El filtro de Kalman aplicado sobre un modelo formulado en el espacio de estados permite realizar de forma unificada (válida para todos los modelos) un tratamiento de diversos aspectos, tales como la estimación de parámetros del modelo, la predicción de valores o el análisis de la dinámica del sistema. La esencia del mismo radica en obtener una estimación óptima de un proceso que se va depurando de forma paulatina, a raíz de la retroalimentación obtenida en cada uno de los periodos.
En otras palabras, dados unos valores iniciales20, tanto del estado del sistema como de
su matriz de covarianzas, el filtro estima de forma recursiva, el estado del proceso en un momento de tiempo. Este valor resulta necesario para, a su vez, estimar la observación. A través del error cometido en las medidas se obtiene el feedback necesario para ir depurando el modelo con el que se estima un nuevo valor del estado, si bien, este nuevo valor se corresponde con el del próximo periodo de tiempo.
El proceso tiene una traslación formal consistente en dos tipos de ecuaciones: • ecuaciones de actualización del tiempo (de transición o de propagación) y • ecuaciones de actualización de las medidas (o simplemente actualización).
Las primeras son las responsables de proyectar hacia adelante en el tiempo, el estado actual, por una parte y la covarianza del error por otra, a fin de obtener las estimaciones “a priori” correspondientes al siguiente periodo de tiempo, es decir, sin incorporar la información asociada a la nueva observación del siguiente periodo. Las segundas son el vehículo a través del cual se produce la retroalimentación en el modelo -al incorporar una nueva medida a la estimación a priori se obtiene la estimación “a posteriori" mejorada.
En suma, el filtro de Kalman es un conjunto de ecuaciones que proveen una solución recursiva eficiente del método de mínimos cuadrados. Permite calcular el estimador óptimo del estado de un sistema en cada momento del tiempo con base en la información disponible en el momento t-1 y actualizar, con la información adicional disponible en el momento t, dichas estimaciones.
El filtro básico se apoya en un algoritmo de predicción y actualización del vector t que se repite para cada observación desde el principio hasta el final de la muestra:
19 Kim y Nelson (1999) “State-Space Models with Regime Switching” MIT Press.
20 El carácter recursivo del filtro de Kalman exige obtener una distribución del estado inicial
0
o, cuando menos, determinar su media y su varianza para iniciar dicho proceso recursivo. La situación ideal es aquélla en la que tanto el tipo de distribución como la media y la varianza son conocidos. Pero, en general, no se conoce nada sobre la distribución de0. En este último caso, existen diferentes procedimientos de inicialización del filtro. (Véase, entre otros, Bell y Hillmer (1991), Steyn (1996) y Durbin y Koopman (2001)). En nuestro caso, decidimos estimar la ecuación de medida por OLS y adecuar las condiciones iniciales a los correspondientes parámetros constantes estimados por OLS.
Predicción: Basado en la información disponible hasta el momento t-1 referida at/ t 1, se forma una predicción de yt : yt/ t 1
Actualización: Una vez que se tiene yt, se puede calcular el error de predicción:
1 / 1
/t t t t
t y y
. Este error de predicción contiene nueva información sobre t más
allá que la comprendida en t/ t 1. Así, después de observar yt, se hace una inferencia más exacta de t . El vector t /t, una inferencia det basada en información hasta el momento t, se obtiene de la forma: t/t t/t1Ktt/t1, dondeKt es el peso asignado a la nueva información sobre t contenida en el error de predicción y se conoce con el nombre de ganancia de Kalman.
En suma, lo que hace al filtro tan interesante es precisamente su habilidad para predecir el estado de un sistema en el pasado, presente y futuro, aún cuando la naturaleza precisa del sistema modelado es desconocida. En la práctica, las variables estado individuales de un sistema dinámico no pueden ser exactamente determinadas por una medición directa. Dado lo anterior, su medición se realiza por medio de procesos estocásticos que involucran algún grado de incertidumbre en la medición.
ECUACIONES DEL FILTRO BÁSICO
La esencia del Filtro es que dados unos valores iniciales, tanto del estado del sistema como de su matriz de covarianzas, el filtro estimará de forma recursiva, el estado del proceso en un momento de tiempo. Este valor resultará necesario para, a su vez, estimar la observación. A través del error cometido en las medidas se obtiene el feedback necesario para ir refinando el modelo con el que se estimará un nuevo valor del estado, si bien, este nuevo valor se corresponderá con el del próximo periodo de tiempo.
El proceso descrito tiene una traslación formal consistente en dos tipos de ecuaciones:
1. Ecuaciones de predicción: responsables de proyectar hacia adelante en el tiempo, el
estado actual, por una parte y la covarianza del error por otra, a fin de obtener las estimaciones “a priori” correspondientes al siguiente periodo de tiempo, es decir, sin incorporar la información asociada a la nueva observación del siguiente periodo.
Predicción del estado: t/t1 ~Ft1/t1
Predicción de la covarianza de t:Pt/t1 FPt1/t1FQ
Error de predicción: t/t1 yt yt/t1 yt xtt/t1
donde Q es la covarianza de los shocks a t y R es la varianza del errort de la ecuación de medida.
2. Ecuaciones de actualización: que son el vehículo a través del cual se produce la
retroalimentación en el modelo -al incorporar una nueva medida a la estimación a priori se obtendrá la estimación “a posteriori" mejorada.
Actualización del estado: t/t t/t1Ktt/t1
Actualización de la covarianza: Pt/t Pt/t1 KtxtPt/t1 donde 1 1 / 1 / t t t t t t P x f
K es la ganancia de Kalman, que es la que establece la cantidad de influencia del error entre la estimación y la medida.
ECUACIONES DEL PROCEDIMIENTO DE ALISADO ) ~ ( 1/ / 1 / 1 / / / t t T t t t t t t t T t P FP F t/t 1 / 1 / 1 / 1 1 / 1 / / / ( ) P P P P F P F P P Pt T t t t t t t t T t t t t