Extensi´ on de la velocidad para el transporte

5. Aspectos Num´ ericos de Fluido–din´ amica con Superficies Libres

5.6. Extensi´ on de la velocidad para el transporte

Como hemos visto, el mejoramiento de una formulación numérica para flujos de dos fases o flujos a superficie libre, donde se utiliza una técnica Euleriana, tal como el método de level set (i.e. donde la interfase está dada impl´ıcitamente) debe ser abordado desde varios flancos. Por esta razón se han estudiado diversos esquemas de transporte y esquemas de reinicialización para la función de level set, espacios de elementos finitos mejorados para capturar con órdenes de convergencia óptimos las discontinuidades en variables tales como la presión y también diferentes formas de computar la fuerza singular debido a la tensión superficial. Aún incorporando todos estos ingredientes en una formulación numérica, todav´ıa se observa, en varios casos, que el campo de velocidades posee mucho error en las cercan´ıas de la interfase separando “agua” y “aire”, que es donde mayor precisión se requiere, justamente para evitar que el transporte de la misma sea muy difusivo y por ende se produzcan pérdidas/ganancias artificiales de masa que afecten seriamente la dinámica completa del problema. Estos errores provienen principalmente del lado del fluido más liviano (del gas), razón por la cual, algunos esquemas han sido propuestos, entre los cuales podemos citar a Löhner et al. [157] donde se propone un método geométrico para extrapolar la velocidad del l´ıquido hacia el lado del gas y Carrica et al [119] donde se emplea el método Single–Phase level set.

En esta tesis proponemos un esquema para extender la velocidad del l´ıquido hacia la interfase, el cual está basado en la resolución de una ecuación a derivadas parciales, esencialmente una ecuación de difusión para el campo de velocidades, donde el coeficiente de difusión que se adopta está definido de tal manera que únicamente se extrapolen datos de la velocidad provenientes de una banda de “elementos l´ıquidos” cercanos a la interfase. Esta velocidad as´ı computada, es ´

unicamente utilizada para advectar la función de level set en la ecuación de transporte y no interviene en lo absoluto en la resolución del problema fluido–dinámico, pero lo que s´ı importa destacar, es que la velocidad que está siendo extrapolada es la que surge de resolver el problema fluido–dinámico completo. Una desventaja del método propuesto es el costo computacional agregado, ya que se incorpora la resolución de un campo adicional. Por otro lado, la principal ventaja del método, es que puede ser implementado fácilmente en cualquier código existente, pues esencialmente consiste en la resolución de un Laplaciano vectorial que es algo estándar, no requiriendo un complicado manejo de las estructuras de datos que ser´ıa necesario si se utiliza un método geométrico de extrapolación como los mencionados anteriormente ([119, 157]). A con- tinuación precisamos mejor en que consiste el método y mostramos alguna evidencia numérica sobre la conveniencia del mismo en algunos problemas espec´ıficos.

5.6.2. M´etodo de extrapolaci´on de la velocidad

Como se explicara más arriba, el método de extrapolación propuesto es bastante simple y consiste en computar una velocidad U que es utilizada en la ecuación de transporte, i.e. la función φ es transportada de acuerdo a

∂φ

∂t + U · ∇φ = 0, (5.141)

−∇2U _{− ∇ (∇ · U) + σ(x, t) U = σ u}

con u soluci´on del problema de Navier–Stokes (5.44) y σ que viene dado por

σ(x, t) =    1 ε h2 si φ(x, t) > 0 0 si φ(x, t) < 0 , (5.142)

i.e. σ _{6= 0 en el “agua” y σ = 0 en el “aire”. Al discretizar el problema, como veremos, mediante} una elección apropiada de σ se puede promediar la información, proveniente del lado del agua, de una banda de celdas de discretización de tamaño h cercanas a la interfase.

Ahora bien, la formulación variacional del problema es estándar, con el único detalle de que está dada en dos pasos (fraccionados), de tal forma que al tiempo tn+1 y en una dada iteración de Newton–Raphson, se resuelve lo siguiente:

Paso 1:: Extrapolaci´on de la Velocidad Hallar Uh ∈ Vh tal que

X K∈Th Z K ε h2_K _∇Uh+∇TUh :_∇vhdx + Z ΩH(φ ∗ h) (Uh− u∗h)· vhdx = 0 (5.143) ∀vh ∈ Vh. donde φ∗ h= θ φn+1,∗h + (1− θ) φnh y u∗h = θ un+1,∗h + (1− θ) unh, siendo φn+1,∗h y u n+1,∗ h los ´ultimos

valores computados de φn+1_h y un+1_h respectivamente, que surgen de aplicar el siguiente paso: Paso 2:: Navier–Stokes + Transporte del level set

Hallar (un+1_h , pn+1_h , φn+1_h ) soluci´on del problema dado en (5.123)–(5.124) linealizado y utilizando U_h en el lugar de un+θT

h como velocidad de transporte en Gφ, dado por (5.127). 5.6.3. Ejemplos num´ericos

De la formulaci´on dada, puede notarse que el campo Uhas´ı computado no necesariamente resulta

incompresible. En varios ejemplos numéricos hemos observado sin embargo que la utilización de este método de extensión o extrapolación de la velocidad puede resultar beneficioso y mejorar la precisión de los resultados respecto a la conservación de la masa. Vamos a mostrar dos ejemplos numéricos. El primero corresponde al clásico problema del rompimiento de un dique (“dam break”) en dos dimensiones espaciales, que ha sido ampliamente estudiado en la literatura. El siguiente problema consiste en el movimiento oscilatorio de un tanque (“sloshing”) que se encuentra parcialmente lleno con agua. En este caso se simula el problema en tres dimensiones espaciales.

