la distancia recorrida.
La ecuación 2.1. para la rapidez y las defi niciones anteriores son válidas en el caso que ana- lizamos, denominado movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Después de esto, a la rapidez galileana le daremos el nombre de rapidez media y cambiaremos el símbolo de a υ, de manera que la rapidez media queda expresada con la ecuación
(2.2.) Introduciendo el símbolo Δ (delta mayúscula), que signifi ca cambio o diferencia, tene- mos una forma compacta para la ecuación 2.2.:
(2.3.) El símbolo Δ es un operador, es decir, es un símbolo que nos expresa que debemos hacer una operación. Por ejemplo, el símbolo es un operador que nos dice: “a lo que está a mi izquierda, súmele lo que está a mi derecha”. Así, Δ signifi ca: “de lo que se encuentre a mi derecha, réstele su valor inicial a su valor fi nal”.
Nota aclaratoria
En aras de simplifi car los cálculos, hemos obviado el reporte de incertidumbre en los datos de los problemas de ejemplo y para resolver. Sin embargo, debemos recordar que, en todo trabajo experimental, reportar las incertidumbres de las cantidades medidas es imprescindible.
Ejemplo
o Una persona camina del punto A al punto B con una rapidez constante de 5.00 m s a lo largo de una línea recta, después regresa a lo largo de la línea de B a A con una rapidez constante de 4.00 m
s; si la distancia entre A y B es de 500 metros, ¿qué tiempo tarda en cada recorrido? ¿Cuál es su rapidez media considerando la ida y regreso?
Solución:
De la ecuación para la rapidez υ = ∆ ∆ x t, de donde Δt tf ti, si ti 0, entonces tf t; resolviendo para A a B t x t s = ∆ = = ∆ 500 5 100 y de B a A t = = s 500 4 100 . Para el recorrido total de 1000 metros, el tiempo requerido será la suma de los tiempos correspondientes a cada movimiento, que será de 100 125 225 s, calculando para la rapidez media: υ =∆x = =
t m s 1000 125 8 . v x x t t f i f i = − − υ = ∆ ∆ x t
Ejemplo
o La posición de una bola de billar que se mueve sobre una superficie de hielo fue medida en diferentes instantes; los resultados se muestran en la siguiente tabla:
x(m) 0 0.23 0.46 0.69 0.92 1.15
t(s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
Encuentra la rapidez media de la bola: a) en el primer segundo transcurrido, b) a los 5.0 s transcurridos.
c) ¿Qué tipo de movimiento es? Solución: a) De la definición de rapidez: υ =∆ = = ∆ x t m s 0 23 1 0 0 23 . . . .
b) A los 5.0 s transcurridos, Δt 1.15 − 0 1.15 metros, entonces
υ =1 15= 5 0 0 23 . . . m s .
c) Se observa de los resultados en a) y b) que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme, donde se recorren distancias iguales en tiempos iguales (MRU).
2. Un automóvil tiene incluido un odómetro que registra la distancia recorrida; si la lectura del odómetro es puesta en cero al inicio de un recorrido y marca 40 km al finalizarlo después de media hora, ¿cuál es su rapidez media? a) 40 m s b) 80 km h c) 40 km h d) 20 km h
3. El vigilante de un bosque camina en línea recta durante 45 minutos con una rapidez media de 1.5 m
s. ¿A qué distancia se encuentra el lugar de donde partió?
a) 67.5 m b) 30 m c) 4 050 m d) 2 700 m
4. Una paloma mensajera es llevada a 5 000 kilómetros de distancia, medidos en línea recta desde su nido, en 5 días. Se deja en libertad y regresa después de transcurridos 15 días. Si se considera como origen el nido y prolongamos el eje x hasta el punto donde se soltó, determina la rapidez media de la paloma: a) en el recorrido de regreso.
