraica del fragmento{→,∧,>}de la l´ogica intuicionista en la variedad de los semirret´ıculos implicativos. Por lo tanto, al estudiar l´ogicas modales sobre distintas l´ogicas, naturalmente surge la necesidad de estudiar la clase de semirret´ıculos distributivos con operadores mon´otonos.
Como hemos mencionado en el cap´ıtulo anterior, el estudio de las extensiones can´onicas para las ´algebras de Boole con operadores fue iniciado por Tarski y J´onsson, donde consideraron operadores que preservan los supremos finitos. M´as adelante, se generaliz´o esta teor´ıa, permitiendo construir extensiones can´onicas de conjuntos parcialmente ordenados con operaciones a las que s´olo se les pide que preserven o inviertan el orden. Las extensiones can´onicas permiten conectar las estructuras algebraicas con sus espacios topol´ogicos duales y, por ende, permiten
2.1 Preliminares Semirret´ıculos con operadores mon´otonos
encontrar una buena representaci´on de las operaciones adicionales.
En este cap´ıtulo introduciremos la clase de semirret´ıculos distributivos con ope- radores mon´otonos y estudiaremos una dualidad para ellos basada en DS-espacios que han sido dotados con relaciones para interpretar el operador, que surgen de la construcci´on de las extensiones can´onicas. Finalizamos este cap´ıtulo mostrando una equivalencia categorial, entre la categor´ıa de los semirret´ıculos distributivos con homomorfismos y los DS-espacios con ∧-relaciones. El contenido de este cap´ıtulo ha sido publicado y puede leerse en [15].
Los resultados aqu´ı presentados pueden ser generalizados f´acilmente, utilizando las extensiones can´onicas, a semirret´ıculos distributivos con operadores n-arios que preserven o invierten el orden en cada coordenada. Tambi´en, muchos de los resulta- dos pueden ser aplicados, haciendo modificaciones menores, al estudio de ret´ıculos distributivos acotados, semirret´ıculos superiores distributivos, semirret´ıculos im- plicativos, ´algebras de Heyting y ´algebras de Boole con operadores. Notemos que en el caso particular de las ´algebras de Boole, la dualidad aqu´ı mostrada extiende la estudiada en [12] y [31].
2.1
Preliminares
Ahora vamos a definir la clase de semirret´ıculos distributivos mon´otonos. Esta clase no conforma una variedad, pero contiene muchas de las variedades m´as estudiadas de ´algebras con operadores.
Definici´on 2.1.1. Sea A = hA,∧,1i un semirret´ıculo. Un operador mon´otono es un operador m : A → A que preserva el orden, es decir, que satisface la siguiente condici´on:
Sia≤b, entoncesma≤mbpara todo a, b∈A.
El siguiente resultado es inmediato.
Proposici´on 2.1.2. Sea A un semirret´ıculo y sea sea m : A → A una funci´on unaria. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Para todo a, b∈A, si a≤b entonces ma≤mb, 2. m(a∧b)≤ma∧mb para todo a, b∈A.
Definici´on 2.1.3. Sea A un semirret´ıculo distributivo. La tupla hA, m1, . . . , mni tal que cada mi es un operador mon´otono definido sobre A para 1 ≤ i ≤ n es llamado semirret´ıculo distributivo con operadores mon´otonos.
2.1 Preliminares Semirret´ıculos con operadores mon´otonos
Ejemplo 2.1.1. En las figuras 2.1 y 2.2 se muestran dos operadores mon´otonos definidos sobre el mismo semirret´ıculo distributivo.
a 0 b c2 c1 1 .. . a 0 b c2 c1 1 .. .
Figura 2.1: En este ejemplo tenemos que 0 =ma= m0, mb =b, mcn+1 =cn para todon ∈N y 1 =mc1 =m1. a 0 b c2 c1 1 .. . a 0 b c2 c1 1 .. .
Figura 2.2: En este ejemplo tenemos m0 = c1, 1 = m1 = ma = mb = mcn para
n∈N.
Ejemplo 2.1.2. Veamos dos ejemplos de semirret´ıculos distributivos con operadores mon´otonos construidos a partir de sistemas relacionales. Usaremos estos ejemplos m´as adelante, cuando desarrollemos la teor´ıa de representaci´on y durante el cap´ıtulo 5. Ahora daremos una generalizaci´on de los marcos de entornos usados en l´ogica mon´otona modal cl´asica que repasamos en el cap´ıtulo anterior.
