Función de probabilidad uniforme discreta
f (x) ⫽ 1/n (5.3)
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
E(x) ⫽ μ ⫽x f (x) (5.4)
Varianza de una variable aleatoria discreta
Var (x) ⫽ σ2⫽(x ⫺μ)2f (x) (5.5)
Número de resultados experimentales que proporcionan exactamente x éxitos en n ensayos
n
x ⫽
n!
x!(n ⫺ x)! (5.6)
Función de probabilidad binomial
f (x) ⫽ n x p
x(1 ⫺ p)(n⫺x) (5.8)
Valor esperado de una distribución binomial
E(x) ⫽ μ ⫽ np (5.9)
Varianza de una distribución binomial
Ejercicios complementarios 227
Función de probabilidad de Poisson
f (x) ⫽ μ
x
e⫺μ
x! (5.11)
Función de probabilidad hipergeométrica
f (x) ⫽ r x N ⫺ r n ⫺ x N n (5.12)
Valor esperado de una distribución hipergeométrica
E(x) ⫽ μ ⫽ n r
N (5.13)
Varianza de una distribución hipergeométrica
Var (x) ⫽ σ2⫽ n r N r N 1 ⫺ N ⫺ n N ⫺ 1 (5.14)
Ejercicios complementarios
53. El estudio de Big Money de Barron’s preguntó a 131 gerentes de inversiones de todo Estados Unidos su perspectiva sobre la inversión a corto plazo (Barron’s, 28 de octubre de 2002). Sus respuestas mostraron los siguientes indicadores: 4% eran muy optimistas; 39% optimistas; 29% neutrales; 21% pesimistas, y 7% muy pesimistas. Sea x la variable aleatoria que refleja el nivel de optimismo con respecto al mercado y que asume los valores x ⫽ 5 para muy optimista hasta x ⫽ 1 para muy pesimista.
a) Elabore una distribución de probabilidad para el nivel de optimismo de los gerentes de
inversiones.
b) Calcule el valor esperado para el nivel de optimismo. c) Calcule su varianza y desviación estándar.
d) Comente qué indican sus resultados sobre el nivel de optimismo y su variabilidad.
54. La Asociación Estadounidense de Inversionistas Individuales publica una guía anual para los principales fondos de inversión (The Individual Investor’s Guide to the Top Mutual Funds, 22a. ed., American As sociation of Individual Investors, 2003). La clasificación del riesgo total para 29 categorías de fondos de inversión se muestra a continuación.
Número de categorías
Riesgo total de fondos
Bajo 7
Por debajo del promedio 6
Promedio 3
Por encima del promedio 6
Alto 7
a) Sea x ⫽ 1 para el riesgo bajo y hasta x ⫽ 5 para el riesgo alto; elabore una distribución de
probabilidad para el nivel de riesgo.
b) ¿Cuáles son el valor esperado y la varianza para el riesgo total?
c) Resulta que 11 de las categorías eran fondos de bonos. Para estos últimos, siete catego- rías se clasificaron como bajas, y cuatro por debajo del promedio. Compare el riesgo total de los fondos de bonos con las 18 categorías de los fondos de acciones.
55. La preparación del presupuesto de una universidad de la región central de Estados Unidos generó los siguientes pronósticos de gastos para el año próximo (en millones de dólares): $9, $10, $11, $12 y $13. Como se conocen los gastos actuales, se asignaron las probabilidades respectivas siguientes: 0.3, 0.2, 0.25, 0.05 y 0.2.
a) Muestre la distribución de probabilidad para el pronóstico de gastos. b) ¿Cuál es el valor esperado de este pronóstico para el año próximo? c) ¿Cuál es la varianza del pronóstico de gastos para el año próximo?
d) Si las proyecciones de ingresos estimadas para el año son $12 millones, comente cuál es la posición financiera del colegio.