Rompimiento de un dique en 2D

A continuación mostramos los resultados obtenidos para el problema clásico de una columna de agua que cae bajo los efectos de la gravedad, empleando diferentes valores para el parámetro

ε. En la figura 5.51 se muestra la evolución de la masa de l´ıquido en función del tiempo. Como puede notarse, los resultados dependen en gran medida del valor adoptado para ε, lo cual indica que dicho parámetro debe ser ajustado dependiendo del problema espec´ıfico.

t = 0 t = 0.08 t = 0.12 t = 0.16 t = 0.2 t = 0.04

Agua

Aire

Figura 5.50: Evoluci´on de la columna de agua bajo los efectos de la gravedad mostrando el campo de velocidades cerca de la interfase.

+6%

−6%

+1.5%

−0.6%

0.003 0.0031

0.0032

0.0033

0.0034

0.0035

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

ε = 0.01 ε = 0.1 ε = 1

Sin extensi´on de la velocidad

M

asa

d

e

l´ı

qu

id

o

tiempo

Figura 5.51: Evolución de la masa de l´ıquido en función del tiempo mostrando el efecto de la extrapolación de la velocidad en la conservación de la masa.

Problema de Sloshing en 3D

El problema transcurre en el dominio computacional [0, 1]_{×[0, 1]×[0, 1] el cual es llenado con} fluido hasta una altura uniforme igual a 0.35. El dominio es discretizado con 6×106_tetrahedros,

siendo la simulación computacionalmente más grande que se ha realizado en la tesis. Sobre el sistema se aplica una fuerza dependiente del tiempo en la dirección (1, 1, 0) y cuyo módulo viene dado por

f = a sin(2πt/T )

donde a = 1.1563 y T = 1.3. Adem´as se considera la presencia de la gravedad g la cual se toma igual a 10 y los siguientes par´ametros f´ısicos

ρ1 = 1000, µ1 = 0.5, rρ= 833, rµ= 20

Se empleó un valor de ǫ igual a 5 en este caso para la extensión de la velocidad y condición de libre deslizamiento en todas las paredes, excepto en la tapa superior donde no se impuso ninguna condición. En la figura 5.53 se muestra el resultado correspondiente al caso en que no se utiliza la extensión de la velocidad, aunque resultados cualitativamente similares se observan en el otro caso. Sin embargo, si observamos la conservación de la masa en función del tiempo, graficada en la figura 5.52, podemos apreciar el efecto benéfico de la extensión de la velocidad en este tipo de problemas.

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 Sin extensi´on de la velocidad

Con extensi´on de la velocidad

tiempo

M

asa

d

e

l´ı

qu

id

o

Figura 5.52: Masa de l´ıquido en funci´on del tiempo para el problema del sloshing de un tanque parcialmente lleno donde se aplica una fuerza oscilante en la direcci´on (1, 1, 0).

t = 0.25 t = 0.50 t = 0.75

t = 2.00 t = 2.35

t = 1.00 t = 1.25 t = 1.50

t = 1.75

Figura 5.53: Sloshing de un tanque parcialmente lleno donde se aplica una fuerza oscilante en la direcci´on (1, 1, 0).

6

Experimentos Num´ericos del Problema de

Lubricaci´on en Aros de Pist´on

En esta parte de la tesis se aplica la formulación numérica presentada en el cap´ıtulo anterior al problema fluido–dinámico en los aros de pistón de motores de combustión. La principal finalidad de este estudio numérico es comparar dichas predicciones con aquellas obtenidas mediante la formulación p–θ y los resultados presentados en el cap´ıtulo 4, as´ı como también estudiar la validez del modelo de lubricación modificado presentado en dicho cap´ıtulo. Los problemas a ser estudiados aqu´ı no consideran la dinámica completa de las superficies lubricadas, para lo cual ser´ıa necesarió una formulación de tipo ALE (Arbitrary–Lagrangian–Eulerian), que cae fuera de los alcances de esta tesis. En vez, nos focalizamos en la dinámica de la pel´ıcula lubricante considerando que la superficie plana (es decir, la camisa del cilindro) es la que se desliza. El cap´ıtulo está dividido en dos partes. En la primera parte presentamos resultados en un modelo más o menos simplificado del problema. En este caso, la intención es estudiar un problema representativo y en el que aparezcan todas las fenomenolog´ıas que se pretenden estudiar con una geometr´ıa idealizada para reducir de manera razonable el costo computacional. En este primer caso se asumirá una velocidad constante para las superficies lubricadas, se estudiará el efecto de la tensión superficial como mecanismo de estabilización de la pel´ıcula lubricante y se mostrarán los principales fenómenos interviniendo en el problema. Aqu´ı ya se harán evidentes las diferencias intr´ınsecas entre la formulación de dos fases (i.e. Level set más N–S) y la formulación de orden reducido. En la segunda parte del cap´ıtulo se estudia el problema en condiciones más realistas, considerando la verdadera geometr´ıa del problema y una velocidad oscilante para la superficie deslizante. En este caso también se efectuarán comparaciones con los modelos de lubricación.

6.1 Problema Idealizados

In document Simulación numérica en flujo de dos fases inmiscibles con aplicaciones en lubricación hidrodinámica (página 170-175)