2.1 Preliminares Semirret´ıculos con operadores mon´otonos
• Consideremos primero una tripla hX,≤, Ri donde hX,≤i es un conjunto or- denado y R es un subconjunto de X × P(X) tal que si x ≤ y, entonces
R(y)⊆R(x) para todox, y ∈X. Para cadaU ∈Up(X) definimos el conjunto
mR(U) = {x∈X :∀Z ∈R(x) (Z ∩U 6=∅)}. (2.1) Se cumple quehUp(X),∩, mR, Xi es un semirret´ıculo distributivo mon´otono.
• Consideremos por otro lado una triplahX,≤, GidondehX,≤ies un conjunto ordenado y G es un subconjunto de X × P(X) tal que si x ≤ y, entonces
G(x)⊆G(y) para todox, y ∈X. Para cada U ∈Up(X) definimos el conjunto
mG(U) ={x∈X :∃Y ∈G(x) (Y ⊆U)}. (2.2) Tambi´en se cumple que hUp(X),∩, mG, Xi es un semirret´ıculo mon´otono. Veamos por ejemplo el conjunto ordenado de la figura 2.3. Consideremos la relaci´on:
R(an) = {{a1, a2, a3}} para todon ∈N
R(b) = {{a1, a2, a3},{a2, a3}}
R(c) = {{a1, a2, a3},{a2, a3},{a2, a4}}
R(d) = {{a1, a2, a3},{a2, a3},{a3}}
R(f) = {{a1, a2, a3},{a2, a3},{a2, a4},{a3},{c}}.
La tripla hX,≤, Ri cumple con las condiciones del primer item y su operador mon´otono asociado es: mR(∅) = ∅, mR([a1)) = {an : n ∈ N}, mR([a2)) = [c),
mR([d)) = mR({an : n ∈ N}) = mR([b)) = mR([an)) = [c)∪ [d) para n ≥ 3,
mR([c)) =mR([c)∪[d)) =mR(X) =X.
Ejemplo 2.1.3. Las ´algebras de Boole con operadores modales, tambi´en llamadas ´
algebras modales normales estudiadas en [12], [31] y [33] tienen reductos de semir- ret´ıculos mon´otonos. Desarrollaremos m´as acerca de este tema en el cap´ıtulo 4.
Ejemplo 2.1.4. La l´ogica modal positiva fue introducida por Dunn en [19], y corres- ponde al fragmento positivo de la relaci´on de consecuencia modal local definida por la clase de todos los marcos de Kripke. La sem´antica algebraica de este fragmento es la variedad de las ´algebras modales positivas. Precisamente, un ´algebra modal pos- itiva A = hA,∨,∧,,♦,0,1i es un ret´ıculo distributivo acotado A = hA,∨,∧,0,1i
2.1 Preliminares Semirret´ıculos con operadores mon´otonos f c b d a3 a2 a1 .. . X ∅ [a1) [a2) [a3) {an:n ∈N} [b) [c) [c)∪[d) [d) X .. . Up(X) ∅ [a1) [a2) [a3) {an:n∈N} [b) [c) [c)∪[d) [d) X .. . Up(X)
Figura 2.3: Conjunto ordenado y el semirret´ıculo de partes crecientes dotado con el operador mR.
1. (a∧b) =a∧b, 2. 1 = 1, 3. ♦(a∨b) =♦a∨♦b, 4. ♦0 = 0,
5. a∧♦b≤♦(a∧b), 6. (a∨b)≤a∨♦b.
Ejemplo 2.1.5. Las ´algebras de Heyting mon´adicas estudiadas por Monteiro, Esakia y Bezhanishvili, entre otros, tienen reducto de semirret´ıculo distributivo con dos operadores mon´otonos. M´as precisamente, siguiendo la notaci´on de [3], un ´algebra
hH,∧,∨,→,¬,0,1,∀,∃i es un ´algebra de Heyting mon´adica si hH,∧,∨,→,¬,0,1i
es un ´algebra de Heyting y ∀,∃ son operadores unarios sobre H que satisfacen las siguientes condiciones para todo x, y ∈H:
1. ∀x≤x, x≤ ∃x,
2. ∀(x∧y) = ∀x∧ ∀y, ∃x∨ ∃y =∃(x∨y),
3. ∀1 = 1, ∃0 = 0,
4. ∀∃x=∃x, ∃∀x=∀x. 5. ∃(∃x∧y) = ∃x∧ ∃y,