56. Un estudio reveló que en promedio una persona tarda alrededor de 26 minutos en trasladar- se de su casa al trabajo o viceversa. Además, 5% de los encuestados informó que tarda más de una hora en ir o regresar del trabajo (sitio web de Bureau of Transportation Statistics, 11 de enero de 2004).
a) Si 20 personas se encuestan un día en particular, ¿cuál es la probabilidad de que tres de ellas informen que tardan más de una hora en trasladarse?
b) Si 20 personas se encuestan un día en particular, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna informe que tarda más de una hora en trasladarse?
c) Si una empresa tiene 2 000 empleados, ¿cuál es el número esperado de empleados que tardan más de una hora en trasladarse de su trabajo a su casa o viceversa?
d) Si una empresa tiene 2 000 empleados, ¿cuáles son la varianza y la desviación estándar del número de ellos que tardan más de una hora en trasladarse?
57. Un grupo de acción política prevé entrevistar a los propietarios de casas para evaluar el impacto causado por una caída reciente de los precios de la vivienda. Según el estudio de finanzas per- sonales de The Wall Street Journal/Harris Interactive, 26% de los individuos de 18–34 años, 50% del grupo de 35-44 años y 88% de los individuos mayores de 55 años son propietarios de una vivienda (sitio web de All Business, 23 de enero de 2008).
a) ¿Cuántas personas del grupo de edades de entre 18 y 34 años deben incluirse en la mues- tra para encontrar un número esperado de al menos 20 propietarios de una casa?
b) ¿Cuántas personas del grupo de 35-44 años de edad deben incluirse en la muestra para
encontrar un número esperado de al menos 20 propietarios de una vivienda?
c) ¿Cuántos sujetos de 55 años y más deben considerarse para encontrar un número espe-
rado de al menos 20 propietarios de una vivienda?
d) Si el número de 18-34 años de la muestra es igual al valor identificado en el inciso a), ¿cuál es la desviación estándar del número de personas que serán propietarias?
e) Si el número de 35-44 años de la muestra es igual al valor indicado en el inciso b),
¿cuál es la desviación estándar del número de personas que serán propietarias de una vivienda?
58. Muchas empresas usan una técnica de control de calidad conocida como muestreo de acep-
tación para monitorear los envíos entrantes de partes, materias primas, etc. En la industria
electrónica, los proveedores por lo general envían los componentes en lotes grandes. La ins- pección de una muestra de n componentes se considera como los n ensayos de un experimen- to binomial. El resultado de la prueba de cada componente (ensayo) es que éste se clasifique como bueno o defectuoso. Reynolds Electronics acepta un lote de cierto proveedor si los com- ponentes defectuosos del lote no rebasan 1%. Suponga que se prueba una muestra aleatoria de cinco artículos de un embarque reciente.
a) Asuma que 1% del embarque está defectuoso. Calcule la probabilidad de que ningún com- ponente de la muestra está averiado.
b) Suponga que 1% del embarque está defectuoso. Calcule la probabilidad de que exacta-
mente uno de los componentes de la muestra tenga defectos.
c) ¿Cuál es la probabilidad de observar una o más partes defectuosas en la muestra si 1% del
embarque lo está?
d) ¿Se sentiría cómodo al aceptar el embarque si se encontró que un componente estaba de- fectuoso? ¿Por qué?
Ejercicios complementarios 229
59. La tasa de desempleo en el estado de Arizona es de 4.1% (sitio web de CNN Money, 2 de mayo de 2007). Suponga que 100 personas disponibles para un empleo en Arizona son selec- cionadas al azar.
a) ¿Cuál es el número esperado de personas desempleadas?
b) ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar del número de personas sin empleo?
60. Un estudio realizado por Zogby International reveló que de aquellos estadounidenses para quienes la música desempeña un papel “muy importante” en su vida, 30% dijeron que sus estaciones de radio locales “siempre” transmiten el tipo de música que les gusta (sitio web de Zogby, 12 de enero de 2004). Suponga que se toma una muestra de 800 personas para quienes la música desempeña un papel importante en su vida.
a) ¿Cuántas personas esperaría que dijeran que sus estaciones de radio locales siempre trans-
miten el tipo de música que les gusta?
b) ¿Cuál es la desviación estándar del número de encuestados que piensa que sus estacio-
nes de radio locales siempre transmiten el tipo de música que les agrada?
c) ¿Cuál es la desviación estándar del número de encuestados que no piensa que sus esta- ciones de radio locales difunden la música de su preferencia?
