Área temática: Geometría posicional y métrica Nivel: Cuarto Medio
Objetivo fundamental: Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio.
Contenido: Puntos, rectas y planos en el espacio. Habilidad cognitiva: Analizar, Sintetizar y Evaluar Clave: D
PREGUNTA 58
Sea un triángulo ABC al cual se le aplica una homotecia obteniéndose el triángulo A’B’C’, donde A’ es la imagen de A, B’ es la imagen de B y C’ es la imagen de C. Se puede determinar las coordenadas del centro de homotecia, si se sabe que:
(1) El punto A tiene coordenadas (0, 0) y la razón de homotecia es 3.
(2) La distancia entre A y A’ es cero.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
RESOLUCIÓN
Para resolver el problema se debe determinar si con las informaciones dadas en (1) y/o en (2), se pueden encontrar las coordenadas del centro de la homotecia aplicada a un triángulo ABC.
En el enunciado se indica que a un triángulo ABC se le aplica una homotecia obteniéndose el triángulo A’B’C’, donde A’ es la imagen de A, B’ es la imagen de B y C’ es la imagen de C. Para esto,
Ahora, con la información dada en (1), que indica que A tiene coordenadas (0, 0) y la razón de homotecia es 3, no es suficiente para determinar las coordenadas del centro de homotecia, ya que con esta información cualquier punto del plano cartesiano podría ser el centro de homotecia.
Con la información dada en (2) por sí sola, la cual señala que la distancia entre A y A’ es cero, tampoco se puede determinar el centro de homotecia, esto porque si la distancia entre A y A’ es cero se tiene que A’ es centro de homotecia pero no están determinadas las coordenadas de A’ pudiendo ser cualquier punto del plano cartesiano.
Por último, si se juntan ambas informaciones, las dadas en (1) y en (2), es decir, que A tiene coordenadas (0, 0), que la razón de homotecia es 3 y que la distancia entre A y A’ es cero, se tiene que A = A’ = (0, 0), donde A’ es el centro de homotecia y por lo tanto están determinadas sus coordenadas.
Por el análisis anterior, la clave es C).
Recuerde que:
UnaHomotecia es la transformación de una figura en otra semejante a ella, con respecto a un punto en el plano llamado centro de homotecia y a una razón dada llamada razón de homotecia, tal que cualquier segmento de la figura es paralelo al
20 30 40 50 60 Número de personas Masa (kg) 8 12 16 22 70 FICHA DE REFERENCIA CURRICULAR
Eje temático: Geometría
Área temática: Geometría Proporcional Nivel: Tercero Medio
Objetivo fundamental: Comprender la geometría cartesiana como un modelo para el tratamiento algebraico de los elementos y relaciones entre figuras geométricas.
Contenido: Homotecia de figuras planas.
Habilidad cognitiva: Analizar, Sintetizar y Evaluar Clave: C
PREGUNTA 59
En el histograma de la figura adjunta se muestra la distribución de las masas corporales, en kg, de un grupo de personas, donde los intervalos del histograma son de la forma
a,b . Según este gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?A) 36 personas tienen una masa corporal menor o igual que 50 kg. B) El rango de las masas corporales es menor o igual que 50 kg. C) En total hay 58 personas en el grupo.
D) Más de la mitad de las personas tienen una masa corporal de a lo menos 50 kg.
RESOLUCIÓN
Para responder la pregunta se debe leer e interpretar la información presentada en el gráfico y así, determinar cuál de las afirmaciones dadas en las opciones es falsa.
En A) se afirma que 36 personas tienen una masa corporal menor o igual que 50 kg, esto es verdadero, ya que del gráfico se obtiene lo siguiente:
Por lo tanto, la cantidad de personas con una masa menor o igual que 50 kg es 16 + 12 + 8 = 36.
Ahora, en B)
En este caso, el dato mínimo es mayor a 20 kg y el dato máximo es menor o igual a 70 kg, luego el rango es menor que 70 20 = 50 kg, por lo que la afirmación en B) es verdadera.
Recuerde que:
El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.
20 30 40 50 60 Número de personas 8 12 16 22 70 Masa (kg)
Masa corporal menor o igual que 50 kg. Cantidad de personas en
intervalos con una masa corporal menor o igual que
20 30 40 50 60 Número de personas 8 12 16 22 70 Masa (kg) 8 16 12 22 22
En C) se afirma que la cantidad total de personas del grupo es 58, esto se puede determinar sumando el número de personas de cada intervalo del gráfico, tal como se muestra a continuación:
De esta forma como 58 80, la afirmación en C) es falsa.
En D) se señala que más de la mitad de las personas tienen una masa corporal de a lo menos 50 kg, esto significa que más del 50% de las 80 personas, es decir, más de 40 personas tienen una masa corporal de a lo menos 50 kg. Lo anterior se puede determinar tal como se muestra a continuación:
Así, se tiene que 44 > 40, por lo tanto, la afirmación en D) es verdadera.
Por último, en E) se afirma que un 20% de las personas tienen una masa corporal menor o igual que 30 kg, lo que también es verdadero pues hay 16 personas que tienen su masa corporal en el intervalo
20,30
, que equivale a un 20% de 80.Como del desarrollo anterior la afirmación en C) es falsa, se tiene que esta es la clave. La cantidad total de personas del grupo es
16 + 12 + 8 + 22 + 22 = 80 20 30 40 50 60 Número de personas 8 12 16 22 70 Masa (kg) 22 22 Masa corporal de más de 50 kg.
La cantidad de personas con una masa corporal de más de 50 kg es igual a
FICHA DE REFERENCIA CURRICULAR