5. Un árbol que se encuentra en una acera crece uniformemente al lado de un edifi cio.Si después de 24 meses, el árbol alcanza la altura del edifi cio, ¿en qué tiempo el árbol alcanzó la mitad de la altura del edifi cio?
a) 6 meses b) 8 meses c) 10 meses d) 12 meses
6. Dos locomotoras se acercan entre sí sobre vías paralelas, ambas con una rapidez constante de 90 km
h . Si cuando se observa su movimiento en t 0 están separadas entre sí a una distancia 9.0 km, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que se encuentren?
Regresemos a la actividad inicial. Mientras la pelota se encuentra en movimiento, ¿cuánto dura su permanencia en cada posición? Un instante, por supuesto. De manera que en cada posición, su permanencia tiene duración cero, es decir, sólo se asocia con una lectura en nuestro reloj o cronómetro, pero no con un intervalo de tiempo, por muy pequeño que éste sea.
Entonces, un valor asociado a cada una de las marcas representa una posición instan- tánea asociada con un instante, o sea, con una lectura en el reloj. En consecuencia, a la relación
υ = x
t
la llamaremos rapidez instantánea. Las unidades de la rapidez instantánea son igualmente metros sobre segundo. Tales unidades las leemos y/o declaramos usualmente como “metros por segundo”. La forma es correcta siempre y cuando recordemos que la palabra “por” em- pleada es una forma abreviada de decir por cada y no se asocia con la operación de multi- plicación.
Ya vimos que la cantidad Δx xf xi representa la distancia recorrida en el movimien- to rectilíneo uniforme. El caso que consideramos es aquel en el que para cada segundo la cantidad Δx tiene el mismo valor; en otras palabras, para intervalos de tiempo iguales, el objeto en movimiento recorre distancias iguales. Este caso recibe el nombre especial de movimiento rectilíneo uniforme (MRU). ¿Cómo es, entonces, la rapidez en el movimiento rectilíneo uniforme? (Naturalmente, ¡constante!).
o El velocímetro de un automóvil, ¿marca rapidez instantánea o rapidez pro- medio?
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7. Considera los siguientes enunciados, y subraya los que se refieren al MRU. a) Una pelota lanzada directamente hacia arriba.
b) Un martillo que se suelta y cae libremente.
c) La luz a través del espacio viajando en línea recta a 300000 km h . d) Un satélite alrededor de la Tierra.
e) Un disco de hockey sobre el hielo después de ser lanzado, y sin ningún tipo de fricción.
8. Las infracciones por exceso de rapidez, ¿son aplicadas por la rapidez promedio o por la rapidez instantánea?
9. ¿Cuál es la rapidez instantánea de un guepardo que parte del reposo y en línea recta recorre 250 metros en un tiempo de 10 segundos?
10. Cuando un semáforo cambia a luz verde, tu automóvil se pone en movimiento en línea recta y recorre 100 metros en 4.0 segundos, ¿cuál es la rapidez instantánea?
11. Un trasbordador espacial sale de la torre de lanzamiento en línea recta a lo largo de 300 metros, requiriendo un tiempo de 15.0 segundos; determina su rapidez instantánea en este desplazamiento.
Toda la discusión está muy bien, aunque tiene sus limitaciones. Las definiciones sólo son válidas para el caso del movimiento rectilíneo unidireccional. Además, nos hace falta representar la actividad previa en papel. ¿Cómo representaríamos de esta forma la actividad previa de manera que sean aplicables las relaciones algebraicas anteriores?
En la sección 1.3.2. encontramos nuestra primera definición de SR en relación con las cantidades vectoriales (¿qué es una cantidad vectorial? La rapidez, ¿es una cantidad vecto- rial?). El caso que nos ocupa ahora es una actividad realizada en una dimensión (¿por qué?), por lo que sólo necesitaremos un eje, digamos el eje horizontal. La representación tradicio- nal indica este eje con la letra X, por lo que en muchas ocasiones nos referimos a este eje como el eje de las X con sentido positivo hacia la derecha (figura 2.2.).
Continuaremos con la tradición, aunque no siempre lo haremos así en el futuro. El pun- to de referencia, el cero, lo situamos de manera arbitraria; corresponde a la marca cero en nuestra actividad. Para darle un significado físico a nuestro SR, ¿con qué cosa (objeto físico)
xi
xf