61. En un lavado automotriz los automóviles llegan de manera aleatoria e independiente; la pro- babilidad de un arribo es la misma para cualesquier dos intervalos de tiempo de igual duración. La tasa de llegada media es 15 vehículos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que durante una hora cualquiera de operación lleguen 20 o más automóviles?
62. En un nuevo proceso de producción automatizada hay un promedio de 1.5 interrupciones por día. Debido a los costos asociados con una interrupción, la gerencia está preocupada por la posibilidad de que haya tres o más durante el día. Suponga que éstas ocurren aleatoriamente, que la probabilidad de interrupción es la misma para cualesquiera dos intervalos de tiempo de igual duración, y que las interrupciones en un lapso son independientes de las que ocurren en otro lapso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres o más durante un día?
63. Un director regional responsable del desarrollo de negocios en el estado de Pennsylvaniaestá preocupado por el número de quiebras de las empresas pequeñas. Si el número medio de estas quiebras por mes es 10, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro empresas peque- ñas incurran en esta situación durante un mes determinado? Suponga que la probabilidad de una quiebra es la misma para dos meses cualesquiera y que su ocurrencia o no ocurrencia en algún mes es independiente de las quiebras en cualquier otro mes.
64. Las llegadas de los clientes a un banco son aleatorias e independientes, y la probabilidad de un arribo en un periodo de un minuto es la misma que en cualquier otro periodo de un minuto. Responda las preguntas siguientes suponiendo una tasa media de llegadas de tres clientes por minuto.
a) ¿Cuál es la probabilidad de exactamente tres llegadas en un periodo de un minuto? b) ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos tres llegadas en un periodo de un minuto?
65. Una baraja contiene 52 cartas, cuatro de las cuales son ases. ¿Cuál es la probabilidad de que al repartir las cartas en una mano de cinco se obtengan los siguientes casos?
a) Un par de ases. b) Exactamente un as. c) Ningún as.
d) Por lo menos un as.
66. Durante la semana que terminó el 16 de septiembre de 2001, Tiger Woods fue el golfista que más dinero ganó en el PGA Tour. Sus ganancias sumaron un total de $5 517 777. De los 10 principales golfistas mejor remunerados, siete usaron pelotas de golf de la marca Titleist (sitio web de PGA Tour). Suponga que seleccionan al azar a dos de los 10 principales golfistas que ganan más dinero.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno use una pelota de golf Titleist? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos usen pelotas Titleist?
Apéndice 5.1
Distribuciones de probabilidad
discretas con Minitab
El software estadístico de Minitab ofrece un procedimiento relativamente fácil y efi ciente para calcular probabilidades binomiales. En este apéndice se describe paso a paso el procedimien- to para determinar las probabilidades binomiales para el problema de Martin Clothing Store de la sección 5.4. Recuerde que las probabilidades binomiales buscadas se basan en n ⫽ 10 y
p ⫽ 0.30. Antes de comenzar con la rutina de Minitab, el usuario debe introducir los valores
deseados de la variable aleatoria x en una columna de la hoja de trabajo. En el ejemplo de la fi gura 5.5 se introdujeron los valores 0, 1, 2, . . . , 10 en la columna 1 para generar la distribu- ción de probabilidad binomial completa. Los pasos de Minitab para obtener las probabilidades deseadas se describen a continuación.
Paso 1. Seleccione el menú Calc. Paso 2. Elija Probability Distributions. Paso 3. Seleccione Binomial.
Paso 4. Cuando aparezca el cuadro de diálogo Binomial Distribution:
Seleccione Probability.
