Fidelidad y Doble Ortogonalidad

Desde los trabajos de Zanardi et al. [77, 96] ha habido un creciente inter´es por el estudio de la fidelidad como un medio para estudiar las transiciones de fase cu´anticas [77], la geometr´ıa diferencial de teor´ıa de la informaci´on [96] o el modelo XY cu´antico desordenado [97]. En todos estos casos la fidelidad ha sido utilizada para detectar cambios en el comportamiento de estados en sistemas cu´anticos. Por ejemplo, si λes el par´ametro externo que lleva un sistema a un transici´on de fase cu´antica, la fidelidad esta definida como la superposici´on

F =_hΨ(λ₋δλ),Ψ(λ+δλ)_i, (5.51)

en donde Ψ(λ) es el estado fundamental del Hamiltoniano con par´ametroλ. La funci´on_F es una herramienta ´util en la detecci´on de comportamiento cr´ıtico en sistemas ordenados [77] y desordenados [97].

En esta secci´on probaremos que los niveles de energ´ıa calculados con la aproximaci´on variacional muestran comportamiento cr´ıtico en un entorno de la energ´ıa de la resonancia. El resultado es que la curva de la resonanciaEr(λ) puede obtenerse a partir de la fidelidad.

Con el fin de obtener una mejor representaci´on de los datos definimos la funci´on _Gn como

Gn = 1−Fn con Fn=|hΨn(λ),Ψn(λ+δλ)i|2, (5.52)

en donde Ψnes el en´esimo autoestado obtenido con la aproximaci´on variacional. La funci´on

Gntiene sus ventajas para poder presentar los resultados en escala logar´ıtmica, pero posee

5.5 Fidelidad y Doble Ortogonalidad 107 1.5 2 2.5 3 1e-08 1e-06 0.0001 0.01 1 G_n 1.5 2 2.5 3

λ

E

Figura 5.14: La figura superior muestra el comportamiento de _Gn, paran= 1, . . . ,7 ( l´ınea negra, roja, verde, azul, amarilla, marr´on y gris, respectivamente ). Cada funci´on

Gn tiene dos picos, excepto para n= 1. Como uno de los picos deGncoincide con uno de los de_Gn+1, solo uno de los picos de cada nivelnes visible. La figura inferior muestra los autovalores variacionalesn= 1, . . . ,7(con la misma convenci´on de color utilizada en la figura superior), yEr(λ)(l´ınea de trazos verde). Las l´ıneas de trazos negras conectan las figuras y muestran los valores deλ en donde se ubican los m´ınimosλfn de cadaGn. Los puntos rojos en el panel inferior corresponden aEn(λfn).

La Figura 5.14 muestra el comportamiento deG. El valor muy peque˜no, excepto cerca de los cruces evitados, donde el valor de _G se incrementa r´apidamente (al menos para n peque˜no). Esto se debe a que en un entorno de un cruce evitado la superposici´on

|hΨn(λ),Ψn(λ+δλ)i|2 → 0. En realidad, |hΨn(λ),Ψn(λ +δλ)i|2 → 0 en los puntos en

108 Resonancias en sistemas dos electrones

transiciones de fase cu´anticas [77, 96, 97] por esta raz´on. En una transici´on de primer orden la energ´ıa del estado fundamental es no anal´ıtica, y en una de segundo orden el espacio entre el estado fundamental y el primer excitado va a cero en el l´ımite termodin´amico.

El argumento expuesto indica que_G1 tiene un solo pico, mientras que todas las otras funciones_Gntienen dos picos, porque el n´umero de picos es el n´umero de cruces evitados de

cada nivel. Sabemos que la energ´ıa de la resonancia Er(λ) intersecta a cada nivel En(α)(λ)

en alg´un puntoλf

nentre los cruces evitados de cada nivel. Es natural entonces investigar si

la fidelidad muestra alguna caracter´ıstica funcional entre los cruces evitados que capture esto. Lo que se observa es que λf

n es el valor de λ en el cualGn tiene un m´ınimo local. La

Figura 5.14 muestra los puntos En(λfn). La Tabla 5.2 muestra la parte real de la energ´ıa

calculada utilizando escaleo complejo, fidelidad y Densidad de Estados (DOS), para cinco valores de λf

n mostrados en la Figura 5.14. Los valores num´ericos obtenidos utilizando

la fidelidad y el m´etodo de la Densidad de Estados ( explicado en la secci´on 5.4 ) son id´enticos hasta cinco cifras significativas. El error relativo entre las energ´ıas obtenidas es menos del 0.25 %.

La idea de detectar la energ´ıa de la resonancia con funciones constru´ıdas a base de productos internos la llevamos un paso m´as all´a y consideramos las funciones

DOn(λ) =|hΨn(λL),Ψn(λ)i|2+|hΨn(λR),Ψn(λ)i|2,conλL< λ < λR (5.53)

en donde λL y λR son valores de la constante de acople, uno a la izquierda (L) y otro

a la derecha (R) de la resonancia. Un estado Ψn posee los cruces evitados localizados

aproximadamente enλav

L yλavR, dondeL(R) significa el cruce evitado de m´as a la izquierda

(derecha). Se elige entonces λLy λR de forma que λL< λavL < λavR < λR. Para un dadon,

DOn(λ) mide cuanto difiere Ψn(λ) de los estados extendidos Ψn(λR) y Ψn(λL).

Los estados con DOn m´ınimo, de la misma manera que con la fidelidad, son aquellos

en que Er(λnDO)≃En(λnDO), dondeλnDO esta definido por DOn(λnDO) = m´ınλDOn(λ). La

Figura 5.15 muestra el comportamiento de DOn obtenido con los mismos par´ametros que

la Figura 5.14. Comparamos tambi´en los valores de energ´ıa En(λnDO) con los obtenidos

por escaleo complejo en la Tabla 5.2. Las curvas en la Figura 5.15 muestran que fuera de la regi´on (λL, λR) los estados Ψn cambian muy poco con λ y DOn ≃ 1. Dentro de la

regi´on de resonancia, (λav

L, λavR), las funcionesDOn cambian abruptamente.

Las funciones DOn son practicamente independientes de la elecci´on de λL y λR, y la

localizaci´on del m´ınimo lo es m´as a´un. La Figura 5.16 muestra la DO calculada para un nivel de energ´ıa y varias elecciones de λR y λL. Se observa que la localizaci´on del m´ınimo

es muy poco variable, salvo con la elecci´on λL≈λavL y λR≈λavR.

Observando la Tabla 5.2 y la Figura 5.15 es claro que la fidelidad y la DO proveen valores de Er(λ) con distintos acoples λ, sin embargo todos ellos pertenecen a la misma

curva. Los dos m´etodos otorgan los mismos resultados cuando |λav

R −λavL | → 0. Con N

finito la fidelidad mide cuan r´apido cambia el estado si λ→λ+ ∆λ (ver ap´endice E). La DO mide cuanto difiere un estado de los estados extendidos localizados a ambos lados de la regi´on de resonancia.

5.6 Entrop´ıa de una resonancia 109