Introduzca 10 en el cuadro Number of trials. Introduzca 0.3 en el cuadro Event probability. Introduzca C1 en el cuadro Input column. Haga haga clic en OK.
La salida de Minitab con las probabilidades binomiales aparecerá como se muestra en la fi gu- ra 5.5.
Minitab proporciona probabilidades de Poisson e hipergeométricas de una manera pareci- da. Por ejemplo, para calcular las probabilidades de Poisson, las ú nicas diferencias se encuen- tran en el paso 3, donde se seleccionaría la opción Poisson, y en el paso 4, donde se introduciría
Mean en vez del número de ensayos y la probabilidad de éxito.
Apéndice 5.2
Distribuciones de probabilidad
discretas con Excel
Excel contiene funciones para calcular probabilidades de las distribuciones binomial, de Pois- son e hipergeométrica presentadas en este capítulo. La función de Excel para calcular probabi- lidades binomiales es BINOMDIST. Tiene cuatro argumentos: x (núm_éxito), n (núm_ensayos),
p (prob_éxito) y acumulado. FALSE se usa para el cuarto argumento (acumulado) si se busca la probabilidad de x éxitos, y TRUE se utiliza para el cuarto argumento si se quiere la probabilidad acumulada de x o menos éxitos. Aquí se muestra cómo calcular las probabilidades de 0 a 10 éxitos para el problema de la tienda Martin Clothing Store de la sección 5.4 (fi gura 5.5).
Cuando se describa el desarrollo de la hoja de trabajo, revise la fi gura 5.6; la hoja de tra- bajo de fórmulas se coloca en segundo plano, y la hoja de trabajo de valores aparece en primer plano. El número de ensayos (10) se introduce en la celda B1, la probabilidad de éxito en la celda B2 y los valores para la variable aleatoria en las celdas B5:B15. Los pasos siguientes generarán las probabilidades buscadas.
Paso 1. Use la función BINOMDIST para calcular la probabilidad de x ⫽ 0 al introducir la fórmula siguiente en la celda C5:
⫽BINOMDIST(B5,$B$1,$B$2,FALSE)
Apéndice 5.2 Distribuciones de probabilidad discretas con Excel 231
La hoja de trabajo de valores de la fi gura 5.6 muestra que las probabilidades obtenidas son las mismas que las de la fi gura 5.5. Las probabilidades de Poisson e hipoergeométri- cas se calculan de modo parecido. Se usan las funciones POISSON e HYPGEOMDIST. El cuadro de diálogo Insert Function (insertar función) de Excel ayuda al usuario a introducir los argu- mentos apropiados para estas funciones (vea el apéndice E).
A B C D 1 Number of Trials (n) 10 2 Probability of Success ( p) 0.3 3 4 x f (x) 5 0 =BINOMDIST(B5,$B$1,$B$2,FALSE) 6 1 =BINOMDIST(B6,$B$1,$B$2,FALSE) 7 2 =BINOMDIST(B7,$B$1,$B$2,FALSE) 8 3 =BINOMDIST(B8,$B$1,$B$2,FALSE) 9 4 =BINOMDIST(B9,$B$1,$B$2,FALSE) 10 5 =BINOMDIST(B10,$B$1,$B$2,FALSE) 11 6 =BINOMDIST(B11,$B$1,$B$2,FALSE) 12 7 =BINOMDIST(B12,$B$1,$B$2,FALSE) 13 8 =BINOMDIST(B13,$B$1,$B$2,FALSE) 14 9 =BINOMDIST(B14,$B$1,$B$2,FALSE) 15 10 =BINOMDIST(B15,$B$1,$B$2,FALSE) 16 A B C D 1 Number of Trials (n) 10 2 Probability of Success ( p) 0.3 3 4 x f (x) 5 0 0.0282 6 1 0.1211 7 2 0.2335 8 3 0.2668 9 4 0.2001 10 5 0.1029 11 6 0.0368 12 7 0.0090 13 8 0.0014 14 9 0.0001 15 10 0.0000 16